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【数学】1.6《微积分基本定理(第1课时)》课件(人教A版选修2-2)



1.6

微积分基本定理

一、引入
1 1. 由定积分的定义可以计算 ?0 x dx ? 3
1 2

, 但

比较麻烦(四步曲),有没有更加简便有效的 方法求定积分呢?

二、牛顿—莱布尼茨公式
定理 (微积分基本定理)

>如果f(x)是区间[a,b]上的连续函数,
并且F’(x)=f(x),则
b a

?

b

a

f ( x )dx ? F(b) ? F(a )

或? f ( x )dx ? F ( x ) |b ? F (b) ? F (a ) a

(F(x)叫做f(x)的原函数,f(x)就是F(x)的导函数)

?

b

a

f ( x)dx ? F ( x) | ? F (b) ? F (a)
b a

例1 计算下列定积分

找出f(x)的原 函数是关健
3 1

1 (1)? dx 1 x
2

(2)? 2xdx
1 x

解(1)∵ (lnx)? =

?

2

1

1 dx = lnx|2 = ln2 -ln1 = ln2 1 x
b

1 b 公式1: ? dx = lnx|a ? ln b ? ln a a x 3 2 3 2 2 (2)? 2xdx = x |1 ? 3 ? 1 ? 8
1

练习:

1 (1)? 1dx = ______
1 0

1/2 (2)? xdx = ______
1 0

1/4 (3)? x dx = ______
3 0

1

15/4 (4)? x 3dx = ______
-1

2

公式2:

?

b

a

x b x dx = |a n +1
n

n+1

复习: 定积分的基本性质
性质1.

?
?
a

b

a

kf ( x )dx ? k ? f ( x )dx
b a

性质2.

b

[ f ( x ) ? g( x )]dx ? ? f ( x )dx ? ? g( x )dx
b b a a

例 2.计算下列定积分 3 1 2 ?1 (3x - x2 )dx 解:∵ (x )? = 3x ,
3 2

1 1 ( )? ? ? 2 x x
3 3 3 1 1 2 dx ? ? 3x dx ? ? (? 2 )dx 2 1 1 x x

原式 = ? 3x dx ? ?
2 1

3

1

1 3 1 1 76 3 3 = x | ? | ? (3 ? 1 ) ? ( ? ) ? 1 x 3 1 3
3 3 1

练习:

(1)? (-3t + 2)dt ? ______ 1
2 0

1

1 2 23/6 (2)? (x + ) dx = ______ 1 x
2

9 (3)? (3x + 2x -1) = ______ dx
2 -1 2

2

e2-e+1 (4)? (e ? 1)dx = ______ 1
x

三、小结
微积分基本公式

?a f ( x )dx ? F (b) ? F (a )

b

牛顿-莱布尼茨公式沟通了导数与定积分之 间的关系.

公式1:

?

b

a

1 b dx = lnx|a x
b a

公式2:

?

x b x dx = |a n +1
n

n+1

定积分公式 b b cx | 1) (cx ) = c ? ò cdx = a a b 1 n n n n b 2) x = nx ? ò x dx = x | a a n+1 b b 3) (sin x ) = cos x ? ò cos xdx = sin x | a a b b 4) (cos x ) = - sin x ? ò sin xdx = - cos x | a a b 1 1 b 5) (ln x ) = ? ò dx = ln| x || a a x x b b x x x ex | 6) (e ) = e ? ò e dx = a a x b a b x x x 7) (a ) = a ln a ? ò a dx = | a a ln a
' ' -1

+1

'

'

'

'

'



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