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走向高考--2015高考一轮总复习人教A版数学2-5



基础巩固强化 一、选择题
? ?log2?x+1?,x>3 1. (2013· 湖南省五市十校联考)已知函数 f(x)=? x-3 ? ?2 +1,x≤3

满足 f(a)=3,则 f(a-5)的值为( A.log23 3 C.2 [答案] C

) 17 B.16 D.1

?a≤3, ? [解析] ∵

f(a)=3,∴? a-3 ?2 +1=3, ? ? ?a>3, 或? ?log2?a+1?=3. ?





3 ①无解,由②得,a=7,所以 f(a-5)=22-3+1=2,选 C. 2.(文)已知 0<a<1,logam<logan<0,则( A.1<n<m C.m<n<1 [答案] A [解析] 由 0<a<1 得函数 y=logax 为减函数. 又由 logam<logan<0=loga1,得 m>n>1,故应选 A. (理)(2013· 山东威海期末)下列四个数中最大的是( A.(ln2)2 B.ln(ln2) ) B.1<m<n D.n<m<1 )

C.ln 2 [答案] D

D.ln2

[解析] 由 0<ln2<1,得 ln(ln2)<0,因此 ln(ln2)是最小的一个; 由于 y=lnx 为增函数,因此 ln 2<ln2;那么最大的只能是 A 或 D; 因为 0<ln2<1,故(ln2)2<ln2. ln26 ln2π 3.(文)(2013· 宣城二模)若 a= 4 ,b=ln2· ln3,c= 4 ,则 a,b, c 的大小关系是( A.a>b>c C.c>b>a [答案] A ln2+ln3 2 [解析] ∵ln6>lnπ>1,∴a>c,排除 B,C;b=ln2· ln3<( ) 2 ln26 = 4 =a,排除 D,故选 A. 1 1 (理)若 x∈(10,1),a=lgx,b=lg2x,c=2lgx,则 a、b、c 的大 小关系是( A.a<b<c C.c<a<b [答案] B 1 [解析] ∵10<x<1,∴-1<lgx<0,∴0<lg2x<1, 1 1 ∵a-c=lgx-2lgx=2lgx<0,∴a<c, 故 a<c<b,故选 B. 4.(文)(2013· 开封一模)已知 f(x)是奇函数,且 f(2-x)=f(x),当 x ∈(2,3)时,f(x)=log2(x-1),则当 x∈(1,2)时,f(x)=( ) ) B.a<c<b D.b<c<a ) B.c>a>b D.b>a>c

A.-log2(4-x) C.-log2(3-x) [答案] C

B.log2(4-x) D.log2(3-x)

[解析] 依题意得 f(x+2)=f(-x)=-f(x),f(x+4)=-f(x+2)= f(x). 当 x∈(1,2)时,x-4∈(-3,-2),4-x∈(2,3),故 f(x)=f(x-4) =-f(4-x)=-log2(4-x-1)=-log2(3-x),选 C. ( 理 )(2013· 乌鲁木齐第一次诊断 ) 函数 f(x) = log2(1 + x) , g(x) = log2(1-x),则 f(x)-g(x)( A.是奇函数 B.是偶函数 C.既不是奇函数又不是偶函数 D.既是奇函数又是偶函数 [答案] A [ 解析 ] f(x) - g(x) 的定义域为 ( - 1,1) ,记 F(x) = f(x) - g(x) = )

1+x 1-x 1+x -1 1+x log2 ,则 F(-x)=log2 =log2( ) =-log2 =-F(x), 1-x 1+x 1-x 1-x 故 f(x)-g(x)是奇函数. 5.(文)函数 f(x)=|log1 x|的图象是(
2

)

[答案] A

[解析] f(x)=|log1 x|=|log2x|
2

? ?log2x ?x≥1?, =? 故选 A. ? ?-log2x ?0<x<1?.

[点评] 可用筛选取求解,f(x)的定义域为{x|x>0},排除 B、D, f(x)≥0,排除 C,故选 A. 1 (理)(2012· 河南豫东、豫北十所名校段测 )函数 y=ln| x |与 y=- x2+1在同一平面直角坐标系内的大致图象为( )

[答案] C 1 1 [解析] y=ln|x|为偶函数,当 x>0 时,y=lnx=-lnx 为减函数, 故排除 A、B;y=- x2+1≤0,其图象在 x 轴下方,排除 D,故选 C. 6.(文)(2012· 湖南文,7)设 a>b>1,c<0,给出下列三个结论: c c ①a>b; ②ac<bc; ③logb(a-c)>loga(b-c). 其中所有的正确结论的序号是( A.① C.②③ [答案] D ) B.①② D.①②③

[解析] 本题考查不等式性质,比较大小. c?b-a? c c c?b-a? c c - = , ∵ a > b >1 , c <0 , ∴ >0 , ①正确; a>b>1, a b ab ab a>b, ac<bc,②正确;∵a-c>b-c>1, ∴logb(a-c)>logb(b-c)>loga(b-c),③正确. [点评] 比较大小的方法有作差法、单调性法等. (理)(2013· 北京东城区检测)给出下列命题: ①在区间(0, +∞)上, 函数 y=x ,y=x
-1

1 2

,y=(x-1)2,y=x3 中有 3 个是增函数;②若

logm3<logn3<0,则 0<n<m<1;③若函数 f(x)是奇函数,则 f(x-1)的图
x-2 ? ?3 ,x≤2 象关于点 A(1,0)对称;④已知函数 f(x)=? ,则方程 ?log3?x-1?,x>2 ?

1 f(x)=2有 2 个实数根,其中正确命题的个数为( A.1 [答案] C [解析] 命题①中,在(0,+∞)上只有 y=x
1 2

) D.4

B.2

C.3

,y=x3 为增函数,

故 ① 不 正 确 ; ② 中 第 1 个 不 等 式 等 价 于 log31>log3m>log3n , 故 0<n<m<1,②正确;③中函数 y=f(x-1)的图象是把 y=f(x)的图象向 右平移 1 个单位得到的,由于函数 y=f(x)的图象关于坐标原点对称, 1 故函数 y=f(x-1)的图象关于点 A(1,0)对称,③正确;④中当 3x-2=2 1 1 时,x=2+log32<2,当 log3(x-1)=2时,x=1+ 3>2,故方程 f(x) 1 =2有 2 个实数根,④正确.故选 C. 二、填空题

7.(文)函数 y=

log2
3

-x2的定义域为________.

[答案] {x|1≤x< 2或- 2<x≤-1} [解析] 要使函数有意义,应满足 log2
3

(2-x2)≥0,

∵y=log2 x 为减函数,∴0<2-x2≤1,∴1≤x2<2,
3

∴1≤x< 2或- 2<x≤-1.
? 1 ? (理)函数 f(x)=ln?1+x-1?的定义域是________. ? ?

[答案] (-∞,0)∪(1,+∞) 1 [解析] 要使 f(x)有意义,应有 1+ >0, x-1 ∴ x >0,∴x<0 或 x>1. x-1

8.(文)(2013· 河南鹤壁一模)若正整数 m 满足 10m-1<2512<10m,则 m=________.(lg2≈0.3010) [答案] 155 [解析] 不等式 10m-1<2512<10m 两边同时取以 10 为底的对数, 则
? ?m-1<512lg2, ? ∴154.112<m<155.112, ? ?m>512lg2,

∴m=155. 1 (理)(2013· 天津塘沽一模)若 f(x)=ax-2,且 f(lga)= 10,则 a= ________. 10 [答案] 10 或 10 [解析]

9.方程 log3(x2-10)=1+log3x 的解是________. [答案] x=5 [解析] 原方程化为 log3(x2-10)=log3(3x),由于 log3x 在(0,+ ∞)上严格单增,则 x2-10=3x,解之得 x1=5,x2=-2.∵要使 log3x 有意义,应有 x>0,∴x=5. 三、解答题 10.(文)(2013· 广西桂林一模)已知函数 f(x)=loga(ax-1)(a>0 且 a≠1). (1)证明函数 f(x)的图象在 y 轴的一侧; (2)设 A(x1,y1)、B(x2,y2)(x1<x2)是 f(x)图象上两点,证明直线 AB 的斜率大于 0. [证明] (1)由 ax-1>0,得 ax>1. 当 a>1 时,解得 x>0,此时 f(x)的图象在 y 轴右侧; 当 0<a<1 时,解得 x<0,此时 f(x)的图象在 y 轴左侧. ∴对 a>0 且 a≠1 的任意实数 a,f(x)的图象总在 y 轴一侧.

x2+ax+b (理)(2013· 北京朝阳期末)已知 f(x)=log3 , x∈(0, +∞), x 是否存在实数 a, b, 使 f(x)同时满足下列条件: ①在(0,1)上是减函数, 在[1, +∞)上是增函数; ②f(x)的最小值是 1.若存在, 求出 a, b 的值; 若不存在,请说明理由. [解析] 假设存在实数 a,b 使命题成立, ∵f(x)在(0,1)上是减函数,在[1,+∞)上是增函数, ∴x=1 时,f(x)取得最小值 1, 1+a+b ∴log3 1 =1,∴a+b=2. ∵f(x)在(0,1)上是减函数, 设 0<x1<x2<1, ∴f(x1)>f(x2)恒成立,
2 x2 1+ax1+b x2+ax2+b 即 > 恒成立, x1 x2

?x1-x2??x1x2-b? 整理得 >0 恒成立. xx
1 2

∵0<x1<x2<1,∴x1-x2<0,x1x2>0,

∴x1x2-b<0 恒成立,即 x1x2<b 恒成立, 而 x1x2<1,∴b≥1. 同理,f(x)在[1,+∞)上是增函数, 可得 b≤1,∴b=1.又∵a+b=2,∴a=1. 故存在 a=1,b=1 同时满足题中条件. 能力拓展提升 一、选择题 11 . ( 文 )(2012· 广 东 深 圳 市 一 调 ) 已 知 符 号 函 数 sgn(x) = 1,x>0, ? ? ?0,x=0, ? ?-1,x<0, A.4 [答案] C [解析] 由题意得 f(x)=sgn(lnx)-ln2x 1-ln x, x>1, ? ? 2 =?-ln x, x=1, ? ?-1-ln2x, 0<x<1, 去);令-ln2x=0?x=1; 当-1-ln2x=0 时,方程无解,所以 f(x)=sgn(lnx)-ln2x 有两个 零点,故选 C. 1 (理)已知函数 f(x)=(5)x-log3x,若实数 x0 是方程 f(x)=0 的解, 且 0<x1<x0,则 f(x1)的值( A.不小于 0 C.恒为负数 [答案] B ) B.恒为正数 D.不大于 0
2

则函数 f(x)=sgn(lnx)-ln2x 的零点个数为(

)

B.3

C.2

D.1

1 则令 1-ln2x=0?x=e 或 x=e (舍

1 [解析] 若实数 x0 是方程 f(x)=0 的解,即 x0 是函数 y=(5)x 和 y 1 =log3x 的图象的交点的横坐标,因为 0<x1<x0,画图易知(5)x1>log3x1, 所以 f(x1)恒为正数. 12.定义在 R 上的奇函数 f(x)满足:当 x>0 时,f(x)=2014x+ log2014x,则方程 f(x)=0 的实根的个数为( A.1 [答案] C [解析] 当 x>0 时,f(x)=0 即 2014x=-log2014x,在同一坐标系 下分别画出函数 f1(x)=2014x,f2(x)=-log2014x 的图象(图略),可知两 个图象只有一个交点,即方程 f(x)=0 只有一个实根,又因为 f(x)是定 义在 R 上的奇函数,所以当 x<0 时,方程 f(x)=0 也有一个实根,又 因为 f(0)=0,所以方程 f(x)=0 的实根的个数为 3. 13. (2013· 湖南张家界一模)若 logmn=-1, 则 m+3n 的最小值是 ( ) A.2 2 C.2 [答案] B [解析] 由 logmn=-1,得 m-1=n,则 mn=1. 由于 m>0,n>0,∴m+3n≥2 3mn=2 3.故选 B. 二、填空题 14.(文)(2013· 安徽师大附中、安庆一中联考)已知函数 f(x)的定 义域为 A,若其值域也为 A,则称区间 A 为 f(x)的保值区间.若 g(x) =x+m+lnx 的保值区间是[e,+∞),则 m 的值为________. [答案] -1 B.2 3 5 D.2 B.2 C.3 ) D.5

[解析] 由题意得,g(x)的值域为[e,+∞),由 x≥e 时,g′(x) 1 =1+x>0,所以当 x≥e 时,g(x)为增函数,由题意可得 g(e)=e+m +1=e,解得 m=-1.
? ?a,?a≤b?, (理)对任意实数 a、b,定义运算“*”如下:a*b=? 则 ? ?b,?a>b?.

函数 f(x)=log1
2

(3x-2)*log2x 的值域为________.

[答案] (-∞,0] 2 [解析] 易知函数 f(x)的定义域为(3,+∞),在同一直角坐标系 中画出函数 y=log1
2

(3x-2)和 y=log2x 的图象,

由 a*b 的定义可知,f(x)的图象为图中实线部分, 2 ? log x , ? 2 ? 3<x≤1?, ∴由图象可得 f(x)=? log1 ?3x-2?,?x>1?. ? ? 2

的值域为(-∞, 0].

15.(文)(2013· 四川)lg 5+lg 20的值是________. [答案] 1 [解析] lg 5+lg 20=lg 100=lg10=1.

1 ?log2 (理)(2013· 北京)函数 f(x)=? ?2x,

x,x≥1 的值域为________. x<1

[答案] (-∞,2) [解析] 当 x≥1 时,log1 x≤log1 1,即 log1 x≤0;当 x<1 时,
2 2 2

0<2x<21,即 0<2x<2.故 f(x)的值域为(-∞,2). 三、解答题 16.(文)已知函数 f(x)=loga(3-ax). (1)当 x∈[0,2]时,函数 f(x)恒有意义,求实数 a 的取值范围; (2)是否存在这样的实数 a, 使得函数 f(x)在区间[1,2]上为减函数, 并且最大值为 1?如果存在,试求出 a 的值;如果不存在,请说明理 由. [解析] (1)由题意,3-ax>0 对一切 x∈[0,2]恒成立,∵a>0 且 a≠1, 3 ∴g(x)=3-ax 在[0,2]上是减函数,从而 g(2)=3-2a>0 得 a<2. 3? ? ∴a 的取值范围为(0,1)∪?1,2?.
? ?

(2)假设存在这样的实数 a, 使得函数 f(x)在区间[1,2]上为减函数, 并且最大值为 1. 由题设 f(1)=1,即 loga(3-a)=1, 3 ? ? 3 ∴a=2, 此时 f(x)=log3 ?3-2x?, 当 x=2 时, 函数 f(x)没有意义, ? ? 2 故这样的实数 a 不存在. (理)已知函数 f(x)=log1
2

2-ax (a 是常数且 a<2). x-1

(1)求 f(x)的定义域;

(2)若 f(x)在区间(2,4)上是增函数,求 a 的取值范围. 2-ax [解析] (1)∵ >0,∴(ax-2)(x-1)<0, x-1 2? ? ①当 a<0 时,函数的定义域为?-∞,a?∪(1,+∞);
? ?

②当 a=0 时,函数的定义域为(1,+∞); 2? ? ③当 0<a<2 时,函数的定义域为?1,a?.
? ?

(2)∵f(x)在(2,4)上是增函数, 2-ax ∴只要使 在(2,4)上是减函数且恒为正即可. x-1 2-ax 令 g(x)= , x-1 即当 x∈(2,4)时 g′(x)≤0 恒成立且 g(4)≥0. 解法一:g′(x)= -a?x-1?-?2-ax? a-2 = , ?x-1?2 ?x-1?2

∴当 a-2<0,即 a<2 时,g′(x)≤0. 1? ? 1 g(4)≥0,即 1-2a≥0,∴a≤2,∴a∈?-∞,2?.
? ?

解法二:∵g(x)=

2-ax 2-a =-a+ , x-1 x-1

2-a ∴要使 g(x)=-a+ 在(2,4)上是减函数, 只需 2-a>0, ∴a<2, x+1 以下步骤同解法一.

考纲要求 1.理解对数的概念及其运算性质,会用换底公式将一般对数转 化成自然对数或常用对数;了解对数在简化运算中的作用.

2.理解对数函数的概念,理解对数函数的单调性,掌握对数函 数图象通过的特殊点. 3.知道对数函数是一类重要的函数模型. 4.了解指数函数 y=ax 与对数函数 y=logax 互为反函数(a>0,且 a≠1). 补充说明 1.掌握对数函数图象过定点(1,0)且过(a,1);熟悉对数的性质、 运算法则和换底公式; 会用对数函数单调性比较对数式的大小和解对 数不等式;熟练进行指对互化;清楚对数函数图象的分布规律. 2.恒成立问题一般与函数最值有关,要与方程有解区别开来. 3.忽视对数函数的定义域是解题过程中常犯的错误,要引起足 够重视. [例] 函数 f(x)=loga(ax-3)在[1,3]上单调递增, 则 a 的取值范围 是( ) A.(1,+∞) 1 C.(0,3) [错解] 由于 a>0,且 a≠1, ∴y=ax-3 是增函数,若函数 f(x)为增函数,则 y=logax 必为增 函数,所以 a>1,故选 A. [错因分析] 本题解答出错的根源就在于忽视了“函数在[1,3]上 单调递增”这一条件,即要求函数 f(x)在[1,3]上需有意义,也就是需 使 y=ax-3 在[1,3]上恒大于零. [正确解答] 由于 a>0,且 a≠1, ∴y=ax-3 为增函数, ∴若函数 f(x)为增函数,则 y=logax 必为增函数, B.(0,1) D.(3,+∞)

因此 a>1. 又 y=ax-3 在[1,3]上恒为正, ∴a-3>0,即 a>3,故选 D. 4.(1)同底数的对数比较大小用单调性. (2)同真数的对数比较大小用图象或换底或转化为指数式. (3)作差或作商法 (4)利用中间量 0、1 比较. 5.对数函数图象在第一象限内底数越小,图象越靠近 y 轴(逆时 针底数依次变小), 在直线 x=1 右侧, 底大图低(区分 x 轴上方与下方). 6.在对数运算中,常常先利用幂的运算把底数或真数进行变形, 化成分数指数幂的形式,使幂的底数最简,然后再运用对数运算法则 化简合并,在运算中要注意化同底和指对互化的运用. 备选习题 1.函数 y=loga(x+3)-1(a>0,且 a≠1)的图象恒过定点 A,若 1 2 点 A 在直线 mx+ny+1=0 上, 其中 mn>0, 则m+n的最小值为( A.6 [答案] C [解析] ∵函数 y=loga(x+3)-1 的图象恒过点(-2,-1),∴- 1 2 1 2 n 2m-n+1=0, 即 2m+n=1, 于是m+n=(m+n)(2m+n)=2+2+m+ 4m 1 1 ≥ 8. 等号在 n = , m = n 2 4时成立. 2.(2013· 湖南)函数 f(x)=lnx 的图象与函数 g(x)=x2-4x+4 的图 象的交点个数为( A.3 [答案] C ) B.2 C.1 D.0 B.7 C.8 D.9 )

[解析] 画出两函数的大致图象,可得两图象的交点个数为 2. 3.已知函数 f(x)=logax 在[2,+∞)上恒有|f(x)|>1,则( 1 A.0<a<2或 1<a<2 1 C.2<a<1 或 1<a<2 [答案] C [解析] ①若 a>1,则 f(x)=logax 在[2,+∞)上是增函数,且当 x≥2 时,f(x)>0. 由|f(x)|>1 得 f(x)>1,即 logax>1. ∵当 x∈[2,+∞)时,logax>1 恒成立, ∴loga2>1,∴loga2>logaa,∴1<a<2. ②若 0<a<1,则 f(x)=logax 在[2,+∞)上是减函数. 1 同理可得2<a<1. [点评] 用数形结合法解更简便些. 4.(2013· 江西省七校联考)设 a=0.64.2,b=70.6,c=log0.67,则 a, b,c 的大小关系是( A.c<b<a C.a<c<b [答案] B [解析] 依题意,0<0.64.2<0.60=1,70.6>70=1,log0.67<log0.61=0, 因此 c<a<b,选 B. 2 5.设 f(x)=lg( +a)是奇函数,且在 x=0 处有意义,则该函 1 -x 数是( ) ) B.c<a<b D.a<b<c 1 B.0<a<2或 a>2 1 D.2<a<1 或 a>2 )

A.(-∞,+∞)上的减函数

B.(-∞,+∞)上的增函数 C.(-1,1)上的减函数 D.(-1,1)上的增函数 [答案] D [解析] 由题意可知,f(0)=0,即 lg(2+a)=0,解得 a=-1,故 1+x 1+x f(x)=lg ,函数 f(x)的定义域是(-1,1),在此定义域内 f(x)=lg 1-x 1-x =lg(1+x)-lg(1-x),函数 y1=lg(1+x)是增函数,函数 y2=lg(1-x) 是减函数,故 f(x)=y1-y2 是增函数.选 D.



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