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选修4-5 第二节



第二节 证明不等式的基本方法

考纲
要求

了解证明不等式的基本方法:比较法、综合
法、分析法、反证法、放缩法等

不等式的证明方法 (1)比较法: ①作差比较法 知道a>b?a-b>0,a<b?a-b<0,因此欲证a>b, a-b>0 . 即证_______

②作商比较法
a a>b ,即证 由a>b>0? >1(b>0),因此当a>0,b>0时,欲证____ b a >1. b

(2)综合法与分析法:
①综合法 因 果 题设条件 出发,利 所谓综合法就是由“___”导“___”,从 _________ 已知定义、公理、定理 等逐步推进,证得所要求证的结论 用_____________________

的方法.
②分析法

欲证的不等式 出发,执“___”索“___”,层层推求使结 果 因 从_____________
充分 条件,直至能够_________________________ 肯定这些充分条件已经具备 为 论成立的_____

止,进而断言原不等式成立,这种方法称为分析法.

(3)反证法的证明步骤: 不成立 ,也就是说___________ 不等式的反 第一步:假设所要证的不等式_______ 面成立 第二步:结合已知条件,进而推理论证,最后推出和 _______; 已知条件 或___________ 已知不等式 相矛盾的结果,从而断定假设错误. _________ 因而确定要证明的不等式成立. (4)放缩法: 所谓放缩法是证明不等式时,通过把不等式中的某些部分的值 放大 或_____ 缩小 ,简化不等式,从而达到证明目的的方法. _____

判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”). (1)用作商比较法,由
a >1一定能推出a>b.( b

) ) )

(2)分析法证明是从结论出发,寻找使它成立的充要条件.( (3)用反证法证明时,推出的矛盾可以与已知条件相矛盾.( (4)用放缩法证明时,可以任意放大或缩小.( (5)在数学归纳法中,n0=1.( ) )

【解析】(1)错误.若 a >1,不一定能推出a>b.这和a,b两数
b

的符号有关,如a=-2,b=-1. (2)错误.寻找使结论成立的充分条件. (3)正确.可以和已知条件相矛盾. (4)错误.放缩时,必须适当,过大或过小都不利于证明,都有 可能导致不能证明结论. (5)错误.第一个值n0不一定是1. 答案:(1)× (2)× (3)√ (4)× (5)×

考向 1

应用比较法证明不等式
1 1 1 ≤ ? +xy. xy x y

【典例1】(1)设x≥1,y≥1,证明:x+y+

(2)1<a≤b≤c,证明:logab+logbc+logca≤logba+logcb+logac. 【思路点拨】欲证第(1)题不等式成立,只需判断左右两式之差 的正负性.观察第(2)题的特征,通过换底公式化归为(1)的形式, 根据第(1)题的结论证之.

1 1 【规范解答】(1)(x+y+ 1 )-( ? +xy) xy x y
2 2 2 2 x y ? xy ? 1 ? y ? x ? x y = xy

x xy ? 1? ? y ? xy ? 1? ? ? xy ? 1?? xy ? 1? = ? xy

= ? ? xy ? 1?? x ? 1?? y ? 1? , 由x≥1,y≥1得 ? ? xy ? 1?? x ? 1?? y ? 1? ≤0,
xy xy

从而x+y+ 1 ? 1 ? 1 +xy成立.
xy x y

(2)当1<a≤b≤c时,

记x=logab= lg b ≥1,y=logbc= lgc≥1,
lg a lgb

则logca= lg a ? 1 ,logba= 1 ,logcb= 1 ,logac=xy,于是由(1)
lg c xy
x

y

得证 logab+logbc+logca≤logba+logcb+logac.

【拓展提升】比较法证明的注意点

(1)比较法证明不等式是不等式证明的最基本的方法 .作差后需
要判断差的符号,作差变形的方向常常是因式分解后把差写成

积的形式或配成完全平方式.
(2)作商比较法要注意使用条件,如 a >1不一定能推出a>b.
b

这里要注意a,b两数的符号.

【变式训练】设a,b是非负实数,求证:a3+b3≥ ab (a2+b2).

【证明】方法一:a3+b3- ab (a2+b2)=
a 2 a ( a ? b) ? b2 b( b ? a )

= ( a ? b) [( a )5 ? ( b)5]
2 = ( a ? b)[ ( a )4 ? ( a )3 b ? ( a )2 ( b) 2 ? a ( b)3 ? ( b) 4].

因为实数a,b≥0,则 ( a ? b)2 ≥0,
( a )4 ? ( a )3 b ? ( a )2 ( b)2 ? a ( b)3 ? ( b) 4 ≥0,

所以上式≥0,即有a3+b3≥ ab(a2+b2).

方法二:由a,b是非负实数,作差得
a3+b3- ab(a2+b2)

= a 2 a ( a ? b) ? b2 b( b ? a )
= ( a ? b) . [( a )5 ? ( b)5]

当a≥b时, a ? b ,从而 ( a )5 ? ( b)5 ,
得 ( a ? b) ≥ 0; [( a )5 ? ( b)5]

当a<b时, a< b ,从而 ( a )5<( b)5 ,
得 ( a ? b) > 0; [( a )5 ? ( b)5]

所以a3+b3≥ ab (a2+b2).

考向 2

分析法、综合法与放缩法 求证:n a-1<a ? 1 .
n

【典例2】已知a>1,n≥2,n∈N*,

【思路点拨】观察本题特征,通过乘方运算,将其化归为不含有 根式的不等式,证之.

【规范解答】欲证 n a-1<a ? 1 ,即证a< ( a ? 1 ? 1) n .
n t 令a-1=t>0,则a=t+1.也就是证t+1<(1+ )n. n n t n t n >1+t, ∵ (1 ? t ) n ? 1 ? C1 ? … ? C n n( ) n n n

∴ n a-1<a ? 1 成立.
n

【拓展提升】

1.分析法的应用条件及证明思路
当欲证的不等式中含有分式或根式时,通常利用分析法,通过去

分母或乘方运算,进行恒等变形,化归为整式不等式,再利用综
合法证之.

2.综合法和分析法的应用
在证明不等式的过程中,分析法和综合法常常结合使用 .如果

使用综合法难以入手时,常用分析法探索证题途径,之后用综
合法写出证明过程.

3.放缩法的应用

从本题证明过程可知,中间步骤利用了放缩法,对于展开式,可
通过舍去其中的若干项达到缩小的目的,或增加若干项达到放

大的目的;对于值为正数的分式,通过对分母的放大或缩小达到
缩小或放大的目的.

【提醒】分析法证明不等式,必须有文字说明,否则是错误的 .

【变式训练】已知函数f(x)=tan x,x∈(0, 若x1,x2∈(0, ? ),且x1≠x2,
2

? ), 2

求证: 1[f(x1)+f(x2)]> f ( x1 ? x 2 ) .
2 2

【证明】要证 1 [f(x1)+f(x2)]>f ( x1 ? x 2 ) ,
即证明 1 (tan x1+tan x2)>tan x1 ? x 2 ,
2 x1 ? x 2 sin sin x sin x 1 1 2 2 只需证明 ( , ? )> 2 cos x1 cos x 2 cos x1 ? x 2 2 只需证明 sin(x1 ? x 2 ) > sin(x1 ? x 2 ) . 2cos x1cos x 2 1 ? cos(x1 ? x 2 ) 2 2 2

由于x1,x2∈(0, ? ),
2

故x1+x2∈(0,π).

∴cos x1cos x2>0,sin(x1+x2)>0,

1+cos(x1+x2)>0,
故只需证明1+cos(x1+x2)>2cos x1cos x2,

即证1+cos x1cos x2-sin x1sin x2>2cos x1cos x2,
即证:cos(x1-x2)<1.

由x1,x2∈(0, ? ),x1≠x2知上式是显然成立的.
因此, 1[f(x1)+f(x2)]> f ( x1 ? x 2 ) .
2 2 2

考向 3

反 证 法

【典例3】(2012·江苏高考)已知各项均为正数的两个数列{an} 和{bn}满足: an+1=
a n ? bn a n 2 ? bn 2

,n∈N*.

(1)设bn+1=1+ b n ,n∈N*,求证:数列{( b n )2}是等差数列.

an an (2)设bn+1= 2 bn ,n∈N*,且{an}是等比数列,求a1和b1的值. an

【思路点拨】 (1)根据等差数列的定义证之即可.
(2)从基本不等式猜想两数列的首项为 2 ,再证其为常数列, 利用反证法证公比q只能为1,即证q不可能大于1,也不可能小 于1.

【规范解答】 (1)由条件得bn+1= a n ? b n ,
an

代入an+1= an+1=

a n ? bn a n 2 ? bn 2

,n∈N*得

2 2 a ? b b n ,从而 n ?1 ? n , 2 2 a n ?1 an a n ? bn

a n b n ?1

2 2 b a ? b bn 2 , 2 n ? 1 n n 故( ) ? ? ( ) ?1 2 a n ?1 an an

所以数列{(

bn 2 ) }是等差数列. an

(2)因an+1=
2

a n ? bn a n 2 ? bn 2

,n∈N*,故由基本不等式
2 ,因{an}是等比

? a n ? b n ? ≤a 2+b 2<(a +b )2得1<a ≤ n n n n n+1
2

数列,设其公比为q>0,下面证q=1. 若q>1,则a1= a 2 <a2≤ 2 ,从而当n> log q 2 时, q
a1

an+1=a1qn> 2 ,与上面结论矛盾;

若q<1,则a1= a 2 >a2>1,从而当n> log q 1 时,
q

a1

an+1=a1qn<1,与上面结论矛盾;故q=1,故an=a1,从而
b n ?1 2 2 ,再由a = ? ? n+1 bn an a1

a n ? bn a n 2 ? bn 2

,n∈N*得

a 1= a 1 ? b n
2 1

a ? bn

2

知bn也是一个确定的常数,即数列{bn}是常数

列,从而a1= 2 ,代入得b1= 2 .

【拓展提升】

1.反证法的证明思路
反证法的基本思想是:否定结论就会导致矛盾.它可以用下面

的程序来表示:
“否定——推理——矛盾——肯定.”

“否定”——假设所要证明的结论不成立,而结论的反面成
立.

“推理”——从已知条件和假设出发,应用一系列的论据进行

推理.
“矛盾”——通过正确推导,推出与实际“需要”不符、与

“公理”矛盾、与“已知定理”矛盾、与“定义”矛盾、与
“题设”矛盾、自相矛盾等.

“肯定”——由于推理过程正确.故矛盾是由假设所引起的,
因此,假设是错误的,从而肯定结论是正确的.

2.宜用反证法证明的题型

(1)易导出与已知矛盾的命题.
(2)一些基本定理.

(3)“否定性”命题.
(4)“唯一性”命题.

(5)“必然性”命题.
(6)“至少”“至多”命题等.

3.反证法的注意事项 应用反证法证明命题时,反设必须恰当,如“都是”的否定是 “不都是”,“至少一个”的否定是“不存在”等.

【变式训练】证明:f(x)=cos 3 x 不是周期函数. 【证明】假设f(x)=cos 3 x 是周期函数, 则有常数T(T≠0), 使得对任意x有 cos 3 x ? T ? cos 3 x 上式中,令x=0,则有 cos 3 T =cos 0=1. ∴ 3 T =2mπ(m为整数,m≠0) ② ①

在①中令x=T,有 cos 3 2T ? cos 3 T =1, ∴ 3 2T =2nπ(n为整数,n≠0) ③÷②可得 3 2 = n .
m 而 3 2 是无理数, n 是有理数,两者不可能相等, m



故假设不成立.因此f(x)=cos 3 x 不是周期函数.



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