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2012-2013学年第二学期肇庆市期末高一数学试题及答案


试卷类型:A 肇庆市中小学教学质量评估 2012—2013 学年第二学期统一检测试题

高一数 学
本试卷共 4 页,20 小题,满分 150 分。考试用时 120 分钟 注意事项: 1. 答卷前, 考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、 班别、 座位号、 考号 写在答题卷上密封线内相对应的位置上。 2. 选择题每小题选出答案后, 2B 铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑; 用 如需要改 动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案,答案不能写在试卷或草稿纸上。 3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卷各题目指定区域 内相应的位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再在答题区内写上新的答案;不准使用 铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. ) 填

1. tan

3? 的值等于 4

A. ?

2 2

B.

2 2

C. -1

D. 1

2.已知 A(-1,-1) ,B(1,3)则 AB 等于 A.(2,4) 3. AB ? AC ? BC 等于 B.(-2,-4) C.(4,2) D.(-4,-2)

A. 0

B. 2 BC

C. ? 2BC

D. 2 AC

高一数学试题第 1 页 共 4 页

4. a, b ? R ,下列命题正确的是
2 2 A. 若 a ? b ,则 a ? b

B. 若 a ?| b | ,则 a ? b
2 2 2

2

C. 若 | a |? b ,则 a ? b
2

D. 若 a ?| b | ,则 a ? b

2

5.函数 y ? sin(

2 ? x ? ) 的最小正周期是 5 4
B.

A.

2? 5

5? 2

C. 2?

D. 5?

6.已知 a ? (1,0) , b ? (1,1) ,且 (a ? ?b) ? a ,则 ? 等于 A. 2 B. 1 C. 0 D. -1

7.设{an},{bn}都是等差数列,且 a1 ? 25 , b1 ? 75 , a2 ? b2 ? 100,那么,由 a n ? bn 所 组成的数列的第 37 项的值为 A. 0 B. -37 C. 37 D. 100

8.在?ABC 中,若 ?A ? 60? , ?B ? 45? , BC ? 3 2 ,则 AC 等于

A. 4 3

B. 2 3

C.

3

D.

3 2

9.已知 {an } 为等比数列,下列结论中正确的是 A. a1 ? a3 ? 2a2 C. 若 a1 ? a3 ,则 a1 ? a 2
2 2 2 B. a1 ? a3 ? 2a2

D. 若 a3 ? a1 ,则 a4 ? a2

? x ? 2 y ? 5 ? 0, ? x ? 2 y ? 3 ? 0, y ? 10.已知 x,y 满足 ? 则 的最值是 x ? x ? 1, ? y ? 0, ?
A. 最大值是 2,最小值是 1 C. 最大值是 2,最小值是 0 B. 最大值是 1,最小值是 0 D. 有最大值无最小值

高一数学试题第 2 页 共 4 页

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. ) 11.已知 a ? (4,2) , b ? (6, m) ,且 a // b ,则 m= ▲ 12.不等式 x ? 3x ? 10 ? 0 的解集为 ▲ .
2

.

? y ? x, ? 13.已知 x,y 满足 ? x ? y ? 1, 则 z ? 2 x ? y 的最大值是 ▲ . ? y ? ?1, ?
14.数列 {an } 满足 an?1 ? (?1) n an ? 2n ? 1,则 {an } 的前 60 项和为 ▲ . 三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分,解答应写出证明过程或演算步骤. ) 15. (本小题满分 13 分) 已知 sin(? ? ? ) ? ?

1 ? ,求 sin( ? ? ) 与 sin 2? 的值. 2 2

16. (本小题满分 13 分) 在?ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c. 角 A、B、C 成等差数列. (1)求 cos B 的值; (2)若边 a、b、c 成等比数列,求 sin Asin C 的值.

17. (本小题满分 13 分) 在等差数列{an}和等比数列{bn}中, a1 ? b1 ? 1 , b4 ? 8 ,{an}的前 10 项和 S10 ? 55 . (1)求 an 和 bn; (2)求数列{ an ? bn }的前 n 项和 Tn.

高一数学试题第 3 页 共 4 页

18. (本小题满分 13 分) 已知向量 m ? (sin x,1) , n ? ( 3 A cos x, 为 1. (1)求 A 的值; (2)设 ? , ? ? [0,

A cos 2 x) (A>0) ,函数 f ( x) ? m ? n 的最大值 2

?
2

], f (

?
2

?

?
6

)?

3 ? 5? 5 ) ? ? ,求 cos(? ? ? ) 的值; , f( ? 5 2 12 13

(3)将函数 y ? f (x) 的图象向左平移 来的

? 个单位,再将所得图象上各点的横坐标缩短为原 12

1 5? ] 上的值域. 倍,纵坐标不变,得到函数 y ? g (x) 的图象,求 g (x) 在 [0, 2 24

19. (本小题满分 14 分) 如图,设扇形的半径为 x,弧长为 y. (1)当该扇形的面积为常数 S 时,问半径 x 是多少时扇形的周长最小? 并求出最小值; (2)当该扇形的周长为常数 P 时,问半径 x 是多少时扇形的面积最 大?并求出最大值. x y

20. (本小题满分 14 分) 已知数列{ an }的前 n 项和为 S n ,且 a2 an ? S 2 ? S n 对一切正整数 n 都成立. (1)求 a1 , a2 的值; (2)设 a1 ? 0 ,数列{ lg 最大值.

10a1 }的前 n 项和为 Tn ,当 n 为何值时, Tn 最大?并求出 Tn 的 an

高一数学试题第 4 页 共 4 页

2012—2013 学年第二学期统一检测题 高一数学参考答案及评分标准
一、选择题 题号 答案 1 C 2 A 3 A 4 B 5 D 6 D 7 D 8 B 9 B 10 C

二、填空题 11.3 12. [-2,5] 13. 3 14. 1830

14. 解:因为 an?1 ? (?1) n an ? 2n ? 1,所以

a1 ? a1 , a2 ? 1 ? a1 , a3 ? 2 ? a1 , a4 ? 7 ? a1 ,

a5 ? a1 , a6 ? 9 ? a1 , a7 ? 2 ? a1 , a8 ? 15 ? a1 , a9 ? a1 , a10 ? 17 ? a1 , a11 ? 2 ? a1 , a12 ? 23 ? a1 ,


a57 ? a1 , a58 ? 113? a1 , a59 ? 2 ? a1 , a60 ? 119? a1 ,


a1 ? a2 ? ? ? a60 ? (a1 ? a2 ? a3 ? a4 ) ? (a5 ? a6 ? a7 ? a8 ) ? ? ? (a57 ? a58 ? a59 ? a60 )
? 10 ? 26 ? 42 ? ? ? 234

?
三、解答题

15 ? (10 ? 234 ) ? 1830 2

15. (本小题满分 13 分)

1 1 ,得 sin ? ? . 2 2 因为 sin ? ? 0 ,且 sin ? ? 1 ,所以 ? 是第一或第二象限角. 1 2 3 2 2 2 2 由 sin ? ? cos ? ? 1 ,得 cos ? ? 1 ? sin ? ? 1 ? ( ) ? . 2 4 3 3 当 ? 为第一象限角时, cos? ? , ? 4 2
解:由 sin(? ? ? ) ? ? 所以 sin(

(2 分) (4 分) (5 分) (6 分) (7 分) (9 分)

?
2

? ? ) ? cos? ?

3 , 2

sin 2? ? 2 sin ? cos? ?

3 ; 2
高一数学试题第 5 页 共 4 页

当 ? 为第二象限角时, cos? ? ? 所以 sin(

3 3 , ?? 4 2

(10 分) (11 分) (13 分)

?
2

? ? ) ? cos? ? ?

3 , 2

sin 2? ? 2 sin ? cos? ? ?
16. (本小题满分 13 分) 解: (1)由题意得 ? 解得 B ?

3 . 2

?
3

?A ? B ? C ? ? , ?2 B ? A ? C ,

(3 分) (4 分)



所以 cos B ? cos

?
3

?

1 . 2
2

(6 分) (8 分) (9 分) (11 分) (13 分) (9 分) (11 分) (13 分)

(2)由 a、b、c 成等比数列,得 b ? ac .

a b c ? ? , sin A sin B sin C a c 得 sin A ? sin B , sin C ? sin B , b b ac 3 2 2 ? ? . 所以 sin A sin C ? 2 sin B ? sin 3 4 b 2 2 a ? c ? b2 1 ? , 法二:由余弦定理得 cos B ? 2ac 2
法一:由正弦定理 所以 (a ? c) 2 ? 0 ,即 a=c,于是 A ? B ? C ? 故 sin A sin C ? sin

?

?
3

sin

?
3

3



?

3 . 4

17. (本小题满分 13 分) 解: (1)设数列{ an }的公差为 d,依题意得 S10 ? 10 ? 解得 d=1,所以 an ? n . 设数列{ bn }的公比为 q,依题意得 b4 ? q ? 8 ,
3

1 ? 10 ? 9 ? d ? 55 , (2 分) 2
(4 分) (5 分) (7 分)

解得 q=2,所以 bn ? 2 n?1 . (2)由(1)得 an ? bn ? n ? 2
1 2 2 3

n?1


n?1 n?1

(8 分) ①, (9 分)
n

所以 Tn ? 1 ? 2 ? 2 ? 3 ? 2 ? ? ? n ? 2

2Tn ? 2 ? 2 ? 2 ? 3 ? 2 ? ? ? (n ? 1) ? 2

? n?2

②,

(10 分)

高一数学试题第 6 页 共 4 页

①-②得, ? Tn ? 1 ? 2 ? 2 ? ? ? 2
2

n ?1

? n ? 2n ?

1 ? 2n ? n ? 2 n ? (1 ? n) ? 2 n ? 1 , (12 分) 1? 2
(13 分)

故 Tn ? (n ? 1) ? 2 n ? 1 . 18. (本小题满分 13 分) 解: (1) f ( x) ? m ? n ?

3 A sin x cos x ?

A cos 2 x 2

(1 分) (2 分) (3 分) (4 分)

? A(

3 1 sin 2 x ? cos 2 x) 2 2 ? ? A sin( 2 x ? ) 6

因为 f (x) 的最大值为 1,所以 A=1. (2)由(1)得 f ( x ) ? sin( 2 x ?

?
6

) 3 , 5
(5 分)

f( f(

?
2

? ?

?
6

) ? sin(? ?

?
3

?

?
6

) ? cos ? ?

?
2

5? 5? ? 5 5 ) ? sin( ? ? ? ) ? ? sin ? ? ? ,即 sin ? ? , 12 6 6 13 13

(6 分)

因为 ? , ? ? [0,

?
2

] ,所以 sin ? ?

4 12 , cos ? ? , 5 13 3 12 4 5 16 ? ? ? ? . 5 13 5 13 65

(8 分)

故 cos( ? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ? (3)将函数 y ? f (x) 的图象向左平移

(9 分)

? 个单位后得到 12 ? ? ? y ? sin[ 2( x ? ) ? ] ? sin( 2 x ? ) 的图象; (10 分) 12 6 3 1 ? 再将得到的图象上各点的横坐标缩短为原来的 倍,纵坐标不变,得到 y ? sin( 4 x ? ) 的图 2 3 ? 象. 因此 g ( x) ? sin( 4 x ? ) . (11 分) 3 5? ? ? 7? 5? 1 ] ,所以 4 x ? ? [ , ] ,故 g (x) 在 [0, ] 上的值域 [? ,1] . (13 分) 因为 x ? [0, 24 3 3 6 24 2
19. (本小题满分 14 分) 解: (1)由题意得 S ?

1 xy ,即 xy ? 2S . 2
高一数学试题第 7 页 共 4 页

(2 分)

设扇形的周长为 Z,则 Z ? 2x ? y ? 2 2xy ? 4 S , 当且仅当 2 x ? y ,即 x ?

(5 分)

S , y ? 2 S 时,Z 可以取到最小值,最小值为 4 S . (7 分)
(9 分) (12 分)

(2)由题意得 2 x ? y ? P . 设扇形的面积为 T,则 T ? 当且仅当 2 x ? y ,即 x ?

1 1 1 2x ? y 2 P 2 xy ? (2 x) y ? ( ) ? , 2 4 4 2 16

P P P2 , y ? 时,T 可以取到最大值,最大值为 . (14 分) 4 2 16

20. (本小题满分 14 分) 解: (1)由题意可得

?a1 a 2 ? 2a1 ? a 2 , ? 2 ?a 2 ? 2(a1 ? a 2 ).

(2 分)

解得 ?

?a1 ? 1 ? 2 , ?a1 ? 0, ?a1 ? 1 ? 2 , ? ? 或? 或? ?a 2 ? 0, ?a 2 ? 2 ? 2 , ?a 2 ? 2 ? 2 . ? ?

(5 分)

(2)当 a1 ? 0 时,由(1)知 a1 ? 1 ? 2 , a2 ? 2 ? 2 . 当 n ? 1 时,有 (2 ? 2 )an ? S 2 ? S n , (2 ? 2 )an?1 ? S 2 ? S n?1 , 所以 (2 ? 2 )(an ? an?1 ) ? an ,即

(6 分) (7 分) (8 分) (9 分)

an , ? 2 ( n ? 1) a n ?1

故 an ? (1 ? 2 )( 2 ) n?1 ( an ? N * ). 令 bn ? lg

10a1 1 1 100 (10 分) ? 1 ? (n ? 1)(? lg 2) ? lg n?1 , an 2 2 2 1 所以 bn 是首项为 1,公差为 ? lg 2 的等差数列, (11 分) 2 1 100 1 100 ? 0 ,当 n ? 8 时, bn ? b8 ? lg ? 0 , (12 分) 且 b1 ? b2 ? ? ? b7 ? lg 2 64 2 128
故当 n=7 时, Tn 取得最大值,且 Tn 的最大值为 T7 ?

7(b1 ? b7 ) 21 ? 7 ? lg 2 . (14 分) 2 2

高一数学试题第 8 页 共 4 页


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