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学而思高一春季物理竞赛CPHO预备队第5讲



第5讲

电势 电势能

本讲提纲 1. 2. 3. 4. 电势的概念 电势与场强的关系 电势叠加原理 电势分布图

本讲的概念看似深奥抽象,其实有很多相似的概念可以类比;本讲的题看似思路单一,计算简洁,但是对于物理 思想方法的提炼帮助很大。

知识模块
第一部分 定义概念体系 引入:势的概

念 势:物理学名词 [potential]。亦称“位”。当一个物理量只随空间变化的时,这种随着空间分布的物 理量就可以叫势。比如地理图中的等高面,每个面上的点势都是一样的,表示这种高度的物理量就可 以叫重力势。

物理学的核心竞争力在于更高效率的描述现实规律,我们不妨反省以上定义的行为,定义重力 势(高度)的最大作用对于计算重力做功与重力作用下能量变化会减少描述的步骤。所以在我们了解 了电场力的性质后,我们继续研究电场力做功的特点,并定义一个类似重力势能的概念--电势能。 知识点睛 1.电场力做功的特点 在静电场中,电场力对移动电荷做功,只与始末位置有关,与电荷的运动路径无关(这一点理解 不难,用点电荷的力推理一下就可以了,不过要写成严格的数学表达式有些废纸,略去了) .只要在 电场中初末位置 A 、 B 确定了,移动电荷 q 做的功 WAB 便确定了.如果在电场中沿闭合路径运动一周, 则电场力做功为零,这跟重力做功的情况类似。

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2.电势差
U AB ? WAB q
UA B? ? A ? ? 适用于任何电场. B

电势差与移动电荷的路径和电荷量无关,只跟两点的位置有关.在电场中任何两点间的电势差都 有确定的值,不能认为 U AB 与 WAB 成正比,与 q 成反比.
U AB ? ?U BA ,若 U AB ? ?5V ,其意义是 A 点电势比 B 点电势低 5V ,或者说 B 点电势比 A 点电势

高 5V . 3.电势 电场中某点的电势,等于该点与零电势点间的电势差,在数值上等于单位正电荷由该点移到零电 势点时电场所做的功.令 ?B ? 0 ,则 ? A ? U AB ? ? A ? ?B . 电势具有相对性,电势的数值与零点电势点的选取有关,零点电势点的选取不同,同一点的电势 的数值则不同,理论研究中,通常以无限远点为零电势点,在实际处理问题中,又常取大地为零电势. 电势是标量,但有正负,表示各点电势的高低.在规定零电势点后,电场中各点的电势可以是正 值,也可以是负值,正值表示该点电势高于零电势,负值表示该点电势低于零电势. 沿着电场方向,电势越来越低.电场强度的方向是电势降低最快的方向. 4.电势高低的判断方法 电场线法:顺着电场线方向电势逐渐降低. W 由 U AB ? AB 及 U AB ? ? A ? ?B 来判断: 若 U AB ? 0 , 则 ? A ? ?B , 若 U AB ? 0 , 则 ? A ? ?B , 若 U AB ? 0 , q 则 ? A ? ?B . 根据场源电荷的电场来判断:在正电荷产生的电场中,离它越近电势越高;在负电荷产生的电场 中,离电荷越近电势越低. 根据电场力做功来判断:正电荷在电场力作用下移动时,电场力做正功,电荷由高电势处移向低 电势处;正电荷克服电场力做功,电荷由低电势处移向高电势处,对于负电荷,情况恰好相反. 5.电势能 电势能由电场和电荷共同决定,属于电场和电荷系统所共有的,通常习惯说成是电场中的电荷具 有多少电势能. 电势能是一个相对量,其数值与零电势能的选择有关,因此确定电荷的电势能首先确定参考点, 也就是零电势能位置,即电势为零的位置. 电势能是标量,电势能的正负仅表示大小,正值有示高于零电势能;负值有示低于零电势能. 电场做功与电势能变化的关系:电场力对电荷做正功,电势能减少,电场力对电荷做负功,电势 能增加,且电势能的改变量等于电场力做功的多少,即 W ? ??EP . 6.等势面的特点 既然电场中我们根据其做功的特点定义了每一个点有一个电势,那么我们把电势相等的点连接就 成为一个等势面。不难得出,等势面一定与电场线垂直,即跟场强的方向垂直. 电场线总是由电势高的等势面指向电势低的等势面. 在同一等势面上移动电荷时电场力不做功. 不同的等势面不会相交. 等差等势面越密的地方,电场强度越大,即等差等势面的分布疏密可以描述电场强弱. 如图分别是点电荷,等量同种,等量异种电荷周围电场与电势分布。
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7.电势与电场强度的关系 在匀强电场中,沿电场强度方向的两点间的电势差等于场强与这两点的距离的乘积, U ? Ed . 如果电场中两点不沿场强方向, d 的取值应为在场强方向的投影,即电场中两点所在的等势面的垂直 距离. 对于非匀强场,我们只需要对局部求导即可,即:

Ex ? ?

?? ?x

Ey ? ?

?? ?y

Ez ? ?

?? ?z

以上三个式子简便记作: E ? ??? 。 8.电势叠加原理 电势和场强一样,也可以叠加.因为电势是标量,因此在点电荷组形成的电场中,任一点的电 势等于每个电荷单独存在时,在该点产生的电势的代数和,这就是电势叠加原理.叠加原理原因是 因为功的叠加原理是代数叠加。 例题精讲 一、电场与电势的关系 【例1】 有 N 个电量均为 q 的点电荷,以两种方式分布在相同半径的圆周上:一种是无规则地分布, 另一种是均匀分布. 比较这两种情况下在过圆心 O 并垂直于圆平面的 Z 轴上任一点 p 的场强 与电势,则有( ) (A)场强相等,电势相等. (B)场强不等,电势不等. (C)场强分量 Ez 相等,电势相等. (D)场强分量 Ez 相等,电势不等.

?

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【例2】 已知空间中三个不共线的三点的电势,并且已知空间中只存在匀强电场。 (1) 求出任意点电势。 (2) 求出电场。

【例3】 电荷面密度一样的两块“无限大”均匀带异种电的平行平板,放在与平面相垂直的 x 轴上的+a 和-a 位置上,如图所示.设坐标原点 O 处电势为零,则在-a<x<+a 区域的电势分布曲线 为( )

【例4】 分别画出正电荷、负电荷、一对等量正电荷、一对等量正负电荷在空间中产生的 Ex ? x 图, 和 ? ? x 图。

【例5】 两个点电荷位于 x 轴上,在它们形成的电场中,若取无限远处的电势为零,则在正 x 轴上各 点的电势如图中曲线所示,当 x ? 0 时,电势 U ? ? :当 x ? ? 时,电势 U ? 0 ;电势为零 的点的坐标 x0 , 电势为极小值 ?U 0 的点的坐标为 ax0 ? a ? 2 ? .试根据图线提供的信息,确定 1.这两个点电荷所带电荷的符号 2.电量的大小 3.它们在 x 轴上的位置.

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电场线的基本性质 1 从正电荷/无穷远出发到负电荷和无穷远,正比于电荷 2 沿着电场线电势下降 3 交点意味着电荷 高斯定理的基本概念大家都熟知了。 用法 1 已知电荷求电场,例如均匀带电球,均匀带电板,金属表面 用法 2 求电场线 【例6】 一块不带电的金属 A 外,放着一个带正金属 B。求证: 1. B 的电势比 A 的高 2. A 的电势一定大于 0 3. A 上面的负电荷少于或等于 B 的电荷

二、对称 【例7】 如图,三根绝缘细棒构成等边三角形 abc ,棒上均匀带电, A 点是三角形的中心, B 是 A 点 相对于 bc 边的对称点,测得 A ,B 两点的电势分别是 U a ,U b .现在将 ab 棒取走,并设棒上 的电荷分布保持原样,试求 A , B 点的电势.

【例8】 电荷 q 均匀分布在半球面 ACB 上, 球面半径为 R , CD 为通过半球顶点 C 和球心 O 的轴线, 如图所示。P、Q 为 CD 轴线上相对 O 点对称的两点,已知 P 点的电势为 UP ,试求 Q 点的 电势 UQ 。已知均匀带电球壳的内部电势处处一样。

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【例9】 半径为 R 的半球形薄壳,其表面均匀分布面电荷密度为 ? 的电荷,求该球开口处圆面上任一 点的电势.

【例10】 四面体盒子由彼此绝缘的四块导体板构成,各导体板带电且电势分别为 U1 、U2 、U3 和 U4 ,则盒子中心点 O 的电势 U 等于多少?

知识模块 几种常见带电体的电势分布 1.点电荷周围的电势 如图所示,场源电荷电量为 Q ,在离 Q 为 r 的 P 点处有一带电量为 q 的检验电荷,现将该检验 电荷由 P 点移至无穷远处(取无穷远处为零电势) ,由于此过程中,所受电场力为变力,故将 q 移动 的整个过程理解为由 P 移至很近的 P 1 (离 Q 距离为 r 1 )点,再由 P 1 移至很近的 P 2 (离 Q 距离为 r2 ) 点……直至无穷远处.在每一段很小的过程中,电场力可视作恒力,因此这一过程中,电场力做功 可表示为:

W ?k

Qq Qq Qq ? r1 ? r ? ? k 2 ? r2 ? r1 ? ? k 2 ? r3 ? r2 ? ? r2 r1 r2

??

?

r

KQq dr r2
Qq . r Q 式中 Q 为场源电荷的电量,r 为该点到场源电 r

?k

所以点电荷周围任一点的电势可表示为:U ? k

荷的距离. 2.可以推导一些对称分布的带电体的电势分布 (1)均匀带电球壳产生的电场 设球壳的电荷量为 Q ,半径为 R ,则:

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? 1 Q ? 4π? ? R ? r ≤ R ? ? 0 ??? ? 1 ? Q ?r ? R? ? ? 4π? 0 r (2)均匀带电球体产生的电场 高球的电荷量为 Q ,半径为 R ,则:

? Q ? r2 ? ? ? 3 ? 2 ? ?r ≤ R? R ? ? 8π? R ? ?? 0 ? ? 1 ?Q ?r ? R? ? 4π? r 0 ?

例题精讲 【例11】 如图所示,半径为 R 的圆环均匀带电,电荷线密度为 λ,圆心在 O 点,过圆心跟环面垂直的 轴线上有 P 点, P O = r ,以无穷远为参考点,试求 P 点的电势 UP 。 【思考】如果电荷在上面不均匀分布结论改变么

【例12】 一半径为 R 的均匀带电圆盘,电荷面密度为 ?,设无穷远处为电势零点,则圆盘中心 O 点的 电势多大?

【例13】 一个金属球,半径为 R,本身不带电,距离球心 L 远处有一个点电荷 q。 (1)计算球心处电势。 (2)如果 L>R。已知金属球以及球的内部电势处处一样,计算整个球的电势。

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【例14】 一个半径为 a 的孤立带电金属丝环,其中心处电势为 U0,将此球靠近圆心为 O1、半径为 b 的接地的导体球,只有球中心 O 位于球面上,如图所示,试求球上感应电荷的电量。
O a

O1

b

【例15】 如图所示,半径为 r 的金属球远离其他物体,通过 R 的电阻器接地。电子束从远处以速度 v 落到球上,每秒钟有 n 个电子落到球上。试求金属球每秒钟释放的热量及球上电量。

r

R

【例16】 图中 a 为一固定放置的半径为 R 的均匀带电球体,O 为其球心.己知取无限远处的电势为零 时,球表面处的电势为 U=1000 V.在离球心 O 很远的 O′点附近有一质子 b,它以 Ek=2000 eV 的动能沿与 O? O 平行的方向射向 a.以 l 表示 b 与 O? O 线之间的垂直距离,要使质子 b 能够与带电球体 a 的表面相碰,试求 l 的最大值.

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学习之外

库仑与库伦定律
库仑,电磁学奠基人之一,于 1736 年 6 月 14 日出生于法国昂古莱姆.在青少年时期,受到了良 好的教育. 后来到巴黎军事工程学院学习, 离开学校后, 他进入西印度马提尼克皇家工程公司工作. 八 年后,他又在埃克斯岛瑟堡等地服役.法国大革命时期,库仑辞去一切职务,到布卢瓦致力于科学研 究工作,他把主要精力放在研究工程力学和静力学问题上. 1777 年法国科学院悬赏,征求改良航海指南针中的磁针的方法.库仑认为磁针支架在轴上,必然 会带来摩擦,要改良磁针,必须从这根本问题着手.他提出用细头发丝或丝线悬挂磁针.同时他对磁 力进行深入细致的研究,特别注意了温度对磁体性质的影响.他又发现线扭转时的扭力和针转过的角 度成比例关系,从而可利用这种装置算出静电力或磁力的大小.这导致他发明了扭秤,扭秤能以极高 的精度测出非常小的力. 人类对电现象的熟悉、研究,经历了很长的时间。直到 16 世纪人们才对电的现象有了深入的熟 悉。吉尔伯特比较系统地研究了静电现象,第一个提出了比较系统原始理论,并引人了“电吸引”这 个概念。但是吉尔伯特的工作仍停留在定性的阶段,进展不大。18 世纪中叶,人们借助于万有引力定 律,对电和磁做了种种猜测。18 世纪后期,科学家开始了电荷相互作用的研究。 富兰克林最早观察到电荷只分布在导体表面。普利斯特利重复了富兰克林的实验,在《电学的历 史和现状》一书中他根据牛顿的《自然哲学的数学原理》最先预言电荷之间的作用力只能与距离平方 成反比。虽然这个思想很重要,但是普利斯特利的结论在当时并没有得到科学界的重视。 在库仑定律提出前有两个人曾作过定量的实验研究,并得到明确的结论。可惜,都没有及时发表 而未对科学的发展起到应有的推动作用。 一位是英国爱丁堡大学的罗宾逊, 认为电力服从平方反比律, 并且得到指数 n=2.06,从而电学的研究也就开始进行精确研究。不过,他的这项工作直到 1801 年才 发表。另一位是英国的卡文迪许。1772~1773 年间,他做了双层同心球实验,第一次精确测量出电作 用力与距离的关系。发现带电导体的电荷全部分布在表面而内部不带电。卡文迪许进一步分析,得到 n=2.002。他的这个同心球实验结果在当时的条件下是相当精确的。但可惜的是他一直没有公开发表 这一结果。 库仑的扭秤巧妙的利用了对称性原理按实验的需要对电量进行了改变。库仑让这个可移动球和固 定的球带上同量的同种电荷,并改变它们之间的距离。通过实验数据可知,斥力的大小与距离的平方 成反比。但是对于异种电荷之间的引力,用扭称来测量就碰到了麻烦。经过反复的思考,库仑借鉴动 力学实验加以解决。库仑设想:假如异种电荷之间的引力也是与它们之间的距离平方成反比,那么只 要设计出一种电摆就可进行实验。 通过电摆实验,库仑认为:“异性电流体之间的作用力,与同性电流体的相互作用一样,都与距 离的平方成反比。”库仑利用与单摆相类似的方法测定了异种电荷之间的引力也与它们的距离的平方 成反比,不是通过扭力与静电力的平衡得到的。可见库仑在确定电荷之间相互作用力与距离的关系时 使用了两种方法,对于同性电荷,使用的是静电力学的方法;对于异性电荷使用的是动力学的方法。 库仑注重修正实验中的误差,最后得到:“在进行刚才我所说的必要的修正后,我总是发现磁流 体的作用不管是吸引还是排斥都是按距离平方倒数规律变化的。”但是应当指出的是,库仑只是精确 的测定了距离平方的反比关系,并把静电力和静磁力从形式归纳于万有引力的范畴,我们这里要强调 的是库仑并没有验证静电力与电量之积成正比。“库仑仅仅认为应该是这样。也就是说库仑验证了电 力与距离平方成反比,但仅仅是推测电力与电量的乘积成正比。” 库仑定律是平方反比定律,自发现以来,科学家不断检验指数 2 的精度。1971 年威廉等人的实验表明库 仑定律中指数 2 的偏差不超过 10 ,因此假定为 2。事实上,指数为 2 和光子静止质量为零是可以互推 的。其实假如不为零,即使这个值很小,也会动摇物理学大厦的重要基石,因为现有理论都是以等于零 为前提。到目前为止,理论和实验表明点电荷作用力的平方反比定律是相当精确的。200 多年来,电力
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平方反比律的精度提高了十几个数量级,使它成为当今物理学中最精确的实验定律之一。回顾库仑定律 的建立过程,库仑并不是第一个做这类实验的人,而且他的实验结果也不是最精确的。我们之所以把平 方反比定律称为库仑定律是因为库仑结束了电学发展的第一个时期。 库仑的工作使静电学趋于高度完善。 电量的单位也是为了纪念库仑而以他的名字命名的。一、电场与电势的关系

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