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人教A 必修5 2.5等比数列前n项和(2)



2.5 等比数列的前n项和(2)

1

填 表
数 前 n 项 和 公 式 推导方法 列 等 差 数 列 等 比 数 列

n?n ? 1? ? na1 ? d 2
倒序相加

n?a1 ? a n ? Sn? 2

a1 1 ? q n ?q ? 1? Sn ? 1? q

?

?

a1 ? a n q ? 1? q
错位相减

【注意】在应用等比数列的前n项和公式时考虑

公比是否为1

.

2

例3如图,为了估计函数 y ? 9 ? x 2 在第一象限的图 象与 x 轴、 y 轴围成的区域的面积X,把 x 轴 上的区间[0,3]分成 n 等份,从各分点作 y 轴的 平行线与函数图象相交,再从各交点向左作 x 轴 的平行线,构成 n ? 1 个矩形。下面的程序用来 计算这个矩形的面积的和S。

3

练习:求下面数列前n項和。 2 2 n ?1 1, ?1 ? 2 ? , ?1 ? 2 ? 2 ? ......(1 ? 2 ? 2 ? ...... ? 2 )
解:∵ak

? 1 ? 2 ? 22 ? …… ? 2 k ?1
?
1? ( 2 k ?1) 2 ?1

? 2k ? 1
∴ Sn

? a1 ? a2 ?…… ? an

? (2 ? 1) ? (2 2 ? 1) ? …… ? (2 n ? 1)
? 2 ? 2 2 ? …… ? 2 n ? n

?

2 (1? 2 n ) 1? 2 n ?1

?n
4

?2

?n?2

探究1:
1. 等比数列通项an与前n项和Sn的关系? {an}是等比数列

? Sn ? Aq n ? B
其中A ? 0, q ? 1, A ? B ? 0.

5

练习1:
若等比数列{an}中,Sn=m· 3n+1,则

-1 实数m=__________.

6

探究2:

?an ?的 前n项 和, 已 知Sn 是 等 比数 列
且S10 ? 5, S20 ? 15.

(1).求S30 ;

35

( 2).问S10, S20 ? S10 , S30 ? S20

是否成等比数列?

7

结论: 是等比数列?a ? 的前 n 项和, Sn n 说法一: Sn≠0,
则Sk, S2k-Sk, S3k-S2k(k∈N*)是等比数列.

说法二: ①当q=-1且k为偶数时,

Sk , S2k ? Sk , S3k ? S2k不是等比数列.
王新敞
奎屯 新疆

②当q≠-1或k为奇数时, Sk , S2k ? Sk , S3k ? S2k仍成等比数列.
8

练习2:
(1) 等比数列中,S10=10,S20=30,则

S30=_______. 70
(2) 等比数列中,Sn=48,S2n=60,则

S3n=_______. 63

9

探究3:
3. 在等比数列中,若项数为2n(n∈N *),
S偶与S奇分别为偶数项和与奇数项和,

S 则 偶 ? q S奇

.

10

练习3:
等比数列{an}共2n项,其和为-240, 且奇数项的和比偶数项的和大80,

2 则公比q =________.

11

讲解范例:
例1. 设等比数列{an}的公比为q,前n项和
为Sn,若Sn+1,Sn,Sn+2成等差数列,则

-2 q的值为______.

12

课堂小结:
1. {an}是等比数列 ? Sn ? Aq ? B
n

其中A ? 0, q ? 1, A ? B ? 0.
2. Sn为等比数列的前n项和, Sn≠0, 则Sn,S2n-Sn,S3n-S2n是等比数列.

3. 在等比数列中,若项数为2n(n∈N *), S偶与S奇分别为偶数项和与奇数项和, S偶 则 ? q. S奇

13

作业: P61 A组 4 B组 5
补充:
在等比数列 ?an ? 中, (1) a1 ? a2 ? ?? a10 ? 2, a11 ? a12 ? ?? a30 ? 12 求 a31 ? a32 ? ?? a60 的值。

(2)设等比数列{an}中,q=2,S99=7, 求a3+a6+…+a99 , S ? 10 (3)已知等比数列 ?a ? 中,
n

a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? ?? a9 ? a10 ? 5 ,求公比q

10

14

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