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高三年文科数学中档大题保分练(1-3)



3. 如图,在四棱锥 S-ABCD 中,AB⊥AD,AB∥CD,CD=3AB=3,

中档大题保分练(1)
(推荐时间:50 分钟) 1. 已知函数 f(x)= 3 1 π sin 2x- (cos2x-sin2x)-1,x∈R,将函数 f(x)向左平移 个单位后得到函数 g(x), 2 2 6

平面 SAD⊥平面 ABCD,E

是线段 AD 上一点,AE=ED= 3,SE⊥AD. (1)证明:平面 SBE⊥平面 SEC; (2)若 SE=1,求三棱锥 E-SBC 的高.

设△ABC 三个内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c. (1)若 c= 7,f(C)=0,sin B=3sin A,求 a 和 b 的值; (2)若 g(B)=0 且 m=(cos A,cos B),n=(1,sin A-cos Atan B),求 m· n 的取值范围.

3+?-1?n 4. 已知 n∈N ,数列{dn}满足 dn= ,数列{an}满足 an=d1+d2+d3+?+d2n;又知数列{bn} 2
* n 中,b1=2,且对任意正整数 m,n,bm n =bm.

(1)求数列{an}和数列{bn}的通项公式; (2)将数列{bn}中的第 a1 项,第 a2 项,第 a3 项,??,第 an 项,??删去后,剩余的项按从小到 2. 某园林局对 1 000 株树木的生长情况进行调查,其中杉树 600 株,槐树 400 株.现用分层抽样方 法从这 1 000 株树木中随机抽取 100 株,杉树与槐树的树干周长(单位:cm)的抽查结果如下表: 树干周长(单位:cm) 杉树 槐树 [30,40) 6 4 [40,50) 19 20 [50,60) 21 y [60,70) x 6 大的顺序排成新数列{cn},求数列{cn}的前 2 013 项和.

(1)求 x,y 值及估计槐树树干周长的众数; (2)如果杉树的树干周长超过 60 cm 就可以砍伐,请估计该片园林可以砍伐的杉树有多少株? (3)树干周长在 30 cm 到 40 cm 之间的 4 株槐树有 1 株患虫害,现要对这 4 株树逐一进行排查直至 找出患虫害的树木为止.求排查的树木恰好为 2 株的概率.

1

1.解 (1)f(x)=

π 3 1 2x- ?-1 sin 2x- cos 2x-1=sin? 6 ? ? 2 2

(3)设 4 株树为 B1,B2,B3,D,设 D 为有虫害的那株, 基本事件为(D),(B1,D),(B2,D),(B3,D),(B1,B2,D),(B1,B3,D),(B2,B1,D),(B2,B3, D),(B3,B1,D),(B3,B2,D),(B1,B2,B3),(B1,B3,B2),(B2,B1,B3),(B2,B3,B1),(B3, B1,B2),(B3,B2,B1)共 16 种, 设事件 A:排查的树木恰好为 2 株,事件 A 包含(B1,D),(B2,D),(B3,D)3 种, 3 ∴P(A)= . 16 3.(1)证明 ∵平面 SAD⊥平面 ABCD,平面 SAD∩平面 ABCD=AD,SE?平面 SAD, SE⊥AD, ∴SE⊥平面 ABCD. ∵BE?平面 ABCD,∴SE⊥BE. ∵AB⊥AD,AB∥CD,CD=3AB=3,AE=ED= 3, ∴∠AEB=30° ,∠CED=60° . ∴∠BEC=90° ,即 BE⊥CE. 结合 SE∩CE=E,得 BE⊥平面 SEC. ∵BE?平面 SBE,∴平面 SBE⊥平面 SEC. (2)解 如图,作 EF⊥BC 于 F,连接 SF.

π π π x+ ?- ?-1=sin?2x+ ?-1 g(x)=sin?2? 6? ? ? ? 6? 6? π? 由 f(C)=0,∴sin? ?2C-6?=1. π π 11 ∵0<C<π,∴- <2C- < π, 6 6 6 π π π ∴2C- = ,∴C= . 6 2 3 由 sin B=3sin A,∴b=3a. π 由余弦定理得( 7)2=a2+b2-2abcos . 3 ∴7=a2+9a2-3a2,∴a=1,b=3. π? (2)由 g(B)=0 得 sin? ?2B+6?=1, π π 13 ∵0<B<π,∴ <2B+ < π, 6 6 6 π π π ∴2B+ = ,∴B= . 6 2 6 ∴m· n=cos A+cos B(sin A-cos Atan B) =cos A+sin Acos B-cos Asin B 3 1 = sin A+ cos A 2 2 π A+ ? . =sin? ? 6? 5π 5π ∵A+C= ,∴0<A< , 6 6 π π π A+ ?≤1. ∴ <A+ <π,∴0<sin? ? 6? 6 6 ∴m· n 的取值范围是(0,1]. 2. 解 (1)按分层抽样方法随机抽取 100 株,可得槐树为 40 株,杉树为 60 株, ∴x=60-6-19-21=14,y=40-4-20-6=10. 估计槐树树干周长的众数为 45 cm. 14 (2) ×600=140, 60 估计该片园林可以砍伐的杉树有 140 株.
2

由 BC⊥SE,SE 和 EF 相交, 得 BC⊥平面 SEF. 由 BC 在平面 SBC 内, 得平面 SEF⊥平面 SBC. 过 E 作 EG⊥SF 于点 G, 则 EG⊥平面 SBC, 即线段 EG 的长即为三棱锥 E-SBC 的高. 由 SE=1,BE=2,CE=2 3得 BC=4,EF= 3, 所以 SF=2. SE· EF 3 在 Rt△SEF 中,EG= = , SF 2 所以三棱锥 E-SBC 的高为 3 . 2

3+?-1?n 4.解 方法一 (1)∵dn= , 2 ∴an=d1+d2+d3+?+d2n.



3×2n =3n. 2

2 3 n n 又由题知:令 m=1,则 b2=b1 =22,b3=b3 1=2 ,?,bn=b1=2 . nm n mn 若 bn=2n,则 bm n =2 ,bm=2 , n ∴bm n =bm恒成立. n 若 bn≠2n,当 m=1,bm n =bm不成立,

∴bn=2n. (2)由题知将数列{bn}中的第 3 项、 第 6 项、 第 9 项??删去后构成的新数列{cn}中的奇数列与偶数 列仍成等比数列,首项分别是 b1=1,b2=4,公比均是 8, T2 013=(c1+c3+c5+?+c2 013)+(c2+c4+c6+?+c2 012) = 2×?1-81 007? 4×?1-81 006? 20×81 006-6 + = . 7 1-8 1-8

3 方法二 (1)an=d1+d2+?+d2n= ×2n=3n. 2
n 由 bm n =bm及 b1=2>0 知 bn>0, n 对 bm n =bm两边取对数得,mlg bn=nlg bm,

令 m=1,得 lg bn=nlg b1=nlg 2=lg 2n, ∴bn=2n. (2)T2 013=c1+c2+?+c2 013 =b1+b2+b4+b5+b7+b8+?+b3 018+b3 019 =(b1+b2+?+b3 019)-(b3+b6+?+b3 018) = 2?1-23 019? 8?1-81 006? - 1-2 1-23

20×81 006-6 = . 7

3

中档大题保分练(2)
(推荐时间:50 分钟) A ? 1. 已知向量 m=(sin x,1),n=? n 的最大值为 6. ? 3Acos x, 2 cos 2x?(A>0),函数 f(x)=m· (1)求 A; (2)将函数 y=f(x)的图象向左平移 π 1 个单位,再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的 倍,纵 12 2 3. 如图 1,在等腰△ABC 中,D,E,F 分别是 AB,AC,BC 边的中点,现将△ACD 沿 CD 翻折,使 得平面 ACD⊥平面 BCD.(如图 2)

5π? 坐标不变,得到函数 y=g(x)的图象,求 g(x)在? ?0,24?上的值域. (1)求证:AB∥平面 DEF; (2)求证:BD⊥AC; (3)设三棱锥 A-BCD 的体积为 V1,多面体 ABFED 的体积为 V2,求 V1∶V2 的值.

2. 已知向量 a=(2,1),b=(x,y). (1)若 x∈{-1,0,1,2},y∈{-1,0,1},求向量 a∥b 的概率; (2)若 x∈[-1,2],y∈[-1,1],求向量 a,b 的夹角是钝角的概率. 4. 已知数列{an}是一个公差大于零的等差数列,且 a3a6=55,a2+a7=16,数列{bn}的前 n 项和为 Sn, 且 Sn=2bn-2. (1)求数列{an},{bn}的通项公式; an (2)设 cn= ,Tn=c1+c2+?+cn,求 Tn. bn

4

π A 3 1 2x+ ?. 1.解 (1)f(x)=m· n= 3Asin xcos x+ cos 2x =A? sin 2x+ cos 2x?=Asin? 6? ? 2 2 ?2 ? 因为 A>0,由题意知 A=6. π? (2)由(1)得 f(x)=6sin? ?2x+6?. π π? π π ? x+ ? ? 将函数 y=f(x)的图象向左平移 个单位后得到 y=6sin?2? 12 ? ? 12?+6?=6sin?2x+3?的图象; π? 1 再将得到的图象上各点横坐标缩短为原来的 ,纵坐标不变,得到 y=6sin? ?4x+3?的图象. 2 π? π ?π 7π? ? 5π? 因此 g(x)=6sin? ?4x+3?. 因为 x∈?0,24?, 所以 4x+3∈?3, 6 ?, 5π? 故 g(x)在? ?0,24?上的值域为[-3,6]. 2.解 (1)共包含 12 个基本事件. Ω={(-1,-1),(-1,0),(-1,1),(0,-1),(0,0),(0,1),(1,-1),(1,0),(1,1),(2,-1),(2,0), (2,1)}, 设“a∥b”为事件 A,由 a∥b,得 x=2y, 则 A={(0,0),(2,1)},含 2 个基本事件, 2 1 则 P(A)= = . 12 6 (2)设“a,b 的夹角是钝角”为事件 B,由 a,b 的夹角是钝角, 可得 a· b<0,即 2x+y<0,且 x≠2y.
?-1≤x≤2,? ? ? ?? ? Ω=??x,y??? ?-1≤y≤1,? ? ?? ?

∴AD⊥平面 BCD.又 BD?平面 BCD, ∴AD⊥BD. 又∵CD⊥BD,且 AD∩CD=D, ∴BD⊥平面 ACD. 又 AC?平面 ACD,∴BD⊥AC. (3)解 由(2)可知 AD⊥平面 BCD,

∴AD 是三棱锥 A-BCD 的高, 1 ∴V1= · AD· S△BCD, 3 又∵E,F 分别是 AC,BC 边的中点, ∴三棱锥 E-CDF 的高是三棱锥 A-BCD 高的一半, 三棱锥 E-CDF 的底面积是三棱锥 A-BCD 底面积的一半, 1 ∴三棱锥 E-CDF 的体积 VE-CDF= V1, 4 1 3 ∴V2=V1-VE-CDF=V1- V1= V1, 4 4 ∴V1∶V2=4∶3. 4.解 (1)依题意,设等差数列{an}的公差为 d(d>0), ①

??a1+2d??a1+5d?=55 ? 则有? ? ?2a1+7d=16 ②



将②代入①得(16-3d)(16+3d)=220, 即 d2=4,∵d>0,∴d=2,a1=1,∴an=2n-1, 当 n=1 时,S1=2b1-2,b1=2, 当 n≥2 时,bn=Sn-Sn-1=(2bn-2)-(2bn-1-2) =2bn-2bn-1, ∴bn=2bn-1. , ∴{bn}是以 2 为首项,2 为公比的等比数列.即 bn=2n. an 2n-1 (2)cn= = n , bn 2 2n-1 1 3 Tn= + 2+?+ n 2 2 2 1 1 2 2 2 2n-1 ∴③-④得, Tn= + 2+ 3+?+ n- n+1 2 2 2 2 2 2

-1≤x≤2, ? ? ? ?-1≤y≤1,? ? ? B=??x,y? ? ??2x+y<0, ? ? ? ??x≠2y ? 1 ?1 3? × + ×2 SB 2 ?2 2? 1 则 P(B)= = = . SΩ 3 3×2

2n-3 2n-1 1 1 3 T = + +?+ n + n+1 2 n 22 23 2 2

3.(1)证明 在△ABC 中,由 E,F 分别是 AC,BC 的中点,得 EF∥AB, 又 AB?平面 DEF,EF?平面 DEF,∴AB∥平面 DEF. (2)证明 ∵平面 ACD⊥平面 BCD, 平面 ACD∩平面 BCD=CD, AD⊥CD,且 AD?平面 ACD,
5

1 1? 1- n-1? 2 2 2n-1 ? 2n-1 3 2n+3 2n+3 1 1 1 1 1 ? = + + 2+?+ n-1- n+1 = + - n+1 = - n+1 ∴Tn=3- n . 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 1- 2

中档大题保分练(3)
(推荐时间:50 分钟) 1. 已知向量 m=(sin x,-1),n=(cos x,3). sin x+cos x (1)当 m∥n 时,求 的值; 3sin x-2cos x (2)已知在锐角△ABC 中,a,b,c 分别为角 A,B,C 的对边, 3c=2asin(A+B),函数 f(x)=(m π B+ ?的取值范围. +n)· m,求 f? ? 8?

3. 某学校共有教职工 900 人,分成三个批次进行继续教育培训,在三个批次中男、女教职工人数如 下表所示.已知在全体教职工中随机抽取 1 名,抽到第二批次中女教职工的概率是 0.16. 第一批次 女教职工 男教职工 (1)求 x 的值; (2)现用分层抽样的方法在全体教职工中抽取 54 名做培训效果的调查, 问应在第三批次中抽取教职 工多少名? (3)已知 y≥96,z≥96,求第三批次中女教职工比男教职工多的概率. 196 204 第二批次 x 156 第三批次 y z

2. 已知数列{an}的通项公式为 an=3n 1,在等差数列{bn}中,bn>0(n∈N*),且 b1+b2+b3=15,又 a1


4. 如图所示多面体中,AD⊥平面 PDC,ABCD 为平行四边形,E,F 分别为 AD,BP 的中点,AD=3,AP=5,PC=2 7. (1)求证:EF∥平面 PDC; (2)若∠CDP=90° ,求证:BE⊥DP; (3)若∠CDP=120° ,求该多面体的体积.

+b1、a2+b2、a3+b3 成等比数列. (1)求数列{bn}的通项公式; (2)求数列{an· bn}的前 n 项和 Tn.

6

1 1.解 (1)由 m∥n,可得 3sin x=-cos x,于是 tan x=- , 3 1 - +1 3 sin x+cos x tan x+1 2 ∴ = = =- . 1 9 3sin x-2cos x 3tan x-2 ? 3×? ?-3?-2 (2)在△ABC 中,A+B=π-C,于是 sin(A+B)=sin C, 由正弦定理知: 3sin C=2sin Asin C, ∵sin C≠0,∴sin A= 3 . 2

m 54 设应在第三批次中抽取 m 名,则 = ,解得 m=12, 200 900 所以应在第三批次中抽取 12 名. (3)设第三批次中女教职工比男教职工多的事件为 A,第三批次女教职工和男教职工数记为数对(y, z). 由(2)知 y+z=200(y,z∈N*,y≥96,z≥96), 则基本事件总数有: (96,104), (97,103), (98,102), (99,101), (100,100), (101,99), (102,98), (103,97), (104,96),共 9 个; 而事件 A 包含的基本事件有(101,99),(102,98),(103,97),(104,96)共 4 个. 4 所以,所求概率为 P(A)= . 9

π π π 又△ABC 为锐角三角形,∴A= ,于是 <B< . 3 6 2 ∵f(x)=(m+n)· m =(sin x+cos x,2)· (sin x,-1) π? 3 2 = sin? ?2x-4?-2, 2 π π π 由 <B< 得 <2B<π, 6 2 3

4.(1)证明 取 PC 的中点为 O,连接 FO,DO. 因为 F,O 分别为 BP,PC 的中点, 1 所以 FO∥BC,且 FO= BC. 2 又四边形 ABCD 为平行四边形,E 为 AD 的中点, 1 所以 ED∥BC,且 ED= BC, 2 所以 FO∥ED,且 FO=ED, 所以四边形 EFOD 是平行四边形,所以 EF∥DO. 又 EF?平面 PDC,DO?平面 PDC, 所以 EF∥平面 PDC. (2)解 若∠CDP=90° ,则 PD⊥DC, 又 AD⊥平面 PDC,所以 AD⊥DP,

1-cos 2x 1 =sin2x+sin xcos x-2 = + sin 2x-2 2 2 π π 3 π 2 B+ ?= sin?2?B+8?- ?- ∴f? ? 4? 2 ? 8? 2 ? ? =

2 3 sin 2B- . 2 2

3 2 3 2 3 ∴0<sin 2B≤1,- < sin 2B- ≤ - , 2 2 2 2 2


π? ? 3 2 3? 即 f? ?B+8?∈?-2, 2 -2?.

2. 解 (1)∵an=3n 1(n∈N*),∴a1=1,a2=3,a3=9, 在等差数列{bn}中,∵b1+b2+b3=15,∴b2=5. 又∵a1+b1、a2+b2、a3+b3 成等比数列, 设等差数列{bn}的公差为 d, ∴(1+5-d)(9+5+d)=64,解得 d=-10 或 d=2, ∵bn>0(n∈N*),∴舍去 d=-10,取 d=2,∴b1=3, ∴bn=2n+1(n∈N*). (2)由(1)知,Tn=3×1+5×3+7×32+?+(2n-1)3n 2+(2n+1)3n 1,
- -

又∵DC∩AD=D,所以 DP⊥平面 ABCD 因为 BE?平面 ABCD,所以 BE⊥DP. ① ② (3)解 连接 AC,由 ABCD 为平行四边形可知△ABC 与△ADC 面积相等,

3Tn=3×3+5×32+7×33+?+(2n-1)3n 1+(2n+1)· 3n,


所以三棱锥 P-ADC 与三棱锥 P-ABC 体积相等, 即五面体的体积为三棱锥 P-ADC 体积的 2 倍. 因为 AD⊥平面 PDC,所以 AD⊥DP, 由 AD=3,AP=5,可得 DP=4. 又∠CDP=120° ,PC=2 7,由余弦定理得 DC=2, 所以三棱锥 P-ADC 的体积 1 1 VP-ADC=VA-CDP= × ×2×4×sin 120° ×3=2 3, 3 2 所以该五面体的体积为 4 3.
7

①-②得 -2Tn=3×1+2×3+2×32+2×33+?+2×3n 1-(2n+1)3n


=3+2(3+32+33+?+3n 1)-(2n+1)3n


3-3n =3+2× -(2n+1)3n=3n-(2n+1)3n=-2n· 3n, ∴Tn=n· 3n. 1 -3 x 3.解 (1)由 =0.16,解得 x=144. 900 (2)第三批次的人数为 y+z=900-(196+204+144+156)=200,



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