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第五章 换底公式的应用



第五章

换底公式的应用

换底公式的基本变形式:1、 loga b logb a ? 1
n 2、 log a b ? log a n b ? log n a n

b

3、 log a n b ? n log a b
m

m

4、<

br />
loga N logb N ? loga M logb M

一、求值 例题 1:求 ?log4 3 ? log8 3??log3 2 ? log9 2? 的值。

1 1 1 5 3 5 (o log2 3 + log2 3 ) g l 3 2 + log3 2 )= log2 3× log3 2 = 。 2 3 2 6 2 4 log 2 ? ? 6?4 2 ? 6?4 2 ? ? 例题 2:化简 ? ?。
分析与解:原式=( 分析与解: 原式= log

? 6?4 2 ? 6?4 2 ? ? ? log2 6 ? 4 2 ? 6 ? 4 2 ? 2 4 ? log2 8 ? 3 。 ? 2 ?2 ? ? ?
2

2

?

?

另解 原式= log

?2 ?

2 ? 2 ? 2 ? log 2 2 2 ? 3 。
b

?

例题 3:已知 log15 2 ? a , 3 ? 5
b

?b ? 0? ;求 log125 18 ?

分析与解:由 3 ? 5 知 b ? log3 5 ,

a ? log15 2 ?
所以 log3 2 = ab ? a , 故 log125 18 =

log3 2 log3 2 log3 2 , ? ? lod315 1 ? log3 5 1 ? b

log3 18 log3 2 ? 2 log3 3 ab ? a ? 2 ? ? 。 log3 125 3 log3 5 3b

指出:将题中的真数和底数分解质因数,再以某个质因数为底数求其它质因数的对数,则问 题就可以得到解决。

1 ? ? log15 7 ? a, log15 8 ? b, 求 log56 15? ? ? 练习:设 ? a?b?。

二、证明对数恒等式 例题 1:证明:

1 1 1 ? ? ? 9 logb a 。 loga 2 b loga3 b loga 4 b

分析与解:左= logb a 2 ? logb a3 ? logb a 4 ? ?2 ? 3 ? 4?logb a ? 右 例题 2:已知 a、b、c 顺次是直角三角形的两条直角边和斜边, 求证: log?c?b ? a ? log?c?b ? a ? 2 log?c?b ? a log?c?b ? a 。 分析与解:由题有 c ? b ? a >0,
2 2 2

则 loga c2 ? b2 ? loga a 2 ,即 loga ?c ? b? ? loga ?c ? b? ? 2 , 所以

?

?

1 log?c?b ? a

?

1 log?c?b ? a

? 2 ? log?c?b ? a ? log?c?b ? a ? 2 log?c?b ? a log?c?b ? a 。
5 。 2

例题 3:证明: ( log2 3 ? log4 9 ? log8 27 ? ...? log2n 3n ) log9 n 32 =

分析与解:由 log2n 3n ? log2 3 知 log2 3 ? log4 9 ? log8 27 ? ...? log2n 3n =n,
5

且 log9 n 32 = log32 2 n ?

5 , 2n
5 5 = 。 2n 2

故( log2 3 ? log4 9 ? log8 27 ? ...? log2n 3n ) log9 n 32 =n× 例题 4:如果 b 是 a、c 的等比中项,且 a、b、c、N 是不为 1 的正数, 求证:

loga N ? logb N loga N . ? logb N ? logc N logc N
b c ? ,则 a b

分析与解:因为 b 是 a、c 的等比中项,所以

logN b ? logN a ?b? logN ? ? logN c log N c logN b logN a ?a? 左= = = =右。 logN c ? logN b ? c ? log N a logN a logN ? ? logN c logN b ?b?

练习:1、求证: ?ab?
2 2

lga ?lgb

? algablgb a2lgb

? ? 提示:b lg a ? a loga b ? ? ?

?

?

lg a

? lgb ? ? ? a lg a ? ? ? ? ?

lg a

? ? ? a lgb ? ? ?

2、设 a ? b ? 7ab 。求证: lg

a?b 1 ? ?lg a ? lg b ? 。 3 2

三、证明对数不等式 例题 1:证明:

4 3 1 >3. ? ? log2 10 log3 10 log7 10

分析与解:

4 3 1 = 4 lg 2 ? 3 lg 3 ? lg 7 ? ? log2 10 log3 10 log7 10
= lg 24 ? 33 ? 7 ? lg1008? lg1000>3.

?

?

例题 2:证明:

1 1 >2。 ? log2 ? log5 ?
2 4 < log5 2 < 。 5 9

分析与解:方法同例题 1 略。 例题 3:不查表证明:

4 4 lg 2 lg54 ? lg 29 lg 625? lg 512 分析与解: - log5 2 = = >0; ? 9 9 lg 5 9 lg 5 9 lg 5
同理 log5 2 -

2 2 4 >0,故 < log5 2 < 。 5 5 9

例题 4:证明: lg a ? loga 10 ≥ Sinx? Cosy?a ? 1? 。 分析与解:因为 a>1.所以 lg a ? loga 10 = lg a ? 而 Sinx ? Cosy ≤2.故命题成立。

1 ≥2, lg a

练习:1、证明:

1 2 3 <2. ? ? log5 19 log3 19 log2 19

2、已知 a、x、y、z 均是小于 1 的正数,且 loga xyz =9, 证明: logx a ? logy a ? logz a ≥1. (由已知和均值不等式且 loga xyz = loga x ? loga y ? loga z 则 ( loga x ? loga y ? loga z ) (o g l
x

a ?o g l

y

a ?o g l

z

a )≥9,

又 loga x ? loga y ? loga z =9,故 logx a ? logy a ? logz a ≥1.)

四、解对数方程(不等式)

例题 1:求 logx 5 ? 2 log 分析与解:⑴ x>1 时

5

x >3 的解。

1 2 ? 4 log5 x ? 3 ? 4?log5 x ? ? 3 log5 x ? 1 ? 0 log5 x

?
⑵ 0<x<1 时

-1< log5 x <

1 ?1? x ? 4 5 ; 4

1 1 log5 x <-1 或 log5 x > (舍) ?0<x< 。 4 5
例题 2:解方程⑴

log4 ?3x ? 10? ? 1 , ⑵ logx 5 x ? log5 x ? ?1 log4 x 2
2

分析与解:⑴由题有 x ? 3x ? 10 ? 0 ? x=5 或-2. ⑵两边平方有

1 2 log x 5 x ? ?log 5 x ? ? 1 ,变形有 ?log5 x ? 2??log5 x ?1? ? 0 , 2

?x?

1 或者 x=5(不合题意舍) 。 25

练习:1、解方程 loga x ? loga b logb c ? 0? x ?

? ?

1? ?; c?

2、

2 logx 3 ? log3 x 3 ? log9

x

1? ? 3? x ? 9或x ? ? 9?。 ?



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