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高中数学 —《函数》(基础练习)



高中数学 —《函数》(基础练习)
【知识点】 1.函数的单调性。 (1)设 a ? x1 ? x2 ? b ,若 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,则 f ( x)在?a, b? 上是增函数; (2)设 a ? x1 ? x2 ? b ,若 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,则 f ( x)在?a, b? 上是减函数。 结论:两个增函数的和还是增函数,两个减函数的和还是减函数。 1 若 y ? f ( x) 是增函数,则 y ? ? f ( x) 是减函数, y ? 是减函数。 f ( x) 1 反之:若 y ? f ( x) 是减函数,则 y ? ? f ( x) 是增函数, y ? 是增函数。 f ( x) 2.函数的奇偶性。 【注意:函数具有奇偶性的前提是定义域关于原点对称】 代数意义:若 f (? x) ? ? f ( x) ,则 f ( x) 是奇函数; 若 f (? x) ? f ( x) ,则 f ( x) 是偶函数。 几何意义:奇函数的图象关于原点对称;偶函数的图象关于 y 轴对称。 反过来也成立:如果一个函数的图象关于原点对称,那么这个函数是奇函数;如 果一个函数的图象关于 y 轴对称,那么这个函数是偶函数。 3.指数与根式的互化: a ? n a m
r s
m n

(a ? 0)
r ?s

4.指数幂的运算性质: ①a ? a ? a ; ②(ar )s ? ars ; ③(ab)r ? ar br 。 5.指数与对数的互化: loga N ? b ? ab ? N (a ? 0且a ? 1 ,N ? 0) log m b 1 6.对数的换底公式:log a b ? 对数恒等式:a loga N ? N log a b ? log m a logb a 7.常用对数与自然对数:底数为 10 的对数叫常用对数,记作: log10 b ; 底数为 e 的对数叫自然对数,记作: ln b 。 8.对数的运算法则:若 a>0,a≠1,M>0,N>0,则 M ? log a M ? log a N ; ① loga (MN ) ? loga M ? loga N ;② log a N n ③ loga M n ? n loga M ; ④ log am N n ? log a N 。 m 题型 1.画出常见函数的图像 2 3 一次函数:① y ? 3x ? 2 , ② y ? ?2 x ? 4 反比例函数:① y ? , ② y ? ? x x 3 二次函数: ① y ? x 2 , ② y ? x2 ? 2 x ? 3 指数函数: ① y ? 2x , ② y ? ( ) x 4 对数函数:① y ? log2 x , ② y ? log 2 x
3

带绝对值的函数:① y ?| x | , 题型 2.函数图像的变换
3 1.类反比例函数:① y ? , x?2

② y ?| log2 x | ,

③ y ?| x2 ? 2 x ? 3|

2.类指数函数:① y ? 2x?3 ,

画出下列函数的图像: 3 ?1 ②y?? x?2 3 ② y ? ( ) x?2 ? 1 4
1

3.类对数函数:① y ? log2 ( x ? 3) ,

② y ? log 2 ( x ? 2) ? 3
3

4.带绝对值的函数:① y ?| x ? 2 | , ② y ?| log 2 ( x ? 2) | , ③ y ?| ? x2 ? 3x ? 4 | 题型 3.求定义域 1.函数 y ? ?2 x ? 4 定义域是 函数 y ?
?4 的定义域是 3x ? 2

; 函数 y ? 3x2 ? 4 x ? 6 定义域是
1 的定义域是 x ?1 3 ;y ? x ? 1 ? 的定义域是 x?2

; 。 ; 。 ; ;

; 函数 y ?

2

2. y ? 2x ? 3 的定义域是 函数 y ? 4 ? 2 x 的定义域是 3.函数 y ? 2x?1 的定义域是

;y ? x2 ? 3x ? 4 的定义域是 ; y ? log2 (2 x ? 3) 的定义域是 ;y ? log2 (2 x2 ? 3x ?1) 的定义域是

y ? log2 (4 ? 6 x) 的定义域是
题型 4.求函数值 1.若 f ( x) ? x ? 1 ,则 f (3) ?
) ( ? 2.若 f ( x) ? 3x2 ? 5x ? 2 , 则 f3

。 ,f (? 2) ? ,f (a ? 1) ? , g ( f (4)) ? 。 ,

3.已知 f ( x) ? 2 x ? 3 , g ( x) ? 3x ? 5 ,求 f ( g (3)) ?
f ( g ( x)) ?



4.若 f ( x) ? ?

? x, x ? 0
2 ?x , x ? 0

,求 f ( f (?2)) ?

, f ( f (?4)) ?



? x ? 1, ( x ? 0) ? f [f ( 2 } ] )? 5.若 f ( x) ? ?? , ( x ? 0) , 求 f{ ?0, ( x ? 0) ?

?

,f { f [ f (0)]} ?



? x ? 2, ( x ? ?1) ? 6.已知 f ( x) ? ? x 2 , (?1 ? x ? 2) ,若 f ( x) ? 3 ,求 x 的值。 ?2 x, ( x ? 2) ?
?1 x ? 1, ( x ? 0) ? ?2 7.已知 f ( x) ? ? ,若 f (a) ? a ,求 a 的取值范围。 1 ? , ( x ? 0) ? ?x
题型 5.求函数的值域、最大值、最小值 1. f ( x) ? x2 ? 2x ? 3 , x ?{1, 2,3} 2. f ( x) ? ( x ?1)2 ?1
2

3. f ( x) ? x ? 2 , x ? (1, 2] 5. y ? 2x?1 , x ?[?1,3] 7. y ? log2 (2 x ? 4) , x ?[4,10] 题型 6.求函数的解析式 1.已知 f ( x ? 1) ? x2 ? 2x ? 3 ,求 f (5) 。 2.已知 f (2x ?1) ? x2 ? 2 x ? 4 ,求 f ( x) 。 3.已知 f ( x ? 2) ? x2 ? 2 x ? 3 ,求 f ( x ? 1) 。 题型 7.判断函数的奇偶性 (1) f ( x) ? x2 ?1 (5) f ( x) ? ( x ? 1)2
x4 ?1 (8) f ( x) ? 2 x

4. f ( x) ? x2 ? 2x ? 3 , x ?[?1, 4]
2 6. y ? ( ) x ?1 , x ?[?1,3] 3 8. y ? log 1 (2 x ? 3) , x ?[3,15]
3

(2) f ( x) ? 2 x

(3) f ( x) ? 2 | x |

(4) f ( x) ? 2x
1 x

(6) f ( x) ? log 1 ( x ? 1)
2

(7) f ( x) ? x ?

(9) f ( x) ? x3 ? 5x

(10) f ( x) ? 2x2 ? 7

题型 8.指数幂的化简 1.用分数指数幂表示下列各式: (1) 3 a ? 4 a (2) 3 a2 ? a3
2 3 3 4 5 6

(3) a a

(4) ( 3 a )2 ? ab3 (2) (a ? a )
25 ? 3 (4) ( ) 2 4
1 3 3 4 12

2.化简下列各式: (1) a ? a ? a
3 2 2 2 3

(3) ( x y) ? ( xy ) ( x ? 0, y ? 0) 题型 9.对数的化简 1.把下列指数式改为对数式: (1) 24 ? 16 (3) 5a ? 20
1 (4) ( )b ? 3 2

(2) 3?3 ?

1 27

2.把下列对数式改为指数式: (1) log2 x ? 3 3.化简下列各式: (1) log3 (9 ? 27) (3) lg 25 ? lg 4 (4) lg 2 ? lg 5

(2) loga x ? b (2) log8 9 ? log3 32 (5) log3 45 ? log3 5

3

题型 10.求函数的单调区间 (1) y ? ? x ? 2 (4) f ( x) ? 2 x 2 ? 3 (7) f ( x) ? 2x?3 (9) f ( x) ? log3 ( x ? 2) 2.比较大小: (1) 1.52.5 (3) 1.50.3
0.81.2 1.53.2

(2) y ? ?

3 x

(3) y ?

3 2x ? 4

(5) f ( x) ? x2 ? 2x

(6) f ( x) ? 2 x2 ? 6 x ? 3
2 (8) f ( x) ? ( ) x ? 2 3 (10) f ( x) ? log 1 ( x ?1)
3

(2) 0.5?1.2
2 (4) ( ) 0.9 3

0.5?1.5
2 ( )1.2 3

3.比较大小: (1) log2 3.4 (3) log7 5

log2 3.8

(2) log0.5 1.8 (4) log2 0.4
1 (2) ( ) x ? 4 2

log0.5 2.1 log 0.8 0.2

log6 7

4.解不等式: (1) 3x ? 30.5
1 (3) ( ) x ? 2 2

(4) 3x ? 2 ?

1 9

(5) 5x ? 0.2 (2) log0.6 (2x ? 1) ? log0.6 ( x2 ? 2) (5) log3 (2 x ?1) ? ?2 (2) 32 x ?5 ? 27 (4) log2 (2 x ?1) ? 3

5.解不等式: (1) log2 (3x) ? log2 (2 x ? 1) (3) log 1 ( x ? 1) ? 1
2

(4) log3 (4 x ? 1) ? 2

6.解方程: (1) log4 (3x ? 2) ? log4 (4 ? x) (3) 31? x ? 2

【知识点】 9. 零点定理:若函数 y ? f ( x) 在区间 [a , b ] 上的图像是一条不间断的曲线,且 f (a) ? f (b) ? 0 ,则函数 y ? f ( x) 在区间 [a , b ] 上有零点,即方程 f ( x) ? 0 在区间 [a , b ] 上至少有一个根。 1.已知函数 y ? mx2 ? 6x ? 2 只有一个零点,求 m 范围。 2.已知方程 4( x2 ? 3x) ? k ? 3 ? 0 没有零点,求 k 的取值范围。 3.已知函数 f ( x) ? 2ax2 ? x ?1 在(0,1)内恰有一个零点,求 a 的取值范围。 10.二分法 1.设 f ( x) ? 3x ? 3x ? 8 ,用二分法求方程 3x ? 3x ? 8 ? 0 在 x ? (1, 2) 内近似解的过程 中,计算得到 f (1) ? 0, f (1.5) ? 0, f (1.25) ? 0 ,则方程的根落在区间( ) A. (1,1.25) B. (1.25,1.5) C. (1.5, 2) D.不能确定 2.在用二分法求方程 f ( x) ? x3 ? x2 ?1 ? 0 在[0,1]上的近似解时,第一步得到的 有解区间是 。

4



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