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2017届高三二次函数最值知识点总结-典型例题及习题



高考复习二次函数在闭区间上的最值问题
一、 知识要点: 一元二次函数在区间上的最值问题,核心是函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论。一 般分为:对称轴在区间的左边,中间,右边三种情况. 设 f ( x) ? ax 2 ? bx ? c(a ? 0) ,求 f ( x ) 在 x ?[m,n] 上的最大值与最小值。 分析:将 f ( x ) 配方,得顶点为 ? ? 例

2. 如果函数 f ( x) ? ( x ? 1) 2 ? 1 定义在区间 t, t ? 1 上,求 f ( x ) 的最值。 例 3. 已知 f ( x) ? ? x2 ? 4 x ? 3 ,当 x ?[t,t ? 1](t ? R) 时,求 f ( x ) 的最值. 对二次函数的区间最值结合函数图象总结如下: 当 a ? 0时
b 1 ? b ? ? ? (m ? n)(如图1) ? ? n(如图3) ? f ( n), ? f (m), 2a ? 2a 2 ? ?? b b ? b 1 ? f (n), ? ? (m ? n)(如图2) f ( x ) min ? ? f ( ? 2a ),m ? ? 2a ? n(如图4) ? ? 2a 2 ?
b ? ? ? m(如图5) ? f ( m), 2a ?

?

?

? b b 4ac ? b2 ? , ? 、对称轴为 x ? ? 2a 4a ? ? 2a

f ( x) max

当 a ? 0时,它的图象是开口向上的抛物线,数形结合可得在[m,n]上 f ( x ) 的最值:
2 b ? b ? 4ac ? b ? m,n 时, f ( x ) 的最小值是 f ? ? ? ? (1)当 ? ,f ( x ) 的最大值是 f (m) 、f (n) ? 2a ? 2a 4a

?

?

中的较大者。 (2)当 ?

b ? m,n 时 2a b ? m ,由 f ( x ) 在 m, n 上是增函数则 f ( x ) 的最小值是 f (m) ,最大值是 f ( n) 若? 2a b 若n ? ? ,由 f ( x ) 在 m , n 上是减函数则 f ( x ) 的最大值是 f (m) ,最小值是 f ( n) 2a

?

?


b ? ? ? n(如图6) ? f (n), 2a ? b b ? ? ? f (? ),m ? ? ? n(如图7) 2 a 2 a ? b ? ? ? m(如图8) ? f (m), 2a ?

a?0


b 1 ? f (m) , ? ? (m ? n)( 如图 9) ? ? 2a 2 ?? ? f (n) , ? b ? 1 (m ? n)( 如图10) ? 2a 2 ?

?

?

?

?

f ( x) max

f ( x ) min

当 a ? 0时,可类比得结论。 二、例题分析归类: (一)、正向型 是指已知二次函数和定义域区间,求其最值。对称轴与定义域区间的相互位置关系的讨论往往成为 解决这类问题的关键。此类问题包括以下四种情形: (1)轴定,区间定;(2)轴定,区间变;(3)轴变,区间定;(4)轴变,区间变。 1. 轴定区间定 二次函数是给定的,给出的定义域区间也是固定的,我们称这种情况是“定二次函数在定区间 上的最值”。 例 1. 函数 y ? ? x ? 4x ? 2 在区间[0,3]上的最大值是_________,最小值是_______。
2

3、轴变区间定 二次函数随着参数的变化而变化,即其图象是运动的,但定义域区间是固定的,我们称这 种情况是“动二次函数在定区间上的最值”。
2 例 4. 已知 x ? 1 ,且 a ? 2 ? 0 ,求函数 f ( x) ? x ? ax ? 3 的最值。
2

练习. 已知 2 x ? 3x ,求函数 f ( x) ? x ? x ? 1 的最值。
2

2

例 5. (1) 求 f ( x ) ? x ? 2ax ? 1 在区间[-1,2]上的最大值。
2

2、轴定区间变 二次函数是确定的,但它的定义域区间是随参数而变化的,我们称这种情况是“定函数在动区间上的 最值”。
1

(2) 求函数 y ? ? x( x ? a) 在 x ? [?1 , 1] 上的最大值。 4. 轴变区间变 二次函数是含参数的函数,而定义域区间也是变化的,我们称这种情况是“动二次函数在动

区间上的最值”。 例 6. 已知 y ? 4a( x ? a)(a ? 0), ,求 u ? ( x ? 3) ? y 的最小值。
2 2 2

5. 已知函数 f ( x) ? 4x2 ? 4ax ? a2 -2a+2在[0,2]上的最小值为 3,求 a 的值。 6.求函数 f ( x) ? ?x2 ? 2 x +3 的单调区间。 7. 已知函数 f ( x) ? x2 ? ax ? 3 ? a, 若 x ? [?2, 2] ,有 f ( x) ? 2 恒成立,求 a 的取值范围。 8. 已知函数 f ( x) ? 2 x2 ? mx ? 3 ,当 x ? (??, ?1] 时是减函数,求 m 的取值范围。

(二)、逆向型 是指已知二次函数在某区间上的最值,求函数或区间中参数的取值。 例 7. 已知函数 f ( x) ? ax2 ? 2ax ? 1 在区间 [?3, 2] 上的最大值为 4,求实数 a 的值。

例 8.已知函数 f ( x) ? ?

x2 ? x 在区间 [m, n] 上的最小值是 3 m 最大值是 3 n ,求 m , n 的值。 2

9. 已知函数 f ( x) ?

2 x 2 ? (2 ? a ) x ? 2a 的定义域为 R,求 a 的取值范围。

例 9. 已知二次函数 f ( x ) ? ax2 ? ( 2a ? 1)x ? 1 在区间 ? ? 二次函数在闭区间上的最值专题演练

? 3 ? 求实数 a 的值。 ,2 上的最大值为 3, ? 2 ? ?

10. 已知函数 f ( x) ? x2 ? 2x ? 2 : (1)若 x ? R ,求 f(x)的最小值。 (2)若 x ? [1,3] ,求 f(x)的最小值。

1. 若函数 f ( x) ? (a ? 2) x2 ? 2(a ? 2) x ? 4 ? 0对一切x ? R 恒成立,则 a 的取值范围( A. (??, 2] B. [?2, 2]
2



(3)若 x ?[a, a ? 2], a ? R ,求 f(x)的最小值。 11. 已知函数 f ( x) ? ? x2 ? 2kx ? 3 ,求 x ? [?1, 2] 上的最大值。

C. (?2, 2]

D. (??, ?2) )

2.. 已知函数 f ( x) ? 4x ? 4ax ? 2在(-?,0]内单调递减,则 a 取( A. a ? 3 B. a ? 3
2

12. 已知函数 f ( x) ? ?3x ? 3x ?
2

C. a <-3

D. a ? ?3

1 ? b 2 ,求 x ?[?b, b], (b ? 0) 上的最值。 4

13.已知 f ( x) ? x ? ax ?
2

3. 已知函数 f ( x) ? ? x ? kx在[2,4]上是单调函数,求 k 的取值范围。 4. 已知函数 f ( x) ? 3 ? x 2 ? 4 的最大值为 M,最小值为 m,则 M+m=________.

a ,在区间 [0,1] 上的最大值为 g (a ) ,求 g (a ) 的最小值。 2

2



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