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2013年高中数学竞赛辅导试题:二次函数



第一节二次函数
一、二次函数的解析式:①一般式:f(x)=ax2+bx+c.②顶点式: f(x)=a(x-h)2+k.③零点式:f(x)=a(x-x1)(x-x2).(a≠0) 二、二次函数的最值:当自变量的取值范围为闭区间[p,q]时,其 最值在 f(p)、f(q)、f( ?
b )三者中取得,最值情况如下表: 2a b b ∈[p, q] [p, q] ?

? 2a 2a

a >0 a <0

fmin=f( ?

4ac ? b 2 b )= 4a 2a

fmin=min{f(p),f(q)} fmax=max{f(p),f(q)}

fmax=max{f(p),f(q)} fmax=f( ?
4ac ? b b )= 4a 2a
2

fmin=min{f(p),f(q)} 例 1. 当 x 为何值时, 函数 f(x)=(x-a1)2+(x-a2)2+…+(x-an)2 取最小值。 解:f(x)=(x2-2a1x+a12)+(x2-2a2x+a22)+ …+(x2-2anx+an2) =nx2-2(a1+a2…+an)x+(a12+a22+…+an2) ∴当 x=(a1+a2…+an)/n 时,f(x)有最小值.

例 2.已知 x1,x2 是方程 x2-(k-2)x+(k2+3k+5)=0 的两个实数根,x12+x22 的最大值是____. 解:由韦达定理得:x1+x2=k-2,x1x2=k2+3k+5. ∴x12+x22=(x1+x2)2-2x1x 2=(k-2)2-2(k2+3k+5) =-k2-10k-6=-(k+5)2+19 .已知 x1,x2 是方程的两个实根,即方程 有实数根,此时方程的判别式Δ≥0,

即Δ=(k-2)2-4(k2+3k+5) =-3k2-16k-16≥0 解得:-4≤k≤ ? .∵k=-5 [-4, ? ],设 f(k)=-(k+5)2+19 则 f(-4)=18,f( ? )=
4 3 50 <18.∴当 k=-4 时,(x12+x22)max=18. 9 4 3 4 3

例 3.已知 f(x)=x2-2x+2,在 x∈[t,t+1]上的最小值为 g(t),求 g(t) 的表达式。 解:f(x)=(x-1)2+1 (1)当 t+1<1 即 t<0 时,g(t)=f(t+1)=t2+1 (2)当 t≤1≤t+1,即 0≤t≤1 时,g(t)=f(1)=1 (3)当 t>1 时,g(t)=f(t)=t2-2t+2

综合(1)(2)(3)得: 、 、

例 4. (1)当 x2+2y2=1 时,求 2x+3y2 的最值; (2)当 3x2+2y2=6x 时,求 x2+y2 的最值。 解: (1)由 x2+2y2=1 得 y2= 2x+3y2=2x+
1 2

(1-x2),

3 3 2 13 (1-x2)= - (x- )2+ 2 2 3 6

又 1-x2=2y2≥0,∴x2≤1,-1≤x≤1 . ∴当 x= 时,y=
2 3
10 16 , (2x+3y2)max= ; 6 3

当 x=-1 时,y=0, (2x+3y2)min=-2 (2)由 3x2+2y2=6x,得 y2= x(2-x),
3 2

代入 x2+y2=x2+ x(2-x)=3 2

3 2

1 9 (x-3)2+ 2 2

又 y2= x (2-x)≥0,得 0≤x≤2. 当 x=2,y=0 时, 2+y2)max=4;当 x=0,y=0 时,(x2+y2)min=0 (x

三、二次函数与二次方程 设 f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的二实根为 x1,x2,(x1<x2),Δ=b2-4ac,且 α、β(α<β)是预先给定的两个实数。 1.当两根都在区间(α,β)内,方程系数所满足的充要条件 ∵α<x1<x2<β,对应的二次函数 f(x)的图象有下列两种情形

当 a>0 时的充要条件是:Δ>0,α< ? f(β)>0 当 a<0 时的充要条件是:Δ>0,α< ? f(β)<0

b <β,f(α)>0, 2a

b <β,f(α)<0, 2a

两种情形合并后的充要条件是: Δ>0, α< ? >0,af(β)>0 ①

b <β, af(α) 2a

2.当两根中有且仅有一根在区间(α,β)内,方程系数所 满足的充要条件 ∵α<x1<β或α<x2<β,对应的函数 f(x)的图象有下列四 种情形

从四种情形得充要条件是:f(α)·f(β)<0



3.当两根都不在区间[α,β]内方程系数所满足的充要条 件 (1)两根分别在区间[α,β]之外的两旁时 ∵x1<α<β<x2,对应的函数 f(x)的图象有下列两种情形

(2)两根分别在区间[α,β]之外的同旁时 ∵x1<x2<α<β或α<β<x1<x2,对应函数 f(x)的图象有 下列四种情形

b <α,af(α)>0 2a b 当β<x1<x2 时的充要条件是Δ>0,? >β, af(β)>0 2a

当 x1<x2<α时的充要条件是Δ>0, ?

④ ⑤

例 5.如果方程(1-m2)x2+2mx-1=0 的两个根一个小于零,另一个大 于 1,确定 m 的范围。 解:令 f(x)=(1-m2)x2+2mx-1,根据题设条件,f(x)的图形是下 列两种情形之一:

则(1-m2)f(0)<0,(1-m2)f(1)<0;即 1-m2>0,(1-m2)(2m-m2) <0 解得:-1<m<0 例 6.当 k 为什么实数时,关于 X 的二次方程 7x2-(k+13)x+k2-k-2=0 的两个实根α和β分别满足 0<α<1 和 1<β<2? 解:设 y=f(x)=7x2-(k+13)x+k2-k-2,则因为 a=7>0,且方程 f(x)=0 有两实根α,β,所以它的图象是开口向上且与 X 轴相交于 两点(α,0) 、(β,0)的抛物线。由于 0<α<1,1<β<2,可知在 x<α或 x>β时, f(x)取正值; 在α<x<β时, f(x)取负值。 于是, 当 x 分列取 0,1,2 时,有:f(0)=k2-k-2>0,f(1)=k2-2k-8<0, f(2)=k2-3k>0 解这三个不等式组成的不等式组, 可得-2<k<-1 和 3 <k<4。
1 1 m ? ? 练习:1.求所有的实数 m,使得关于 x 的方程 x ? 2 x ? 1 2 x ? 1 有且只

有整数根.

1 13 f ( x) ? ? x 2 ? 2 2 在区间[a, 2.若函数 b]上的最小值为 2a, 最大值为 2b,

求区间[a,b]。 3.已知方程 x2+2px+1=0 有一个根大于 1,有一个根小于 1,则 p 的取值为_________. 四.二次函数与二次不等式 一元二次不等式的解集相应于一元二次函数的正值、负值区间。 解不等式与证明不等式成立,经常要用到二次函数的极值性质、单调 性、图象与 x 轴的位置关系等。 例 7.若 a1,a2,…,an,b1,b2,…,bn 都是实数,求证: 1b1+a2b2+… (a +anbn)2≤(a12+a22+…+a2n)(b12+b22+…+b2n) 证 明 : 构 造 二 次 函 数 f(x)=(a1x-b1)2+(a2x-b2)2+ …

+(anx-bn)2=( a12+a22+…+a2n)x2-2(a1b1+a2b2+…+anbn)x+( b12+b22+…+b2n). 当 a12+a22+…+a2n≠0 即 a1,a2,…,an 不全为零时,显然有对 x∈R,f(x) ≥0,故 f(x)=0 的判别式:Δ=4(a1b1+a2b2+…+anbn)2-4(a12+a22+… +a2n)(b12+b22+ … +b2n) ≤ 0. 即 ( a1b1+a2b2+ … +anbn ) 2 ≤ (a12+a22+ … +a2n)(b12+b22+…+b2n) 。 当 a1=a2=…=an=0 时,结论显然成立,故命题成立。 例 8.设二次函数 f(x)=ax2+bx+c(a>0),方程 f(x)-x=0 的两个 根 x1,x2 满足 0<x1<x2< 。 (1)当 x∈(0,x1)时,证明 x<f(x)<x1 (2)设函数 f(x)的图象关于直线 x=x0 对称,证明:x0<
x1 。 2 1 a

证明:⑴欲证:x<f(x)<x ,只须证:0<f(x)-x<x1-x



因为方程 f(x)-x=0 的两根为 x1,x2,f(x)=ax2+bx+c(a>0), ∴f(x)-x=a(x-x1)(x-x2), ①式即: 0<a(x-x1)(x-x2)< x1-x ②

∵a>0,x∈(0,x1),x1-x>0,∴a(x1-x)>0 , ②式两边同除以 a(x1-x)>0, 0<x2-x< , x<x2< +x . 得: 即: 这由已知条件:0<x<x1<x2< ,即得:x<x2< < +x, 故命题得证。 (2)欲证 x0< x0x1 b ,因为 x0= ? ,故只须证: 2 2a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a

x1 x ?x b x b ?1 = ? - 1 <0 ③ 由韦达定理,x1+x2= ? , 1 2 = 2 2a 2 a 2 b ?1 b x x 1 1 ,代入③式有 ? - 1 = 2 - <0 ,即:x2< ? 2a 2a 2 2 2a a 1 由已知:0<x1<x2< ,命题得证。 a

证明:⑴.令 F(x)=f(x)-x.,因为 x1、x2 是方程 f(x)-x=0 的根,得 F(x)=a(x-x1)(x-x2), 当 x∈(0,x1)时,由于 x1<x2,x-x1<0,x-x2<0,得(x-x1)(x-x2) >0,又 a>0,得 F(x)=a(x-x1)(x-x2)>0 即 x<f(x).而 x1-f(x)

=x1-[x-F(x)]=x1-x+a(x-x1)(x-x2)=(x1-x)[1-a(x-x2)] 因为 0<x<x1<x2<
1 a
1 所以 x1-x>0,1-a(x-x2)>1-a· >0 得 a

x1-f(x)>0,即 f(x)<x1. ⑵.依题意知 x0=-
2

b 2a

.因为 x1,x2 是方程 f(x)-x=0 的根,
b ?1 a

即 x1,x2 是方程 ax +(b-1)x+c=0 的根,所以 x1+x2=- x0=-
b a(x1 ? x 2 ) ? 1 ax1 ? ax 2 ? 1 ? ? 2a 2a 2a

ax1 x ? 1 因为 ax2<1,所以 x0< 2a 2
例 9 已知二次函数 f(x)=ax2+bx+c 和一次函数 g(x)=-bx, 其中 a、 b、c 满足 a>b>c,a+b+c=0,(a,b,c∈R)
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(1)求证两函数的图象交于不同的两点 A、B;
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(2)求线段 AB 在 x 轴上的射影 A1B1 的长的取值范围
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命题意图 本题主要考查考生对函数中函数与方程思想的运用能
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知识依托 解答本题的闪光点是熟练应用方程的知识来解决问题
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及数与形的完美结合
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错解分析 由于此题表面上重在“形” ,因而本题难点就是一些考
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生可能走入误区, 老是想在 “形” 上找解问题的突破口, 而忽略了 “数”
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技巧与方法利用方程思想巧妙转化
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? y ? ax 2 ? bx ? c (1)证明由 ? 消去 ? y ? ?bx
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y 得 ax2+2bx+c=0

Δ =4b2-4ac=4(-a-c)2-4ac=4(a2+ac+c2)=4[(a+ c ) 2 ? 3 c2]
2 4

∵a+b+c=0,a>b>c,∴a>0,c<0 ∴ 3 c2>0,∴Δ >0,即两函数的图象交于不同的两点
4
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(2)解设方程 ax2+bx+c=0 的两根为 x1 和 x2,则 x1+x2=- 2b ,x1x2= c
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a

a

|A1B1|2=(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2
2b 2 4c 4b 2 ? 4ac 4(?a ? c) 2 ? 4ac ? (? ) ? ? ? a a a2 a2
c c c 1 3 ? 4[( )2 ? ? 1] ? 4[( ? ) 2 ? ] a a a 2 4

∵a>b>c,a+b+c=0,a>0,c<0 ∴a>-a-c>c,解得 c ∈(-2,- 1 )
a 2

∵ f ( c ) ? 4[( c ) 2 ? c ? 1] 的对称轴方程是 c
a a a c a

a

??

1 2

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∈(-2,- 1 )时,为减函数
2
3 ,2 3 )
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∴|A1B1|2∈(3,12),故|A1B1|∈(

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例 10 已知关于 x 的二次方程 x2+2mx+2m+1=0

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(1)若方程有两根, 其中一根在区间(-1, 0)内, 另一根在区间(1, 2)内,求 m 的范围
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(2)若方程两根均在区间(0,1)内,求 m 的范围 命题意图本题重点考查方程的根的分布问题
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知识依托 解答本题的闪光点是熟知方程的根对于二次函数性质
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所具有的意义

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错解分析用二次函数的性质对方程的根进行限制时, 条件不严谨
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是解答本题的难点
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技巧与方法设出二次方程对应的函数, 可画出相应的示意图, 然
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后用函数性质加以限制
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解 (1)条件说明抛物线 f(x)=x2+2mx+2m+1 与 x 轴的交点分别在区
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间(-1,0)和(1,2)内,画出示意图,得
1 ? ?m ? ? 2 ? f (0) ? 2m ? 1 ? 0, ? ? f ( ?1) ? 2 ? 0, ?m ? R , ? ? ?? 1 ? f (1) ? 4m ? 2 ? 0, ?m ? ? , ? 2 ? f ( 2 ) ? 6m ? 5 ? 0 ? ? ?m ? ? 5 ? 6 ?

y

-1

o

1

2

x

∴? 5 ?m??1
6

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2

(2)据抛物线与 x 轴交点落在区间(0,1)内,列不等式组
? f (0) ? 0, ? f (1) ? 0, ? ? ? ? ? 0, ?0 ? ? m ? 1 ?

1 ? ?m ? ? 2 , ? 1 ? ? ?m ? ? , 2 ? ? m ? 1 ? 2或m ? 1 ? 2 , ? ? 1 ? m ? 0. ?

y

o

1

x

(这里 0<-m<1 是因为对称轴 x=-m 应在区间(0,1)内通过) 例 11 已知对于 x 的所有实数值,二次函数 f(x)=x2-4ax+2a+12(a ∈R)的值都是非负的,求关于 x 的方程 围
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x =|a-1|+2 a?2

的根的取值范

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解 由条件知Δ ≤0,即(-4a)2-4(2a+12)≤0,∴- 3 ≤a≤2
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2

(1)当- 3 ≤a<1 2

时,原方程化为
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x=-a2+a+6,∵-a2+a+6=-(a- 1 )2+ 25
2 4

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∴a=- 3 时,xmin= 9 ,a= 1 时,xmax= 25
2 4 2 4

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∴ 9 ≤x≤ 25
4 4

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(2)当 1≤a≤2 时,x=a2+3a+2=(a+ 3 )2- 1
2

4
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∴当 a=1 时,xmin=6,当 a=2 时,xmax=12,∴6≤x≤12 综上所述, 9 ≤x≤12
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例 12 设 a, 为实常数, 取任意实数时, b k 函数 y=(k2+k+1)x2-2(a +k)2x+(k2+3ak+b)的图象与 x 轴都交于点 A(1,0). ①求 a、b 的值; ②若函数与 x 轴的另一个交点为 B,当 k 变化时,求|AB|的最大值. 分析:由 A 在曲线上,得 k 的多项式对 k 恒成立,即可求的 a,b 值.

解:⑴由已知条件,点 A(1,0)在函数图象上, 故(k2+k+1)-2(a+k)2+(k2+3ak+b)=0 整理得:(1-a)k+(b+1-2a2)=0 ∵对 k∈R,上式恒成立,∴ 1-a=0 且 b+1-2a2=0 从而 a=1,b=1,y=(k2+k+1)x2-2(k+1)2x+(k2+3k+1) ⑵设 B(α,0),则|AB|=|α-1|,∵(k2+k+1)x2-2(k+1)2x+(k2+3k+
k 2 ? 3k ? 1 1)=0 的两个根为 1、α,由韦达定理,1?α= k2 ? k ?1

整理得:(1-α)k2+(3-α)k+(1-α)=0,α=1 时,得 2k=0 ? k=0 α≠1 时,∵ k∈R,∴△≥0,即(3-α)2-4(1-α)2≥0 得:-1≤α≤
5 且 α≠1,综合得:-1≤α≤ 3
5 3

,∴-2≤α-1≤

2 3

∴ |AB|=|α-1|∈[0,2]即|AB|的最大值为 2. 例13 实数 a、b、c 满足 a2-bc-8a+7=0 b2+c2+bc-6a+6=0 求 a 的取值范围. 分析:如何将含有三个变量的两个方程组成的方程组问题,转化为只 含有 a 的不等式,是解决本题的关键,仔细分析观察方程组的特点, 发现可以利用 a 来表示 bc 及 b+c,从而用韦达定理构造出 a 为变量 的一元二次方程,由△≥0 建立 a 的不等式. 解:由①得:bc=a2-8a+7 …………③ 由①②得:(b+c)2=a2-2a+1 …………① …………②

即 b+c=± (a-1)

…………④

由③④得 b,c 为方程 x2± (a-1)x+(a2-8a+7)=0 的两个实数根, 由于 b,c∈R,所以△≥0,即:[± (a-1)]2-4(a2-8a+7)≥0 即:a2-10a+9≤0,得:1≤a≤9



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