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江苏省响水中学高中数学 第二章《对数的概念》导学案 苏教版必修1



江苏省响水中学高中数学 第二章 《对数的概念》 导学案 苏教版必修 1

1.理解对数的概念,掌握对数的基本性质. 2.掌握指数式与对数式的互化. 3.能利用对数的概念和性质求一些简单对数的值.

前面我们学习了指数函数,我们知道函数 y=2 的值域是(0,+∞),那么 x 为何值时,y 的值 x x 为 5?上述问题可以转化为解方程 2

=5,通过观察 y=2 的图象可知该方程只有一个解,而且这 个解在 2 与 3 之间,如何表示出这个解,在学习对数的概念之后问题就迎刃而解了.

x

问题 1:对数的定义 x (1)如果 a =N(a>0,且 a≠1),那么数 x 叫作以 a 为底 N 的对数,记作 x= ,其中 a 叫作对数的 ,N 叫作 . x (2)通过对数解方程 2 =5 可得:x= . (3)若对数 logab 有意义,则底数 a 满足的条件是 ,真数 b 满足的条件 是 . 问题 2:指数式与对数式互化的注意事项 x 根据定义,指数式与对数式互化公式:a =N? 的成立条件是 a>0,a≠1 且 N>0,不 2 满足条件不能转化,如(-5) =25 不能写成 log-525=2. 问题 3:对数的性质 (1)负数和零没有对数;(2)当 a>0,且 a≠1 时,loga1= ,logaa= . 问题 4:(1)有两类特殊的对数对科学研究和了解自然起了巨大作用,是哪两类? (2)

=N(a>0,a≠1 且 N>0)成立吗?为什么?

(1)常用对数:通常我们将以 为底的对数叫常用对数,记作 . 自然对数 : 在科学技术中 , 常常使用以 e 为底的对数 , 这种对数称为自然对数 , 记 作 ,其中 e=2.71828…是一个无理数. 常用对数和自然对数对科学研究和了解自然起了巨大作用. b b (2)成立,设 a =N,则 b= ,所以 a = = .

1.3 =5 化为对数式是

x

.
1

2.已知 logx16=2,则 x= 3.若 lo

. .

=0,则 x 的值是

4.将下列指数式化为对数式,对数式化为指数式: (1)2 =
-7

; (2)3 =27;(3)10 =0.1;(4)lo 32=-5.

a

-1

对数的概念 求下列各式中的 x 的范围: (1)log2(x-10); (2)log(x-1)(x+2).

利用对数的定义求值 求下列各式中的 x 值. (1)logx27= ;(2)log2x=- ;

(3)x=log27 ;(4)x=lo 16.

利用对数的性质及对数恒等式求值 求下列各式中 x 的值: (1)log2(log4x)=0; (2)lo

=x;

(3)

=x.

2

求下列各式中的 x 的范围: (1)log(2x-1)(x+2); (2)lo (-3x+8).

求下列各式中的 x: (1)lo

x=-1;(2)x=lo 8;

(3)logx(3+2

)=-2.

求值: lg 2 (1)10 = (2) (3)

. = = = . . . .

(4)(

(5)已知 log2(log3(log4x))=log3(log4(log2y))=0,则 x+y=

1.下列各式中,能解得 x=-3 的是

.

①lo

4=x;

②3x= ; ③lg 0.0001=x; ④ln e5=x.
2.

=

. +1)=-1,则 x= .

3.若 logx(

3

4.求使 log3(9 -6·3 -27)有意义的 x 的取值范围.

x

x

计算:

=

.

考题变式(我来改编):

第 4 课时 对数的概念 知识体系梳理 问题 1:(1)logaN 底数 真数 (2)log25 (3)a>0,且 a≠1 问题 2:x=logaN 问题 3:(2)0 1 问题 4 :(1)10 lg N ln N (2)logaN 基础学习交流 1.x=log 35 由 a =N?x=logaN 知 x=log35.
2

b>0

N

x

2.4 改写为指数式 x =16,但 x 作为对数的底数,必须取正值,∴x=4. 3.-2 ∵1 的对数等于 0,∴

=1,解得 x=-2.

4

4.解:(1)log2 (2)log327=a; (3)lg 0.1=-1; (4)( ) =32. 重点难点探究
-5

=-7;

探究一:【解析】(1)由题意有 x-10>0,

∴x>10,∴x 的取值范围是{x|x>10}.
(2)由题意有



∴x>1 且 x≠2,

∴x 的取值范围是{x|x>1 且 x≠2}.
【小结】求对数式中有关参数的范围时,应根据对数中底数和真数所要满足的条件列出 不等式 组,解出即可. 探究二:【解析】(1)由 logx27= ,可得 =27,

∴x=2 =(33 =32=9.

(2)由 log2x=- ,可得 x=

,

∴x=(

=

= ,

(3)由 x=log27 ,可得 27 = ,

x

∴33x=3-2,∴x=- .

(4)由 x=lo 16,可得( ) =16.

x

∴2-x=24,∴x=-4.

5

【小结】实际上,指数式 a =N(a>0,且 a≠1)与对数式 b=logaN(a>0,a≠1,N>0)之间是一 种等价关系.已知对数式可以转化成指数式,指数式同样可以转化成对数式. 探究三:【解析】(1)∵log2(log4x)=0,

b

∴log4x=20=1, ∴x=41=4.
(2)∵lo

=x,

∴(

-1)x=

=

-1,∴x=1.

(3)由对数恒等式 :

=N 可知 x= 5. =N.

【小结】(1)对数运算的常用性质:logaa=1,loga1=0,

(2)使用对数的性质时,有时需要将底数或真数进行变形后才能运用;对于多重对数符号 的,可以先把内层视为整体,逐层使用对数的性质. 思维拓展应用 应用一:(1)因为真数大于 0,底数大于 0 且不等于 1,所以 解得 x> 且 x≠1.

即 x 的取值范围是{x|x> 且 x≠1}. (2)因为底数 x +1 大于 0 且不等于 1, 所以 x≠0; 又因为-3x+8>0,所以 x< ,
2

综上可知 x< ,且 x≠0,

即 x 的取值范围是{x|x< 且 x≠0}.

应用二:(1)由 lo

x=-1,得 x=(

-1)-1=

=

+1.

(2)由 x=lo 8,得( ) =8=( ) ,∴x=-3.

x

-3

(3)由 logx(3+2

)=-2,得 3+2

=x-2,
6

得 x=(3+2

=

-1.
(4) (5)80 (1)10
lg 2

应用三:(1)2 (2)12 (3)

=2.

(2)

=3×

=3×4=12.

(3)

=

= = .

(4)(

=

=

=.

(5)∵log2(log3(log4x))=0,

∴log3(log4x)=1, ∴log4x=3,∴x=43=64.
同理可得 y=2 =16,∴x+y=80. 基础智能检测 1.② 对于①,∵x=lo 4,∴( ) =4,∴x=4.
x
4

对于②,∵3 = ,∴3 =( ) =3 ,∴x=-3. 对于③,∵lg 0.0001=x,∴10 =0.0001=10 ,∴x=-4. 对于④,∵ln e =x,∴e =e ,∴x=5. 2.4 3.
5

x

x

3

-3

x

-4

x

5

=(2 -1 由已知得 x-1=
x x

=(16 =4. +1,∴x=(
x x

+1)-1=

-1.

4.解:由 9 -6·3 -27>0,即(3 -9)(3 +3)>0,

∴3x>9,解得 x>2.故 x 的取值范围 为(2,+∞).
全新视角拓展

思维导图构建

=

=

=- .

对数 ②N>0

x=logaN ①lg M ②ln M logaam

7



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