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河北省枣强中学2013届高三数学下学期模拟测试(三)试题 理 新人教A版



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河北省枣强中学 2012 届高三下学期模拟测试(三)数学(理)试题
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.已知全集 U=R,则正确表示集合 M ? ?0,1? 和 N ? x x ? x ? 0

关系的韦恩(Venn)图是
2

?

?

2.命题“存在 x0 ? R ,2
x0

x0

? 0 ”的否定是
B.存在 x0 ? R,2 <0
x0

A.不存在 x0 ? R,2 <0 C.对任意的 x ? R,2x ? 0

D.对任意的 x ? R,2x <0

3.在四边形 ABCD 中,若 AC ? AB ? AD , AC ? BD ? AC ? BD ,则四边形 ABCD 是 A.平行四边行 4.函数 y ? A. ?0,?? ? B.矩形 C.正方形 D.菱形

4 ? 2x 的值域是
B. ?0,2? C. ?0,2 ? D.(0,2)

5.设 a>0,b>0.若 2 是 2a 与 2b 的等比中项,则 A.8 B.4 C.1 D.

1 1 ? 的最小值为 a b

1 4
D.6

6.若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示,则其体积等于 A.2 B. 3 C. 2 3

7.函数 f ?x? ? Asin ??x ? ? ?? A > 0, ? >0, ? < 图象如图所示,则 ?,? 的值分别为 A. 2,

??

? 的部分 2?

?
3

B. 3,

?
6

C. 3,

?
3

D. 2,

?
6

8.直线 tx ? y ? t ? 1 ? 0?t ? R? 与圆 x2 ? y2 ? 2x ? 4 y ? 4 ? 0 的位置关系为

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A.相交

B.相切

C.相离

D.以上都有可能

9.设 a,b 为两条不重合的直线, ? , ? 为两个不重合的平面,下列命题中为真命题的是 A.若 a // ? , b ? ? , 则 a//b B.若 a // ? , b // ? ,? // ? , 则 a//b

C.若 a ? ? , b ? ? ,? ? ? , 则 a ? b D.若 a ? ? , b ? ? , a // ? , 则 ? // ? 10.设 2a ? 3b ? m, 且 A. 6 B.6

1 1 ? ? 2, 则 m ? a b
C.12 D.36

11.已知双曲线

x2 y 2 ? ? 1 的一个焦点与抛物线 y2 ? 4x 的焦点重合, 且该双曲线的离心率 a 2 b2

为 5 ,则该双曲线的渐近线方程为 A. y ? ?

1 x 2

B. y ? ? 2 x

C. y ? ?2 x

D. y ? ?

2 x 2

12.数列 ?an ?中 a1 ? a, a2 ? b ,且满足 an?1 ? an ? an?2 , 则 a2012的值为 A.b B.b--a 二、填空题: C.-b D.-a

13.若平面向量 a, b, c 两两所成的角相等, a ? b ? 1, c ? 3, 则 a ? b ? c ? _______.

? x ? y ? 1, ? 14.设 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? ?1, 则 z ? x ? 2 y 的最小值是_______. ? x ? 1, ?
15.设偶函数 f ?x? 满足 f ?x? ? 2x ? 4?x ? 0? ,则不等式 f ?x? >0 的解集为_____. 16.在平面内有 n 条直线,其中任何两条直线不平行,任何三条直线都不相交于同一点,则 这 n 条直线把平面分成________部分.

三、解答题:

17.设数列 ?an ?满足 a1 ? 2a2 ? 2 a3 ? ? ? ? ? 2
2

n ?1

n an ? , n ? N *. 2

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(1)求数列 ?an ?的通项公式; (2)设 bn ?

bnbn ?1 1 , cn ? , 记 Sn ? c1 ? c2 ? ? ? ? ? cn , 证明:Sn<1. log 1 an n ?1 ? n
2

18. (本小题满分 12 分) 一个袋子中装有黄、黑两色混合在一起的豆子 20 公斤(两种豆子的大小相同) 。现从 中随机抽取 50 粒豆子进行发芽试验,结果如下:发芽的黄、黑两种豆子分别是 27 粒 和 16 粒,不发芽的黄、黑两种豆子分别是 3 粒和 4 粒。 (Ⅰ)估计黄、黑两种豆子分别有多少公斤,以及整个袋子中豆子的发芽率; (Ⅱ)能不能有 90%的把握认为发芽不发芽与豆子的颜色有关? (Ⅲ)从 3 粒黄豆和 2 粒黑豆中任取 2 粒,求这 2 粒豆子中黑豆数 X 的分布列和期望。 附表:

P ( K 2 ? k0 )

0.50 0.455

0.40 0.708

0.25 1.323

0.15 2.072

0.10 2.706

0.05 3.841

0.025 5.024

0.010 6.635

0.005 7.879

0.001 10.828

k0

参考公式: K 2 ?

n(ad ? bc)2 w。w (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )

19. 如图,ABCD 是菱形,PA⊥平面 ABCD,PA=AD=2, ? BAD=60°. (1)证明:面 PBD⊥面 PAC; (2)求锐二面角 A—PC—B 的余弦值.

20. 已知抛物线 x 2 ? 2 py? p ? 0? 被直线 y ? x 截得的弦长是

4 2.

(Ⅰ)求 p 的值;

(Ⅱ)设点 M 为抛物线上的动点,问:在 y 轴上是否存在一定点 A(0, m) ,使得以 AM 为 直径的圆被直线 y ? 3 截得的弦长恒为定值.若存在,求出点 A 的坐标;若不存在,请说明 理由. 21.已知函数 f ?x? ? x ln x.

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(1)求函数 f ?x? 的极值点; (2)若直线 l 过点(0,—1) ,并且与曲线 y ? f ?x ? 相切,求直线 l 的方程; (3)设函数 g ?x ? ? f ?x ? ? a?x ? 1?,其中 a? R ,求函数 g ? x ? 在 ?1, e? 上的最小值.(其中 e 为自然对数的底数)

考生在第(22)(23)二题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分。做题时 、 用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑。 22. (本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 xOy 中,已知曲线 C1 :

x2 y 2 ? ? 1 ,以平面直角坐标系 xoy 的 3 4

原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴,取相同的单位长度建立极坐标系,已知直线

l : ? (2 cos ? ? sin ? ) ? 6.
(1)试写出直线 l 的直角坐标方程和曲线 C1 的参数方程; (2)在曲线 C1 上求一点 P,使点 P 到直线 l 的距离最大,并求出最大值。

23. (本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 已知 a 和 b 是任意非零实数。 (1)求

| 2a ? b | ? | 2a ? b | 的最小值; |a|

(2) 若不等式 | 2a ? b | ? | 2a ? b |?| a | (| 2 ? x | ? | 2 ? x |) 恒成立, 求实数 x 的取值范围。

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河北枣强中学高三年级理科数学模拟三答案 一、选择题: ADDC BBDA 二、填空题: 13.2 或 5 14.—3 CACA

15. ?? ?,?2? ? ?2,?? ?

16.

n2 ? n ? 2 2

三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分. 17.解(1)由题意, a1 ? 2a2 ? 22 a3 ? ? ? ? ? 2n?2 an?1 ? 2n?1 an ? 当 n ? 2 时, a1 ? 2a2 ? 22 a3 ? ? ? ? ? 2n?2 an?1 ? 两式相减,得 2n ?1 an ?

n n ?1 1 ? ? . 2 2 2 1 所以,当 n ? 2 时, an ? n . ????????????????????????4 分 2 1 1 当 n=1 时, a1 ? 也满足上式,所求通项公式 an ? n n ? N * . ????????6 分 2 2

n ?1 . 2

n , 2

?

?

(2) bn ?

1 ? log 1 an
2

1 ? . ????????????????????8 分 n ?1? log 1 ? ? 2 2? ?
n

1

cn ?

n ?1 ? n 1 1 ?????????????????????10 分 ? ? n?n ? 1? n n ?1

1 ? ? 1 1 ? ? 1 1 ? 1 ? ? 1 ? S n ? c1 ? c2 ? ? ? ? ? cn ? ?1 ? ? ? ? ??? ? ? ??? ? ? ? ??? 2? ? 2 3? ? 3 4? n ?1 ? ? ? n

? 1?
18.

1 <1.????????????????????12 分 n ?1

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19.(1)因为四边形 ABCD 是菱形, 所以 AC ? BD . 因为 PA ? 平面 ABCD, 所有 PA ? BD.??????????2 分 又因为 PA ? AC=A, 所以 BD ? 面 PAC.????????3 分 而 BD ? 面 PBD, 所以面 PBD ? 面 PAC.???????5 分 (2)如图,设 AC ? BD=O.取 PC 的中点 Q,连接 OQ. 在△APC 中,AO=OC,CQ=QP,OQ 为△APC 的中位线,所以 OQ//PA. 因为 PA ? 平面 ABCD, 所以 OQ ? 平面 ABCD,????????????????????6 分 以 OA、OB、OQ 所在直线分别为 x 轴、 z 轴,建立空间直角坐标系 O ? xyz. 则 A 3 ,0,0 , B?0,1,0 ?, C ? 3 ,0,0 ,

?

?

?

?

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P 3 ,0,2 . ???????????????????????????7 分
因为 BO ? 面 PAC, 所以平面 PAC 的一个法向量为 OB ? ?0,1,0?. ?????????????8 分 设平面 PBC 的一个法向量为 n ? ? x, y, z ?, 而 BC ? ? 3,?1,0 , PB ? ? 3,1,?2 , 由?

?

?

?

?

?

?

?n ? BC , ? ?n ? PB , ?

得?

?? 3x ? y ? 0, ? ?? 3x ? y ? 2 x ? 0. ?

令 x ? 1, 则 y ? ? 3 , z ? ? 3. 所以 n ? 1,? 3,? 3 为平面 PBC 的一个法向量.???????????10 分

?

?

cos< OB, n > ?

OB ? n OB ? n

?

? 3 21 ?? . ????????12 分 7 1? 1 ? 3 ? 3

?x ? 0 ?x ? 2 p ? x 2 ? 2 py 20.解:(Ⅰ)由 ? ,解得, ? . ,? ? y?x ?y ? 0 ?y ? 2 p

? 4 p 2 ? 4 p 2 ? 4 2,? p ? 2. --------------------3 分
(Ⅱ)设圆心 C (0, b) ,半径为 r ,点 E (t ,

t2 )(t ? 0).金 4

? 圆 C 过原点,? r ? b,?圆 C 的方程为: x 2 ? ( y ? b) 2 ? b 2 . ---------------4 分

? y? ?

x t ,? 抛物线在点 E 处的切线斜率为 k1 ? . 2 2

t2 ?b . 圆 C 的圆心与点 E 连线的斜率 k 2 ? 4 t t2 ?b t 4 ? ? ?1, 得, t 2 ? 4b ? 8 ①. -------------6 分 依题意, k1 ? k 2 ? ?1, 得, t 2

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又,圆 C 过点 E ,所以, t ? (
2

t2 ? b) 2 ? b 2 ②. ---------------7 分 4

由①②联立得, b ? 2. 所以,圆 C 的标准方程为: x 2 ? ( y ? 2) 2 ? 4. ----------------8 分 (Ⅲ)假设存在符合题意的定点 A(0, m) , 设以 AM 为直径的圆与直线 y ? 3 交于 C 、 D 两点, 设 M ( x, y ) ,则圆心 B( ,

x m? y ). 2 2
m? y 1 ? 3 ? m ? y ? 6. 2 2

则点 B 到直线 y ? 3 的距离 d ? 圆的半径 R ?

1 1 2 AM ? x ? ( y ? m) 2 . ----------------------9 分 2 2 1 1 2 ? CD ? R 2 ? d 2 ? x 2 ? ( y ? m) 2 ? (m ? y ? 6) 2 4 4 1 ? x 2 ? 4my ? 12y ? 12m ? 36 4 1 ? ?4 y ? 4my ? 12y ? 12m ? 36? 4

?

?

?

?

= (4 ? m) y ? 3m ? 9. -----------------11 分 当 m ? 4 时, (4 ? m) y ? 3m ? 9 恒为定值 3, ---------------12 分 即弦长 CD 恒为定值 2 3. 所以,存在这样的定点 A(0,4) 符合题意. ---------------13 分

21. 解: (1) f ??x ? ? ln x ? 1, x >0.?????????????????????1 分 而 f ?? x ? >0 ? lnx+1>0 ? x > , f ?? x ? <0 ? ln x ? 1<0 ? 0< x <

1 e

1 , e

所以 f ?x? 在 ? 0, ? 上单调递减,在 ? ,?? ? 上单调递增.??????3 分 所以 x ?

? ?

1? e?

?1 ?e

? ?

1 是函数 f ?x? 的极小值点,极大值点不存在.???????4 分 e

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(2)设切点坐标为 ?x0 , y0 ? ,则 y0 ? x0 ln x0 , 切线的斜率为 ln x0 ?1, 所以切线 l 的方程为 y ? x0 ln x0 ? ?ln x0 ?1??x ? x0 ?. ????????5 分 又切线 l 过点 ?0,?1? ,所以有 ?1? x0 ln x0 ? ?ln x0 ?1??0 ? x0 ?. 解得 x0 ? 1, y0 ? 0. 所以直线 l 的方程为 y ? x ? 1. ??????????????????7 分 (3) g ?x ? ? x ln x ? a?x ?1? ,则 g ??x? ? ln x ? 1 ? a.

g ??x ? <0 ? ln x ?1? a <0 ? 0< x < ea?1 , g??x?>0 ? x > ea?1 ,
所以 g ? x ? 在 0, ea?1 上单调递减,在 ea?1,?? 上单调递增.??????8 分 ①当 ea?1 ? 1, 即 a ? 1 时, g ? x ? 在 ?1, e? 上单调递增, 所以 g ? x ? 在 ?1, e? 上的最小值为 g ?1? ? 0.???????????????9 分 ②当 1< e
a ?1

?

?

?

?

<e,即 1<a<2 时, g ? x ? 在 1, ea ?1 上单调递减,在 ea?1, e 上单调递增.

?

?

?

?

g ? x ? 在 ?1, e? 上的最小值为 g ea?1 ? a ? ea?1.??????????????10 分
③当 e

? ?

? e a ?1 , 即 a ? 2 时, g ? x ? 在 ?1, e? 上单调递减,

所以 g ? x ? 在 ?1, e? 上的最小值为 g ?e? ? e ? a ? ae. ????????????11 分 综上,当 a ? 1 时, g ? x ? 的最小值为 0;当 1<a<2 时, g ? x ? 的最小值为 a ? e
a ?1



当 a ? 2 时, g ? x ? 的最小值为 a ? e ? ae. ????????????????12 分

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