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高一数学竞赛试题5



高一数学竞赛试题(1)
(注意:共有二卷,时间 100 分钟, 满分 150)

第一卷(本卷 100 分)
一、选择题(每小题 5 分,共 50 分)
1.下列结论中正确的是( A. ?0 ? ? ?0 ,1, 2 ,3? C. ?x | x ? 0 ? ? ?
2

) B. 2 ? ?无理数 D

. ?等腰三角形

?

? ? ?等腰直角三角形

?


2.若集合M={x│x2?3x+2≥0},N={x| x ? 5 , x ? R },则M∩N是( A. { x | ? 5 ? x ? 1} C. { x | ? 5 ? x ? 1或 2 ? x ? 5} 3.函数 y ? x ? 2 的图象是( ) B. { x | 2 ? x ? 5} D. ?

4. 一个教室的面积为 x m , 其窗子的面积为 y m , (x>y), 如果把 y/x 称为 2 这个教室的亮度, 现在教室和窗子同时增加 z m , 则其亮度将( ) A. 增加 B. 减小 ) B. x ? D. ? x ? ) B.偶函数 D.非奇非偶函数
? x ? x

2

2

C. 不变

D. 不确定
f ( x) ? x ? x , 则在 ( ?? , 0 ) 上的 f ( x ) 的

5.奇函数 f ( x ) 在 ( 0 , ?? ) 上的表达式为 表达式为 f(x)=( A. ? x ? C. ? x ?
x ? x

6.函数 f ? x ? ? x ? 2 ? x ? 2 是( A.奇函数 C.既是奇函数又是偶函数

7.已知 2 x ? 3 x ≤0,则函数 f (x) = x +x+1 (
2

2

)
3 4

A. 有最小值

3 4

, 但无最大值
19 4

B. 有最小值

, 有最大值 1

C. 有最小值 1,有最大值
2

D. 以上选项都不对

8. 方程 ax +2x+1=0 至少有一个负实根的充要条件是( ) A. 0<a≤1 B. a<1 C. 0<a≤1 或 a<0 D. a≤1 9. 已知 y ? log a ( 2 ? ax ) 在[0,1]上为 x 的减函数,则 a 的取值范围为( A. (0,1) 10.若 log
a



B. (1,2)
b

C. (0,2) ) C. a>b>1

D. [ 2 , ?? )

2 ? log

2 ? 0 ,则(

A. 0<a<b<1

B. 0<b<a<1

D. b>a>1

二.填空题(每小题 5 分,共 15 分)
11.数 y= log
x ?1

( x ? 1) 的定义域是____________________
2

12. “若 ( x ? 1)( y ? 2 ) ? 0 ,则 x ? 1或 y ? ? 2 ”的否命题是 _________________________________________________ 13.函数 y=
3 ?1
x

3 ?1
x

的反函数是______________________________

三.解答题(共 35 分. 需要写出详细求解过程)
14. (10 分) (1)求函数 f ( x ) ?
6 x ? 3x ? 2
2

?

x ? 4 的定义域;
2

(2)已知函数 f ( x ) ? 3 x ? 4 的值域为[?1,5],求函数 f ( x ) 的定义域。

15. (10 分)设集合 A ? { x | x ? ( p ? 2 ) x ? 1 ? 0 , x ? R } ,若 A∩ R
2

?

?? ,

求实数 p 的取范围。

16. (15 分)某商人如果将进货单价为8元的商品按每件 10 元售出时,每天可销售 100 件,现在他采用提高售出价,减少进货量的办法增加利润,已知这种商品每件涨价 1 元,其销售数量就减少 10 个,问他将售价定为多少时,才能使每天所赚得的利 润最大?最大利润是多少?

第二卷(共 50 分)
四.选择题(每小题5分,共15分)
17.已知 x ? a , y ? a , z ? a
a aa

( a ? ( 0 ,1)) ,那么,下列式子成立的是(



A.x < y < z

B. z < y < x

C. z < x < y
( n ? 10 )

D. x < z < y ,则 f ( 5 ) 的值等于

18.已知 n ? N ,且 f ( n ) ? ?

? n?3

? f [ f ( n ? 5 )] ( n ? 10 )

A.9 B.10 C.7 D.8 19. 甲乙两人同时到同一商店分两次购买面粉, 甲每次都购买 10 千克, 乙每次 都购买 10 元钱的。已知两次价格不同, 设甲两次的平均价格为 p, 乙两次 的平均价格为 q, 则( ) A. p>q B. p=q C. p<q D.与价格有关

五.填空题(每小题 5 分,共 10 分)
20. 不等式 | x ? 1 | ? x ? 3 ? x ? 1 的解集_____________ 21.有一函数 f ( n )( n ? N ) ,n=1 时, f ( n ? 1) ? f ( n ) ? 3 ;当 n 为偶数时,
*

f ( n ? 1) ? f ( n ) ? 3 ;n 为奇数时, f ( n ? 1) ? f ( n ) ? ? 1 。则 f ( n ) ? _________

六.解答题(共 25 分)
22. (10 分)已知函数 f ( x ) ? lg( a ? b )( a , b 为常数 ) ,
x x

① 当 a , b ? 0 , 且 a ? b 时 , 求 f ( x ) 的定义域; ② 当 a ? 1 ? b ? 0时 , 判断 f ( x ) 的单调性,并用定义证明。

23. (15 分)设 a ? R , f ( x ) 为奇函数,且 f ( 2 x ) ? (1)试求 f ( x ) 的反函数 f (2)设 g ( x ) ? log
1? x
2

a?4 ? a ? 2
x

4 ?1
x

?1

( x ) 及其定义域;
1 2 , ], f 2 3
?1

.若 x ? [

( x ) ≤ g ( x ) 恒成立,

k

求实数 k 取值范围。

附加参考题(不计分)
24.讨论函数 f ( x ) ? px ?
q x ( p , q 均为大于 0的常数 ) 的单调性。

参考答案(仅供参考)
一. BCCAB ACDBA 二. 11. (1,2)∪(2,+∞) 13. y ? log
1? x
3

12.若 ( x ? 1)( y ? 2 ) ? 0 ,则 x ? 1且 y ? ? 2
, ( ? 1 ? x ? 1)

1? x

三. 14. 略(第 2 问应要求说明函数单调性) 15. 记方程判别式△=(p+2)2 – 4 因为 A ? R
?

? ? ,所以方程 x ? ( p ? 2 ) x ? 1 ? 0 (*)无正实数根。
2

(1)若方程(*)无实数根,则 A ? ? ,所以△<0,即 ? 4 ? p ? 0 , 此时 A ? R
?

? ? , 故 ? 4 ? p ? 0 满足条件。

(2)若方程(*)有实数根,显然 x=0 不是根,所以根均为负数, 所以 ?
? ? ? 0

? - (p ? 2) ? 0

? p ? ? 4或 p ? 0 ? ? , ? p ? 0, p ? ?2 ?

综合(1) (2)有 p>-4 16. 略(要求逐步分析,写出函数式,再解决问题) 四. 17~19 题 DDA 五.20. [-3, 1)∪(1,+∞) 21. f ( n ) ? ?
? n ? 1( n 为偶数 ) ? n ? 1( n 为奇数 )
a

六.22.解:① a x ? b x ? 0 ? a x ? b x ? ( ) x ? 1,
b

若 a ? b ? 0, 则

a b

? 1 ? x ? 0 为 f ( x ) 定义域 .
a b ? 1 ? x ? 0 为 f ( x ) 定义域 .

若 0 ? a ? b, 则 0 ?

②任取 x1,x2 使 0 ? x 1 ? x 2 ( a ? b ),
由a ? 1 ? a 所以 a
x1 x1 x1

? a ? a
x1

x2 x2

; 再由 0 ? b ? 1 ? b ?b
x2

x1

?b

x2

? ?b

x1

? ?b

x2

?b
x1

,
x2

? lg( a

?b

) ? lg( a

?b

x2

), 即 f ( x 1 ) ? f ( x 2 ) ,

所以,f(x)为增函数。



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