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3.3.2函数的极值与导数



3.3.2

函数的极值与导数

h

h' ?a? ? 0

单调递增
O

单调递减 h' ?t ? ? 0

a 图1.3 ? 8

h ?t ? ? 0
'

t

/>
图1.3 ? 9

观察图 1.3.8, 我们发现, t ? a时,高台跳水运动员 距水面的高度最大 .那么 ,函数h?t ?在此点的导数 是多少呢? 此点附近的图象有什么 特点? 相应 地, 导数的符号有什么变化 规律 ?

出,h ?a? ? 0; 在t ? a附近,当t ? a时,函
'

放大t ? a附近函数h?t ?的 图象, 如图 1.3 ? 9.可以看
h ?t ? ? 0
'

h' ?a? ? 0

单调递增

单调递减 h' ?t ? ? 0

当t ? a时,函数h?t ?单调递减 ,h' ?t ? ? 0.

数h?t ?单调递增 ,h' ?t ? ? 0;

图1.3 ? 9

过a时,h' ?t ?先正后负 ,且h' ?t ?连续变化 ,于是有h' ?a? ? 0.
对于一般的函数 y ? f ?x ?, 是 否 也 有 同 样 的 性 质 呢 ?

后减( t ? a时, h' ?t ? ? 0).这样,当t在a附近从小到大经

这就是说, 在t ? a附近,函数值先增 ( t ? a时,h' ?t ? ? 0)

探究 如图1.3 ? 10 和图1.3 ? 11 ,函数 y ? f ?x ?在 a , b , c , d, e , f , g, h, i, j 等点的函数值与这些点 附近 的函数值有什么关系 ? y ? f ?x ? 在这些点的导数 值是多少? 在这些点附近 , y ? f ?x ?的导数的符号 有什么规律?
y

y ? f ?x ?

y

y ? f ?x ?

a o b
x

c d e

f g

o

h

i

j

x

图1.3 ? 10

图1.3 ? 11

以a, b两点为例 , 我们可 以发现,函数 y ? f ?x ?在 点x ? a的函数值f ?a ? 比 它在点 x ? a 附近其他 点的函数值都小, f ' ?a ? ? 0 ; 而且在点x ? a 附
'

y

y ? f ?x ?

a o b
x

图1.3 ? 10
'

类似地,函数 y ? f ?x ?在点x ? b的函数值f ?b? 比它

近的左侧f ?x ? ? 0, 右侧f ?x ? ? 0.

而且在点x ? b附近的左侧f ' ?x ? ? 0, 右侧f ' ?x ? ? 0.

在点 x ? b附近其他点的函数值 都 大 , f ' ?b? ? 0 ;

我们把点a叫做函数 y ? f ?x ?的极小值点, f ?a ?叫做函数y ? f ?x ? 的 极 小 值; 点b叫做函数y ? f ?x ? 的极大值点, f ?b?叫做 函数y ? f ?x ?的极 大 值 ;

y

y ? f ?x ?

a o b
x

图1.3 ? 10

极小值点、极大值点统 称为极 值 点 .极大值和 极小值统称 极 值 ?extreme value?. 极值反映了函数在某一 点附近的大小情况 , 刻画 的是函数的局部性质 .

一般地,当函数 f ( x ) 在点 x 0 处连续时,判断 f ( x 0 ) 是极 大(小)值的方法是:
(1)如果在 x 0 附近的左侧 f ?( x0 ) ? 0 ,右侧 f ?( x0 ) ? 0 ,那 么 f ( x 0 )是极大值. (2)如果在 x 0 附近的左侧 f ?( x0 ) ? 0 ,右侧 f ?( x0 ) ? 0 ,那 么 f ( x 0 )是极小值.

思考 导数 值为 0的点 一定 是函 数的极 值 点吗?
y

y ? f ?x ?
说明:函数的极值是就 函数在某一点附近的小 区间而言的,在函数的 整个定义区间内可能有 多个极大值或极小值.

a x1 x 2 x 3

o

x 4 x5

x6

b

x
8

说明:(1 )对于可导函数,某点是其极值点的必要条件是这点的 导数为0;某点是其极值点的充分条件是这点两侧的导数异号;
(如函数 f(x)=x3在x=0处导数为0,但x=0不是函数的极值点.)

(2)函数的不可导点也可能是极值点; (如函数 f(x)=|x|在x=0处不可导,但点x=0是函数的极小值点.) 当x>0时, f(x)=x, 知 f’(x) =1 >0; 当x<0时, f(x)=-x,知 f’(x) =-1<0; 当x=0时,f(x)=0, 所以x=0是此函数的极小值点,但 f’(0)不存在.
y
y ? x3

y

y ?| x|

O

x



x

1 3 x ? 4 x ? 4 的极值. 3 2 解: y? ? x ? 4 ? ( x ? 2)( x ? 2) 令 y? ? 0 ,解得 x1 ? ?2, x2 ? 2 当x变化时,y?, y 的变化情况如下表:

例1 求函数 f ( x ) ?

x

(??,?2)
+

-2 0
28 极大值 3

(-2,2) -

2 0
4 极小值? 3
y

( 2,??)
+

y?
y

28 当 x ? ?2 时,y有极大值,并且 y极大值 ? 3 4 y ? ? x ? 2 当 时,y有极小值,并且 极小值 3
?2

f ?x ? ?

1 3 x ? 4x ? 4 3

o

2

x

1 3 函数 f ?x ? ? x ? 4 x ? 4的图象如图 1.3 ? 12所示. 3

小结 求可导函数 f ( x )的极值的步骤如下: (1)求导数 f ?( x ) . (2)求方程 f ?( x ) ? 0 的根.

⑶用方程 f /(x)=0的根顺次将函数的定义域分成 若干个小区间,并列成表格,根据 f /(x)在每个 小区间内的符号判定函数的极值.
(4)检查 f ?( x ) 在方程根左右的值的符号,如果左正右 负,那么 f ( x ) 在这个根处取得极大值;如果左负右正,那么

f ( x )在这个根处取得极小值.

练习:教材

例2. 如图,根据图象回答问题:
y

a x1

x2 x3

x4 x5

x6

b

x

(1)若图是函数y=f(x)的图象,指出哪些是函数y=f(x) 的极大值点,哪些是极小值点. 解: 极大值点有:x1, x5 ; x6 . 极小值点有:x3,

例2. 如图,根据图象回答问题:
y

a x1

x2 x3

x4 x5

x6

b

x

(2)若图是函数y=f ’(x)的图象,指出哪些是函数 y=f(x)的极大值点,哪些是极小值点. 解: 极大值点有:x2 ; 极小值点有:x4 .

y

a x1

x2 x3

x4 x5

x6

b

x

【说明】 (1)小题考察对函数极值的图象直观认识; (2)小题考察用导数的符号判定极值. 特别注意点x6在(2)问中不是极值点.

例3. 已知函数f (x ) ? x 3 ? 3ax 2 ? 2bx在x ? 1处有极值 ? 1, 求函数的解析式及单调区间,并求出极值.

解:f / ( x) ? 3x2 ? 6ax ? 2b
? x ? 1是函数的一个极值点

? f (1) ? 0即3 ? 6a ? 2b ? 0
/

又? f (1) ? ?1

?1 ? 3a ? 2b ? ?1

1 1 ? a ? ,b ? ? 3 2

? f ( x) ? x ? x ? x
3 2

1 令f ( x) ? 3x ? 2x ?1 ? 0 ? x ? ? 或x ? 1 3 1 1 ? 增区间为 (?? ,? ), (1,?? );减区间为 (? ,1) 3 3
/ 2

例 4 函数 y ? ?2 x 3 ? 3(1 ? 2a) x 2 ? 12ax ? 1 在 x ? ? 处取极小值,
x ? ? 处取极大值,且 ? 2 ? ? .

(1)求 a ; (2)求函数的极大值与极小值的和.
2 解: (1)y ' ? ?6 x ? 6(1 ? 2a) x ? 12a ? ?6( x ? 1)( x ? 2a ) 令 y ' ? 0 , 得 x ? 1 或 x ? ? 2a .

① 若 ? ? 1 , ? ? ?2a, 则由 ? 2 ? ? , 得 12 ? ?2a,
1 ? a ? ? . 此时,y ' ? ?6( x ? 1)2 ? 0, 2

函数为减函数, 不存在极值;

1 ②若 ? ? ?2a , ? ? 1 , 则由 ? ? ? , 得 (?2a) ? 1, ? a ? ? . 2 1 y ' ? ?6( x ? 1)( x ? 1) 列表如下: 当 a ? 时, 2
2 2

x

( ??, ?1)

-1

(-1,1) +

1 0 极大值 3

(1, ?? )

y?
y



0 极小值 ? 5



1 a? . 满足题意, 综合①②得: 2

(2)由(1)知当 x ? ?1 时,y极小 ? ?5.

y极大 ? 3. 当 x ? 1 时, ? y极小 ? y极大 ? ?5 ? 3 ? ?2.

小结

一、极值的定义说明
1、函数的极值是一个局部定义
2、函数的极大值和极小值都可能不只一个 3、函数的极值不等于函数的最值
/ f 4、若x0是函数的极值点,且可导,则 ( x0 ) ? 0 反之则不成立

5、不可导的点也可能是函数的极值点

二、 求可导函数 f ( x )的极值的步骤如下:
(1)求导数 f ?( x ) . (2)求方程 f ?( x ) ? 0 的根.

⑶用方程 f /(x)=0的根顺次将函数的定义域分成 若干个小区间,并列成表格,根据 f /(x) 在每个 小区间内的符号判定函数的极值.
(4)检查 f ?( x ) 在方程根左右的值的符号,如果左正右 负,那么 f ( x ) 在这个根处取得极大值;如果左负右正,那么

f ( x )在这个根处取得极小值.

课后作业
1.复习教材P
2.教材P9 练习 3.活页作业:3.3.2

5.函数 f(x)在 R 上的导函数 f ’(x),且 2f(x)+x f ’(x)>x 2 , 下面的不等式在 R 内恒成立的是( A ) A . f ( x) ? 0 B . f ( x) ? 0 C. f ( x) ? x D. f ( x) ? x

[ x 2 ? f ( x)]' ? 2 x ? f ( x) ? x 2 ? f '( x) ? x[2 f ( x ) ? xf '( x )] 设 h( x ) ? x 2 f ( x ), x ? R . 则 h(0) ? 0,
解:

h '( x ) ? x[2 f ( x ) ? xf '( x )] ? x ? 0. 当 x>0时,
3 3 ? 0. y ? x h '( x ) ? x[2 f ( x ) ? xf '( x )] 当 x<0时,

∴ h(x)在(0 , +∞)单调递增, 在(-∞ , 0)单调递减.
? h( x) ? x 2 f ( x) ? 0, x ? R . ? f ( x ) ? 0, x ? R.
O

h( x )

x

1 3 10. 设函数 f ( x) ? ? x ? 2ax 2 ? 3a 2 x ? b (0 ? a ? 1) . 3

( 1)求函数 f(x)的单调区间,并求函数 f(x)的极大值和极小值; ( 2)当 x∈[a+1, a+2]时,不等式 | f ?( x) |? a ,求 a 的取值范围. 【解析】 2 2 ( 1)∵ f ?( x) =- x +4ax- 3a

=- (x- 3a)(x- a), 由 f ?( x) ? 0 ,得 x ? a 或 3a , 当 x 变化时, f ' ? x ? , f ? x ? 情况如下表:
x
f ?( x)

(-∞, a) — ↘

a 0
4 3 - a +b 3

(a, 3a) + ↗

3a (3a,+ ∞ ) — 0 b ↘

f(x)

4 3 ∴函数 f(x)的极大值为 b,极小值为- a +b. 3

(2) f ?( x) ? ? x2 ? 4ax ? 3a2 ? ?( x ? 2a)2 ? a2 ,

? f ?( x)在[a ? 1, a ? 2] 上单调递减,
因此 f ?( x)max ? f ?(a ? 1) ? 2a ?1,
y

f ?( x)min ? f ?(a ? 2) ? 4a ? 4 ,
∵不等式 |f′ (x)|≤a 恒成立,

?2 a ? 1 ? a 4 , 解得 : ? a ? 1 , ? 5 ?4 a ? 4 ? ? a

O

a?1 a ? 2 x

4 即 a 的取值范围是 ? a ? 1 . 5

x ? 2a



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