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2015年大连市高考一模理科数学试卷



2015 年一模测试


命题人: 安道波

学(理科)
周亚明 张军 李飞 王爽

本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分,其中第 II 卷第 22 题~ 第 24 题为选考题,其它题为必考题.考生作答时,将答案答在答题卡上,在本试卷上答 题无效.考试结束后,将本试卷和答题卡

一并交回.

第I卷
一.选择题:(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的)
2 (1)已知集合 A ? {x ?1 ? x ? 1}, B ? {x x ? 2 x ? 0} ,则 A

B?





(A)

[?1,0]

(B)

[?1, 0]

(C) [0,1]

(D) (??,1] [2, ??) ) (D) ?1 ? i )

(2)设复数 z ? 1 ? i ( i 是虚数单位) ,则 (A) 1 ? i (B) 1 ? i

2 2 ? z =( z (C) ?1 ? i

(3)已知 a ? 1, b ? (A)

2 ,且 a ? (a ? b) ,则向量 a 与向量 b 的夹角为(
(B)

2? 3 2 2 2 (4)已知 ?ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a, b, c ,若 a ? b ? c ? bc , bc ? 4 ,
(C) (D) 则 ?ABC 的面积为( (A) ) (C) 3 (D)2

? 6

? 4

? 3

1 2

(B)1

(5)已知 a ???2,0,1,3,4? , b ??1, 2? ,则函数

f ( x) ? (a2 ? 2) x ? b 为增函数的概率是( 2 3 1 (A) (B) (C) 5 5 2
11 ,则判断框中填写的内容可以是( 12 (A) n ? 6 (B) n ? 6 (C) n ? 6
1

) (D)

3 10

(6) 阅读如图所示的程序框图, 运行相应的程序. 若输出的 S 为 ) (D) n ? 8

(7)如图,网格纸上小正方形的边长为 1 ,粗线画出的是某多 面体的三视图,则该多面体的体积为( (A) ) (D)

32 3

(B) 64

(C)

32 3 3

64 3

(8) 已知直线 y ? 2 2( x ?1) 与抛物线 C : y 2 ? 4 x 交于 A, B 两点,点 M (?1, m) ,若 MA ? MB ? 0 ,则 m ? ( (A) 2 (B) )

2 2

(C)

1 2

(D) 0

(9)对定义在 [0,1] 上,并且同时满足以下两个条件的函数 f ( x ) 称为 M 函数,① 对任

] 恒 有 f ( x )? 0; ② 意 的 x ? [ 0 , 1,

当 x1 ? 0, x2 ? 0, x1 ? x2 ? 1 时 , 总 有 )
2

f ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) 成立,则下列函数不是 M 函数的是(
(A) f ( x) ? x
2 x 2

(B) f ( x) ? 2 ?1 (C) f ( x) ? ln( x ? 1) (D) f ( x) ? x ? 1

?x ? 4 y ? 4 ? 0 ? (10)在平面直角坐标系中,若 P( x, y) 满足 ? 2 x ? y ? 10 ? 0 ,则当 xy 取得最大值时, ?5 x ? 2 y ? 2 ? 0 ?
点 P 的坐标是( (A) (4, 2) ) (C) (2, 6) (D) ( ,5)

(B) (2, 2)

5 2

(11) 已知双曲线 若函数 y ? ( (A) )

x2 y 2 ? ? 1 (a ? 0, b ? 0) 与函数 y ? x ( x ? 0) 的图象交于点 P , a 2 b2

x 在点 P 处的切线过双曲线左焦点 F (?1, 0) ,则双曲线的离心率是

5 ?1 2

(B)

5?2 2

(C)

3 ?1 2

(D)

3 2

2

(12)若对 ?x, y ?[0, ??) ,不等式 4ax ? e 值是( (A) ) (B)1

x ? y ?2

? e x? y ?2 ? 2 恒成立,则实数 a 的最大
1 2

1 4

(C)2

(D)

第 II 卷
本卷包括必考题和选考题两部分,第 13 题~第 21 题为必考题,每个试题考生都必须 做答.第 22 题~第 24 题为选考题,考生根据要求做答. 二.填空题:(本大题共 4 小 题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在答卷纸的相应位置上) (13)函数 y ?

? 1 3 sin x ? cos x ( x ? [0, ] )的单调递增区间是__________. 2 2 2
6

1 ? ? (14) ? x ? ? 的展开式中常数项为 2x ? ?



(15) 已知定义在 R 上的偶函数 f ( x ) 在 [0, ??) 单调递增,且 f (1) ? 0 ,则不等式

f ( x ? 2) ? 0 的解集是



(16)同底的两个正三棱锥内接于同一个球.已知两个正三棱锥的底面边长为 a,球的半 径为 R.设两个正三棱锥的侧面与底面所成的角分别为 ? 、 ? ,则 tan(? ? ? ) 的值 是 . 三. 解答题:(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) (17)(本小题满分 12 分) 2 已知数列 {an } 中, a1 ? 1 ,其前 n 项的和为 Sn ,且满足 an ? 2Sn (n ? 2) . 2Sn ? 1 (Ⅰ) 求证:数列 ?

?1? ? 是等差数列; ? Sn ?
1 1 1 3 S 2 ? S3 ? ... ? S n ? . 2 3 n 2

(Ⅱ) 证明:当 n ? 2 时, S1 ?

3

(18)(本小题满分 12 分) 如图, 在四棱锥 P-ABCD 中, 底面 ABCD 是菱形, ∠DAB = 60 ,PD⊥平面 ABCD,PD=AD=1,点 E , F 分别为 为 AB 和 PD 中点. (Ⅰ)求证:直线 AF // 平面 PEC ; (Ⅱ)求 PC 与平面 PAB 所成角的正弦值.
A E

P

F

D

C

B

(19)(本小题满分 12 分) 某校甲、乙两个班级各有 5 名编号为 1,2,3,4,5 的学生进行投篮训练,每人投 10 次, 投中的次数统计如下表: 学生 甲班 乙班 1号 6 4 2号 5 8 3号 7 9 4号 9 7 5号 8 7

(Ⅰ)从统计数据看,甲乙两个班哪个班成绩更稳定(用数据说明)? (Ⅱ) 若把上表数据作为学生投篮命中率,规定两个班级的 1 号和 2 号同学分别代表自 己的班级参加比赛, 每人投篮一次, 将甲、 乙两个班两名同学投中的次数之和分别记作 X 和 Y ,试求 X 和 Y 的分布列和数学期望.

4

(20) (本小题满分 12 分) 已知椭圆 C :

x2 y 2 3 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的上顶点为 (0,1) ,且离心率为 ,. 2 a b 2

(Ⅰ) 求椭圆 C 的方程;

x2 y 2 ( Ⅱ ) 证 明 : 过 椭 圆 C1 : 2 ? 2 ? 1(m ? n ? 0) 上 一 点 Q( x0 , y0 ) 的 切 线 方 程 为 m n
x0 x y0 y ? 2 ? 1; m2 n
(Ⅲ)以圆 x ? y ? 16 上一点 P 向椭圆 C 引两条切线,切点分别为 A, B ,当直线 AB 分
2 2

别与 x 轴、 y 轴交于 M 、 N 两点时,求 MN 的最小值.

(21) (本小题满分 12 分) 若定义在 R 上的函数 f ( x ) 满足 f ( x) ?

f ?(1) 2 x ? 2 ?e ? x 2 ? 2 f (0) x , 2

x 1 g ( x) ? f ( ) ? x 2 ? (1 ? a) x ? a , 2 4 (Ⅰ)求函数 f ( x ) 解析式; (Ⅱ)求函数 g ( x) 单调区间; (Ⅲ)若 x 、 y 、 m 满足 | x ? m |?| y ? m | ,则称 x 比 y 更接近 m .当 a ? 2 且 x ? 1 时, e x ?1 试比较 和 e ? a 哪个更接近 ln x ,并说明理由。 x

5

请考生在 22,23,24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.做 答时,用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑. (22)(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 A 如图所示, AB 为圆 O 的直径, BC , CD 为 圆 O 的切线, B , D 为切点. (Ⅰ)求证: AD // OC ; (Ⅱ)若圆 O 的半径为 2,求 AD ? OC 的值. B C O D

(23)(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 已知在直角坐标系 xOy 中,圆 C 的参数方程为 ?

? x ? 3 ? 2 cos? ( ? 为参数) ? y ? ?4 ? 2 sin ?

(Ⅰ)以原点为极点、 x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,求圆 C 的极坐标方程; (Ⅱ)已知 A(?2, 0), B(0, 2) ,圆 C 上任意一点 M ( x, y ) ,求 ? ABM 面积的最大值.

(24)(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 设函数 f ( x) ? 2x ? 2 ? x ? 2 . (Ⅰ)求不等式 f ( x) ? 2 的解集;
2 (Ⅱ)若 ?x ? R , f ( x ) ? t ?

7 t 恒成立,求实数 t 的取值范围. 2

6



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