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新课标2015-2016学年高一上学期第二次月考 数学



2015-2016 学年上学期第二次月考

高一数学试题【新课标】
第 I 卷(选择题 共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一个 选项是符合题目要求的. 1.已知全集 U={0,1,2}且 CU A ={2},则集合 A 的真子集共有( A.3 个 B.4 个 C .5 个

) D.(1,3) ) D. 27 ) ) D.6 个

x ?1 2. 函数 f ( x) ? a ? 2 ( a ? 0 且 a ? 1 )的图象一定经过点(

A.(0,1) 3. 已知函数 f ( x) ? ? A. ?7

B.(0,3)

C.(1,2) ,则 f (1) ? f (3) ? ( C. 7

? x 2 ? 1, ( x ? 2) ? f ( x ? 3), ( x ? 2)
B. ?2

1 4. 设 ? ?{?1,1,2, ,3} ,则使函数 2
A.1,3 B.-1,1,2

y ? x ? 为奇函数且在 (0, ?? ) 为增函数的所有 ? 的值为(
C. ,1,3 ) C. a x ? a y D. loga x ? loga y
1 2

D.-1,1,3

5. 设 x ? y ? 1, 0 ? a ? 1 ,则下列关系正确的是( A. x? a ? y ? a B. ax ? ay

6. 为了得到函数 f ( x) ? log 2 ( ?2 x ? 2) 的图象, 只需把函数 f ( x) ? log 2 (?2 x) 图象上所有的点 ( A.向左平移 2 个单位长度 C.向左平移 1 个单位长度 7. 如果 lg 2
2m ? n 1? m ? n



B.向右平移 2 个单位长度 D.向右平移 1 个单位长度

? m,lg 3 ? n, 则
B.

lg12 lg15 等于(


2m ? n 1? m ? n
m ? 2n 1? m ? n

A.

m ? 2n 1? m ? n

C.

D.

9. 已知函数 f (2 ? x) ? A. ?0, ?? ?

4 ? x 2 ,则函数 f ( x ) 的定义域为(
B. ?0,16? C. ?0, 4?

) D. ?0, 2?

10. 关于

| x| x 的方程 ( ) ? a ? 1 ? 0 有解,则 a 的取值范围是(

1 3



A.

0 ? a ?1

B.

?1 ? a ? 0

C.

a ?1

D.

a ?0

11. 定义在 R 上的奇函数 f ( x) ,满足 f (1) ? 0 ,且在 (0,??) 上单调递增,则 xf ( ) B. {x | 0 ? x ? 1 或 ?1 ? x ? 0} D. {x | ?1 ? x ? 0 或 )
1 4

( x) ? 0 的解集为

A. {x | x ? ?1 或 x ? 1} C. {x | 0 ? x ? 1 或 x ? ?1}

x ? 1}

12. 函数 f ( x) ? log 2 x ? log 2(2 x) 的最小值为( B. ?
1 2

A.0

C. ?

D.

1 2

第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分) 二、填空题:本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在答题卡上.
a 13.已知幂函数 f ( x) ? k ? x 的图象过点 ( ,

1 2 ) ,则 k ? a ? ________________. 2 2

14.化简 2

log

2

5

? lg5lg2 ? lg 2 2 ?lg2 的结果为___________________.

15.已知函数 f ( x) ? log 2 (2 ? ax) 在 [ ?1, ?? ) 为单调增函数,则 a 的取值范围是______________.

16.由方程 2 x | x | ? y ? 1 所确定的 x, y 的函数关系记为 y ? f ( x ) ,给出如下结论: (1) f ( x) 是 R 上的单调递增函数; (2) f ( x) 的图象关于直线 x ? 0 对称; (3)对于任意 x ? R , f ( x ) ? f ( ? x ) ? ?2 恒成立. 其中正确的结论为__________________(写出所有正确结论的序号). 三、解答题:解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤,解答过程书写在答题卡的对应位置. 17.(本题满分 10 分)

若 A ? {x | x ? ax ? a ? 19 ? 0}, B ? {x | x ? 5 x ? 6 ? 0}, C ? {x | x ? 2 x ? 8 ? 0} .
2 2 2 2

(1)若 A ? B ,求 a 的取值范围; (2)若 ? ? ? A ? B, A ? C ? ?, 求 a 的值.

18. (本题满分 12 分) 有甲、乙两种商品,经销这两种商品所能获得的利润分别是 万元的关系为: p

p 万元和 q 万元,它们与投入资金 x

?

1 3 x, q ? x ,今有 3 万元资金投入经营这两种商品,对这两种商品的资金 5 5

分别投入多少时,能获得最大利润?最大利润为多少?

19.(本题满分 12 分)
2 已知函数 f ( x) ? ax ? | x | ?2a ? 1( a 为实常数)

(1)判断 f ( x) 的奇偶性,并给出证明; (2)若 a ? 0, 设 f ( x) 在区间 [1, 2] 上的最小值为 g (a ) ,求 g (a ) 的表达式.

20.(本题满分 12 分)

已知函数 f ( x) ? log 4 (ax ? 2 x ? 3) .
2

(1) 若 f (1) ? 1 ,写出 f ( x) 的单调区间; (2)是否存在实数 a ,使 f ( x) 的最小值为 0?若存在,求出 a 的值;若不存在,说明理由.

21.(本题满分 12 分) 已知定义在 R 上的函数 f ( x) ? 2 ?
x

1 2x .

(1)若 f ( x ) ?
t

3 ,求 2

x 的值;

(2)若 2 f (2t ) ? mf (t ) ? 0 对于 t ? [1, 2] 恒成立,求实数 m 的取值范围.

22.(本题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? log9 (9x ? 1) ? kx(k ? R) 为偶函数. (1)求 k 的值; (2)解关于 x 的不等式 f ( x) ? log 9 ( a ? ) ? 0( a ? 0) .

1 a

参考答案

三、解答题 17.解: (1) B ? ?2,3? 由 A ? B 可得 A ? ? 或 ?2? 或 ?3? 或 ?2,3?

??? 若 A ? ? ?
? ?? ? 若 A ? ?2,3?

a 2 ? 4 ? a 2 ? 19 ? ? 0 ? a ?

2 2 57 或 a ? 57 3 3

?a ? 2?3
a 2 ? 19 ? 2 ? 3

?a ? 5

A ? ?2? ,?3? 不成立

…………5 分

(2) C ? ??4, 2? 由 ?? A ? B ? A ? B ? ? 又 A ? C ? ?
? 3 ? A ? 9 ? 3a ? a 2 ? 19 ? 0

? a ? ?2 或 5

若 a ? 5 则 A ? C ? ? ? 舍掉 综上 a ? ?2

…………10 分

19.解: (1)定义域为 R

f ? ? x ? ? ax 2 ? ? x ? 2a ? 1 ? ax 2 ? x ? 2a ? 1 ? f ? x ?

? f ? x ? 为偶函数

…………4 分

(2) x ? ?1,2? ? f ? x ? ? ax2 ? x ? 2a ? 1

???

1 1 ? 1 ? a ? 时, f ? x ?min ? f ?1? ? 3a ? 2 2a 2

…………6 分

? ?? ?

1 1 ? 2 ? 0 ? a ? 时, f ? x ?min ? f ? 2? ? 6a ? 3 2a 4

…………8 分

? ??? ?1 ?

1 1 1 1 ? 1 ? ? 2 ? ? a ? 时, f ? x ?min ? f ? ? ? 2a ? ? 1 …………10 分 2a 4 2 4a ? 2a ?

综上

1 ? 3a ? 2, a ? ? 2 ? 1 ? g ? a ? ? ? 6a ? 3,0 ? a ? 4 ? ? 1 1 1 ?2a ? 4a ? 1, 4 ? a ? 2 ?

…………12 分

20.解:(1)∵f(1)=1, ∴log4(a+5)=1,因此 a+5=4,a=-1, ………………2 分 这时 f(x)=log4(-x2+2x+3). 由-x2+2x+3>0 得-1<x<3,函数定义域为(-1,3). …………4 分 令 g(x)=-x2+2x+3. 则 g(x)在(-∞,1)上递增,在(1,+∞)上递减, 又 y=log4x 在(0,+∞)上递增, 所以 f(x)的单调递增区间是(-1,1), 递减区间是(1,3). …………6 分(2)假设存在实数 a 使 f(x) 2 的最小值为 0,则 h(x)=ax +2x+3 应有最小值 1, a>0, ? ? 因此应有?12a-4 ? 4a =1, ? 1 解得 a= . 2 1 故存在实数 a= 使 f(x)的最小值等于 0. 2 21.解: (1)由 f ? x ? ? ? 2x ?
3 2
2 1 3 ? ? 2 ? ? 2x ? ? 3 ? 2x ? 2 ? 0 x 2 2

…………12 分

? ? 2x ? 2?? 2x ? 1? ? 0

? 2 x ? 0? x 2?

? 2 x?

1

…………5 分

2t (2)由 2t f ? 2t ? ? mf ?t ? ? 0 ? 2t ? ?2 ?

?

1 22t

? ? t 1? ? ? m? 2 ? t ? ? 0 2 ? ? ?

? m ? 2t ? 2?t ? ? ?2t ? 22t ? 2?2t ? ? m ? ?2t ? 2t ? 2?t ?

又 t ? ?1,2? ? 2t ? 2?t ? 0 …………9 分
t ? ?1 , ? 2

即 m ? ?2 2 t ? 1 令 y ? ?2 2 t ? 1
? ym a x ? 2 ?2 ? 1

只需 m ? ? ?22t ? 1?max

? 5?…………11 分

综上 m ? ?5 …………12 分 22.解: (1)∵f(x)为偶函数, ∴f(-x)=f(x).. .................................................................................1 分 - 即 log9(9 x+1)-kx=log9(49+1)+kx,
x 1 -log (9x+1)=2kx, ∴log9 9 ? 9 x

1 ∴ (2k+1)x=0,∴k=- . 2
? a?

9

......................................................................3 分
2 ? a?

1? x 1? ? x (2) f ? x ? ? log9 ? ? a ? ? ? 0 ? log9 ? 9 ? 1? ? ? log9 ? a ? ?

? log 9

9x ? 1 9
x 2

1? ? ? log 9 ? a ? ? a? ?

?

9x ? 1 1 ?a ? 3x a

…………6 分

2 1? 1? ? ? ? ? 3x ? ? ? a ? ? 3x ? 1 ? 0 ? ? 3x ? a ? ? 3x ? ? ? 0 a? a? ? ?

? ? ? a ? 1 时 ? 3 x ? a 或 3x ?
a

1 1? ? ?x x ? log3 a 或 x ? log3 ? a a?
? ? x x ? log 3 1 或 x ? log3 a? a

…………8 分 …………10 分 …………12 分

1 ? ?? ? 0 ? a ? 1 时 ? 3x ? 或 3x ? a

? ??? ? a ? 1 时 ? 3x ? 1 ? ?x x ? 0?



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