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高二数学竞赛综合练习(5)


高二数学竞赛综合练习题(5)
姓名 1.已知集合 A ? {x | x ? a}, B ? {x | x ? b}, a, b ? N, 且 A ? B ? N ? {1} ,则 a ? b ? 2. 已知正项等比数列 {a n } 的公比 q ? 1 , a 2 , a 4 , a 5 成等差数列, 且 则
a1 ? a 4 ? a 7 ? a3 ? a6 ? a9

班级

学号

. .

BC 3. 在 ?ABC 中, 若 9 cos 2 A ? 4 cos 2 B ? 5 , 则 AC 的值为



??? 1 ??? ? ? ??? ???? ? 1 AE ? EB BD ? AC ? ? 2 2, 则 4. 在等腰三角形 ABC 中, 底边 BC ? 2 , AD ? DC , , 若

CE ? AB =



x2 y2 ? ?1 4 5. 已知 F1 、 F2 分别 是椭圆 8 的左、 右焦点 , 点 P 是椭圆上的 任意一点 , 则
| PF1 ? PF2 | PF1 的取值范围是
2



1 y e2 log 2 [4 cos (xy ) ? ] ? ln y ? ? ln 4 cos2 ( xy ) 2 2 , 则 y cos 4 x 的 值 6. 若 x , y 满 足
为 .

? 1 ? ( x ? 1) 2 , 0 ? x ? 2, ? f ( x) ? ? x ? 2 , 若关于 x 的方程 f ( x) ? kx (k ? 0) 有且仅 ? f ( x ? 2), ? 7.已知函数
g (t ) ?
有四个根, 其最大根为, 则函数

25 2 t ? 6t ? 7 24 的值域为
?a



? n , 8.已知数列 {a n } 满足: a 1 为正整数, a n ?1 ? ? 2

a n 为偶数,

?3a n ? 1, a n 为奇数, ?

如果 a1 ? a 2 ? a 3 ? 29 ,

则 a1 ?



9. ?ABC 中, 在 已知内角 A ?

?
3

, BC ? 2 3 , ?ABC 的面积 S 的最大值为 边 则

.

? x x x g x 10. 已 知 定 义 在 R 上 的 函 数 f ( x ) 和 g ( x) 满 足 g ( x)? 0 ,?f ( ) g ?( ) ?f ?( ) , ( ) f (1) f ( ?1) 5 f (n) 15 ? ? .令 an ? f ( x) ? a x ? g ( x) , ,则使数列 {an } 的前 n 项和 Sn 超过 g (1) g ( ?1) 2 g (n) 16 的最小自然数 n 的值为 .

11 . 已 知 正 项 数 列 {a n } 满 足

2 an an ?1 ? an an ? 2 ? 4 an an ? 1? an ? 1? 3 an an ? 1且 a1 ? 1 ,

a2 ? 8 ,求 {a n } 的通项公式.

12.已知多项式 f (n) ? n5 ? n4 ? n3 ? 数?并证明你的结论.

1 5

1 2

1 3

1 n . 试探求对一切整数 n, f (n) 是否一定是整 30

13. 如 图 , 在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy 中 , 已 知 椭 圆

C:

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) a 2 b2 经过点

M (3 2, 2) ,椭圆的离心率
(1)求椭圆 C 的方程;

e?

2 2 3 , F1 、 F2 分别是椭圆的左、右焦点.

(2)过点 M 作两直线与椭圆 C 分别交于相异两点 A 、 B . ①若直线 MA 过坐标原点 O , 试求

?MAF2 外接圆的方程;

②若 ?AMB 的平分线与 y 轴平行, 试探究直线 AB 的斜率是否为定值?若是, 请给予 证明;若不是, 请说明理由.

x ? D , 均有 f ( x0 ) ? D , 则称函数 f ( x) 14. 对于定义在区间 D 上的函数 f ( x) , 若任给 0
在区间 D 上封闭. 试判断 f ( x) ? x ? 1 在区间 [?2,1] 上是否封闭, 并说明理由;

g ( x) ?
若函数

3x ? a x ? 1 在区间 [3,10] 上封闭, 求实数 a 的取值范围;
3

若函数 h( x) ? x ? 3 x 在区间 [a, b](a, b ? Z ) 上封闭, 求 a, b 的值.

练习 5 参考答案
1. 1

3? 5 2. 2
[? 41 , ?1) 25

2 3. 3

4. 0

5. [0, 2 2 ? 2]

6.-1

7.

8. 5

9. 3 3 ; 10. 5 .
a n?2 a ? 4 1 ? n ?1 ? 3 , a n ?1 an

11.解 在已知等式两边同时除以 a n a n ?1 ,得 1 ?

所以

1?

an ? 2 a ? 1 ? 4( 1 ? n ?1 ? 1) . an ?1 an
a n ?1 ? 1 ,则 b1 ? 4, bn ?1 ? 4bn ,即数列 {b n } 是以 b1 =4 为首项,4 为公比的等比 an

令 bn ? 1 ?

数列,所以 bn ? b1 ? 4 n?1 ? 4 n . 所以 1 ?
a n ?1 ? 1 ? 4 n ,即 a n ?1 ? [(4 n ? 1) 2 ? 1]a n . an

于是,当 n ? 1 时,
a n ? [(4 n?1 ?1) 2 ? 1]a n?1 ? [(4 n?1 ?1) 2 ?1] ? [(4 n?2 ? 1) 2 ?1]a n?2
? ? ? ? [(4 k ?1 ? 1) 2 ? 1]a1 ? ? [(4 k ?1 ? 1) 2 ? 1] ,
k ?1 k ?1 n ?1 n ?1

因此, a n ? ? n ?1

?1, ?

n ? 1,
k ?1

? k ?1 ?

? [(4

? 1) ? 1], n ? 2.
2

12.(Ⅰ)先用数学归 纳法证明:对一切正整数 n, f ( n) 是整数. ①当 n=1 时, f (1) ? 1 ,结论成立. ②假设当 n=k(k≥1,k∈N)时,结论成立,即 f (k ) ? k 5 ? k 4 ? k 3 ? 当 n=k+1 时, f (k ? 1) ? (k ? 1) 5 ? ( k ?1) 4 ? ( k ?1) 3 ?

1 5

1 2

1 3

1 k 是整数,则 30

1 1 1 1 ( k ?1) 5 2 3 30 1 3 5 0 1 2 1 4 C 0 k 5 ? C5 k 4 ? C52 k 3 ? C5 k 2 ? C54 k ? C5 C4 k 4 ? C4 k 3 ? C4 k 2 ? C4 k ? C4 ? 5 ? 5 2 0 3 1 2 2 3 C k ? C3 k ? C3 k ? C3 1 ? 3 ? (k ? 1) = f (k ) ? k 4 ? 4k 3 ? 6k 2 ? 4k ? 1 3 30

根据假设 f ( k ) 是整数,而 k 4 ? 4k 3 ? 6k 2 ? 4k ? 1 显然是整数. ∴ f (k ? 1) 是整数,从而当当 n=k+1 时,结论也成立. 由①、②可知对对一切正整数 n, f ( n) 是整数. (Ⅱ)当 n=0 时, f (0) ? 0 是整数. (Ⅲ)当 n 为负整数时,令 n= -m,则 m 是正整数,由(1) f ( m) 是整数,

所以 f (n) ? f (?m) ? (?m)5 ? (?m)4 ? (?m)3 ?

1 5

1 2

1 3

1 (?m) 30

1 1 1 1 ? ? m5 ? m4 ? m3 ? m = ? f (m) ? m4 是整数. 5 2 3 30 综上,对一切整数 n, f ( n) 一定是整数.

x2 y 2 2 2 c2 a 2 ? b2 8 ? ? ? ?1 e? a2 9 ,得 a 2 ? 9b 2 ,故椭圆方程为 9b 2 b 2 3 , a2 13.解: (1)由 x2 y 2 18 2 ? ?1 ? 2 ?1 2 2 b 又椭圆过点 M (3 2, 2) ,则 9b ,解得 b ? 4 ,所以椭圆的方程为 36 4
1 ?MF1 F2 的外接圆的圆心为 T .因为 kOM ? 3 ,所以 MA 的中垂线方程为 y ? ?3 x , (2)①记

?7 2 2? , ? ? ? 2 ? M (3 2, 2) , F2 4 2, 0 ,得 MF1 的中点为 ? 2 ? ,而 kMF2 ? ?1 , 又由

?

?

所以

MF2 的中垂线方程为 y ? x ? 3 2 ,由
2

? y ? ?3 x ? ? ?y ? x ?3 2 ?
2

?3 2 9 2 ? T? ? 4 ,? 4 ? ? ? ,得 ?

? 3 2? ? 9 2? 5 5 ?4 2 ? ? ??0? ? ? ? 4 ? ? 4 ? 2 ? ? ? 所以圆 T 的半径为 ? ,

? 3 2? ? 9 2 ? 125 ?x? ? ?? y? ? ? 4 ? ? 4 ? 4 ?MAF2 的外接圆的方程为 ? ? ? ? ? 故
x2 ?
(说明:该圆的一般式方程为 (3)设直线 MA 的斜率为 k , 数,

2

2

3 2 9 2 x ? y2 ? y ? 20 ? 0 2 2 )


A ? x1 , y1 ?

B ? x2 , y2 ?

,由题直线 MA 与 MB 的斜率互为相反

? y ? kx ? 2 ? 3 2k ? 2 ?x y2 ? ?1 ? MB 的斜率为 ?k .联立直线 MA 与椭圆方程: ? 36 4 直线 ,
整理得

? 9k

2

? 1? x 2 ? 18 2k ?1 ? 3k ? x ? 162k 2 ? 108k ? 18 ? 0





x1 ?

18 2 ? 3k 2 ? k ? 9k 2 ? 1

?3 2


所以 又

x2 ?

18 2 ? 3k 2 ? k ? 9k 2 ? 1

?3 2

36 2k 108 2k 2 x2 ? x1 ? 2 x2 ? x1 ? ?6 2 9k ? 1 , 9k 2 ? 1 ,整理得

y2 ? y1 ? ?kx2 ? 2 ? 3 2k ? kx2 ? 2 ? 3 2k ? ? k ? x2 ? x1 ? ? 6 2k
12 2k y2 ? y1 9k 2 ? 1 1 ? ? ? x2 ? x1 36 2k 3 9k 2 ? 1 为定值。

?

?

?108k 3 12 2k ? 12 2k ? 2 2 9k ? 1 ,所以 = 9k ? 1

k AB

14.解: (1) f ( x) ? x ? 1 在区间 [?2,1] 上单调递增,所以 f ( x) 的值域为[-3,0] 而[-1,0] ? [?2,1] ,所以 f ( x) 在区间 [?2,1] 上不是封闭的

g ( x) ?
(2)因为

3x ? a a ?3 ? 3? x ?1 x ?1 ,

①当 a ? 3 时,函数 g ( x) 的值域为

?3? ? [3,10] ,适合题意
[ 30 ? a 9 ? a , ] 11 4 ,

②当 a ? 3 时,函数 g ( x) 在区间 [3,10] 上单调递减,故它的值域为

? 30 ? a ? 11 ? 3 ? ? 30 ? a 9 ? a ? 9 ? a ? 10 [ , ] ? [3,10] ,得 ? 4 ? 4 由 11 ,解得 3 ? a ? 31 ,故 3 ? a ? 31
③当 a ? 3 时,在区间 [3,10] 上有

g ( x) ?

3x ? a a ?3 ? 3? ?3 x ?1 x ?1 ,显然不合题意

综上所述, 实数 a 的取值范围是 3 ? a ? 31

? (3)因为 h( x) ? x ? 3 x ,所以 h ( x) ? 3 x ? 3 ? 3( x ? 1)( x ? 1) ,
3 2

所以 h( x) 在 (??, ?1) 上单调递减,在 (?1,1) 上递增,在 (1, ??) 上递增.

? h( a ) ? a ? a ? b ? ?1 时, h( x) 在区间 [a, b] 上递增,所以 ? h(b) ? b ,此时无解 ①当
②当 a ? ?1且 ? 1 ? b ? 1 时,因

h( x) max ? h(?1) ? 2 ? b

,矛盾,不合题意

?a ? ?2 ? b?2 , ③当 a ? ?1且b ? 1 时,因为 h(?1) ? 2, h(1) ? ?2 都在函数的值域内,故 ?

?a ? h(a ) ? a 3 ? 3a ??2 ? a ? 0或a ? 2 ?a ? ?2 ? ? ? 3 b ? h(b) ? b ? 3b ,解得 ? b ? 2或0 ? b ? 2 ,从而 ? b ? 2 又?
?h(b) ? a ? h( a ) ? b ④当 ?1 ? a ? b ? 1 时, h( x) 在区间 [a, b] 上递减, ?
而 a, b ? Z ,经检验,均不合(*)式 ⑤当 ?1 ? a ? 1且b ? 1 时,因

(*),

h( x) min ? h(1) ? ?2 ? a ,矛盾,不合题意

? h( a ) ? a ? h(b) ? b ,此时无解 ⑥当 b ? a ? 1 时, h( x) 在区间 [a, b] 上递增,所以 ?
综上所述,所求整数 a, b 的值为 a ? ?2, b ? 2


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