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2011创新方案高考数学复习精编(人教新课标)--3.2同角三角函数基本关系式与诱导公式


第三章 第二节 同角三角函数基本关系式与诱导公式
题组一 同角三角函数基本关系式的应用 ( )

5 1.已知 cos(α-π)=- ,且 α 是第四象限角,则 sin(-2π+α)=样 13 12 A.- 13 12 B. 13 12 C.± 13 5 D. 12

5 5 解析:由 cos(α-π)=- 得,cosα= ,而 α 为第四象限角, 13 13 12 ∴sin(-2π+α)=sinα=- 1-cos2α=- . 13 答案:A π 3π 3 2.(2010潍坊模拟)已知 α∈( , ),tan(α-7π)=- ,则 sinα+cosα 的值为 2 2 4 1 A.± 5 1 B.- 5 1 C. 5 7 D.- 5 ( )

3 π 3 4 解析:tan(α-7π)=tanα=- ,∴α∈( ,π),sinα= ,cosα=- ,∴sinα+cosα=- 2 5 5 4 1 . 5 答案:B π sin( +θ)-cos(π-θ) 2 3.已知 tanθ=2,则 = π sin( -θ)-sin(π-θ) 2 A.2 B.-2 C.0 2 D. 3

(

)

π sin( +θ)-cos(π-θ) 2 cosθ-(-cosθ) 2cosθ 2 2 解析: = = = = =-2. π cosθ-sinθ cosθ-sinθ 1-tanθ 1-2 sin( -θ)-sin(π-θ) 2 答案:B

题组二 1 4.(tanx+ )cos2x= tanx A.tanx 解析:(tanx+ B.sinx

化 简 问 题 ( C.cosx 1 D. tanx )

1 sinx cosx )cos2x=( + )cos2x tanx cosx sinx

sin2x+cos2x cosx 1 cos2x= = . = sinxcosx sinx tanx
1

答案:D π π π π 5.sin(π+ )sin(2π+ )sin(3π+ )…sin(2010π+ )的值等于________. 6 6 6 6 11 1 1 1 解析:原式=(- ) (- )… =- 2010. 22 2 2 2 答案:- 1 22010

6.如果 sinαcosα>0,且 sinαtanα>0, α 化简:cos 2 α 1-sin 2 α +cos α 2 1+sin 2 α 1+sin 2 . α 1-sin 2

sin2α 解:由 sinαtanα>0,得 >0,cosα>0. cosα 又 sinαcosα>0,∴sinα>0, π ∴2kπ<α<2kπ+ (k∈Z), 2 α π 即 kπ< <kπ+ (k∈Z). 2 4 α 当 k 为偶数时, 位于第一象限; 2 α 当 k 为奇数时, 位于第三象限. 2 α ∴原式=cos 2 α (1-sin )2 2 α +cos α 2 cos2 2 α (1+sin )2 2 α cos2 2

α =cos 2

α α α 1-sin 1+sin 2cos 2 2 2 α +cos = α 2 α α |cos | |cos | |cos | 2 2 2 α ( 在第一象限时) 2 α ( 在第三象限时) 2 .

2 = -2

题组三 π 1 π 7.已知 cos( +α)=- ,则 sin( -α)= 4 2 4 1 A.- 2 1 B. 2 C.- 2 2

条件求值问题 ( D. 2 2 )

π π π π 解析:sin( -α)=cos[ -( -α)]=cos( +α) 2 4 4 4
2

1 =- . 2 答案:A 1 8.已知 A 为锐角,lg(1+cosA)=m,lg =n,则 lgsinA 的值为 1-cosA 1 A.m+ n B.m-n 1 1 C. (m+ ) 2 n 1 D. (m-n) 2 ( )

解析:两式相减得 lg(l+cosA)-lg

1 =m-n 1-cosA

lg[(1+cosA)(1-cosA)]=m-nlgsin2A=m-n, ∵A 为锐角,∴sinA>0, m-n ∴2lgsinA=m-n,∴lgsinA= . 2 答案:D 3 sin(π-α)cos(2π-α)cos(-α+ π) 2 9.已知 f(α)= π cos( -α)sin(-π-α) 2 (1)化简 f(α); 3 1 (2)若 α 为第三象限角,且 cos(α- π)= ,求 f(α)的值; 2 5 31 (3)若 α=- π,求 f(α)的值. 3 sinαcosα(-sinα) 解:(1)f(α)= =-cosα. sinαsinα 3 1 1 (2)∵cos(α- π)=-sinα= ,∴sinα=- , 2 5 5 又∵α 为第三象限角, 2 6 ∴cosα=- 1-sin2α=- , 5 ∴f(α)= 2 6 . 5

31 5 (3)∵- π=-6×2π+ π 3 3 31 31 ∴f(- π)=-cos(- π) 3 3 5 =-cos(-6×2π+ π) 3 5 π 1 =-cos π=-cos =- . 3 3 2

3

题组四

公式的灵活应用

10.已知 f(x)=asin(πx+α)+bcos(πx+β),其中 a、b、α、β 都是非零常数,若 f(2 009)= -1,则 f(2 010)等于 A.-1 B.0 C.1 D.2 ( )

解析:法一:∵f(2 009)=asin(2 009π+α)+bcos(2 009π+β) =asin(π+α)+bcos(π+β) =-(asinα+bcosβ)=-1, ∴f(2 010)=asin(2 010π+α)+bcos(2 010π+β) =asinα+bcosβ=1. 法二:f(2 010)=asin(2 010π+α)+bcos(2 010π+β) =asin[π+(2 009π+α)]+bcos[π+(2 009π+β)] =-asin(2 009π+α)-bcos(2 009π+β) =-f(2 009)=1. 答案:C 11.若 f(cosx)=cos3x,则 f(sin30°)的值为________. 解析:∵f(cosx)=cos3x, ∴f(sin30°)=f(cos60°)=cos(3×60°)=cos180°=-1. 答案:-1 12.(2010宁波模拟)已知函数 f(x)=sinx+cosx,f′(x)是 f(x)的导函数. (1)求函数 F(x)=f(x)f′(x)+f2(x)的值域和最小正周期; 1+sin2x (2)若 f(x)=2f′(x),求 2 的值. cos x-sinxcosx 解:(1)∵f′(x)=cosx-sinx, ∴F(x)=f(x)f′(x)+f2(x) =cos2x-sin2x+1+2sinxcosx π =1+sin2x+cos2x=1+ 2sin(2x+ ), 4 函数 F(x)的值域为[1- 2,1+ 2], 2π 最小正周期为 T= =π. 2 (2)∵f(x)=2f′(x)sinx+cosx=2cosx-2sinx, 1 ∴cosx=3sinxtanx= , 3 1+sin2x 2sin2x+cos2x ∴ 2 = 2 cos x-sinxcosx cos x-sinxcosx

4

11 2tan2x+1 9 11 = = = . 2 6 1-tanx 3

5


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