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高中数学 两条直线的位置关系 专题练习



高中数学先修课程两条直线的位置关系专题练习 一.填空题(共 12 小题) 1. 两条直线 y=kx+2k+1 和 x+2y﹣4=0 的交点在第四象限, 则 k 的取值范围是_



2.过点 P(3,﹣1)引直线,使点 A(2,﹣3) ,B(4,5)到它的距离相等,则这条直线 的方程为 . 3.直线 l 经过点 P(﹣2,1)且点 A(﹣2,﹣1)到直线 l 的距离等于 1,则直线 l 的方程 是 . 4.点 P(1,﹣1)到直线 x﹣y+1=0 的距离是 5.两条平行直线 3x+4y﹣12=0 与 ax+8y+11=0 间的距离是
2

. . ,若

6.已知直线 l1:ax+2y+6=0,l2:x+(a﹣1)y+a ﹣1=0,若 l1⊥l2,则 a= l1∥l2,则 l1 与 l2 的距离为 . 7.已知 a∈R,直线 l: (a﹣1)x+ay+3=0,则直线 l 经过的定点的坐标为 8.已知点 A(8,﹣5) 、B(0,10) ,则|AB|= .



9.已知三条直线 ax+2y+8=0,4x+3y=10 和 2x﹣y=10 中没有任何两条平行,但它们不能构 成三角形的三边,则实数 a 的值为 . 10.已知直线 l1:x﹣2y﹣4=0 和 l2:x+3y+6=0,则直线 l1 和 l2 的交点为 .

11.若在直线 y=x 上存在点 P,P 到点 A(﹣m,0)与到点 B(m,0) (m>0)的距离之差 为 2,则实数 m 的取值范围为 . 12.对于任意实数 m.n,直线(m+n)x+12my﹣2n=0 恒过定点的坐标是 .

二.解答题(共 8 小题) 13. (1)求直线 3x﹣2y+1=0 和 x+3y+4=0 的交点坐标. (2)求通过上述交点,并同直线 x+3y+4=0 垂直的直线方程.

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14.求经过直线 l1:3x+4y﹣5=0 与直线 l2:2x﹣3y+8=0 的交点 M,且满足下列条件的直线 方程: (1)经过原点; (2)与直线 2x+y+5=0 平行; (3)与直线 2x+y+5=0 垂直.

15.已知点 A(1,3) ,B(3,1) ,点 C 是直线 l1:3x﹣2y+3=0 和直线 l2:2x﹣y+2=0 的交 点. (1)求 l1 与 l2 的交点 C 的坐标; (2)求△ABC 的面积.

16.已知直线 l 的方程为: (2+m)x+(1﹣2m)y+(4﹣3m)=0. (1)求证:不论 m 为何值,直线必过定点 M; (2)过点 M 引直线 l1,使它与两坐标轴的负半轴所围成的三角形面积最小,求 l1 的方程.

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17.求过直线 l1:x﹣2y+3=0 与直线 l2:2x+3y﹣8=0 的交点,且到点 P(0,4)的距离为 1 的直线 l 的方程.

18.已知直线 l 的方程为 2x﹣y+1=0 (Ⅰ)求过点 A(3,2) ,且与直线 l 垂直的直线 l1 方程; (Ⅱ)求与直线 l 平行,且到点 P(3,0)的距离为 的直线 l2 的方程.

19.已知直线 l:kx﹣y+1+2k=0(k∈R) . (1)证明:直线 l 过定点; (2)若直线 l 不经过第四象限,求 k 的取值范围; (3)若直线 l 交 x 轴负半轴于点 A,交 y 轴正半轴于点 B,O 为坐标原点,设△AOB 的面 积为 S,求 S 的最小值及此时直线 l 的方程.

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20.两条互相平行的直线分别过点 A(6,2)和 B(﹣3,﹣1) ,并且各自绕着 A,B 旋转, 如果两条平行直线间的距离为 d. 求: (1)d 的变化范围; (2)当 d 取最大值时两条直线的方程.

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参考答案与试题解析

一.填空题(共 12 小题) 1.两条直线 y=kx+2k+1 和 x+2y﹣4=0 的交点在第四象限,则 k 的取值范围是_ ﹣ <k< ﹣ .
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【考点】两条直线的交点坐标. 【专题】直线与圆. 【分析】联立方程组可直接求出交点坐标,令交点的横坐标大于 0,综坐标小于 0,解不等 式组即可. 【解答】解:联立 ,

解得 x=

,y=



由两直线 y=kx+2k+1 与 x+2y﹣4=0 交点在第四象限可得: >0, <0.

解此不等式组可得﹣ <k<﹣ , ∴k 的取值范围为﹣ <k<﹣ . 【点评】 本题考查两条直线的交点坐标, 解方程组和不等式组是解决问题的关键, 属基础题. 2.过点 P(3,﹣1)引直线,使点 A(2,﹣3) ,B(4,5)到它的距离相等,则这条直线 的方程为 4x﹣y﹣13=0 或 x=3 . 【考点】两点间距离公式的应用. 【专题】直线与圆. 【分析】根据题意,求出经过点 P 且与 AB 平行的直线方程和经过 P 与 AB 中点 C 的直线 方程,即可得到满足条件的直线方程. 【解答】解:由题意,所求直线有两条, 其中一条是经过点 P 且与 AB 平行的直线;另一条是经过 P 与 AB 中点 C 的直线. ∵A(2,﹣3) ,B(4,5) ,
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∴AB 的斜率 k=

=4,

可得经过点 P 且与 AB 平行的直线方程为 y+1=4(x﹣3) , 化简得 4x﹣y﹣13=0, 又∵AB 中点为 C(3,1) ∴经过 PC 的直线方程为 x=3, 故答案为:4x﹣y﹣13=0 或 x=3. 【点评】本题给出点 A、B,求经过点 P 且与 A、B 距离相等的直线方程,着重考查了直线 的斜率与直线方程等知识,属于基础题和易错题.

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3.直线 l 经过点 P(﹣2,1)且点 A(﹣2,﹣1)到直线 l 的距离等于 1,则直线 l 的方程 是 或 . 【考点】点到直线的距离公式. 【专题】直线与圆. 【分析】当直线 l 的斜率不存在时,直线 l 的方程为 x=﹣2,不成立;当直线 l 的斜率存在
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时,设直线 l;kx﹣y+2k+1=0,则

=1,由此能求出直线 l 的方程.

【解答】解:当直线 l 的斜率不存在时,直线 l 的方程为 x=﹣2,不成立; 当直线 l 的斜率存在时,设直线 l;y﹣1=k(x+2) ,即 kx﹣y+2k+1=0, ∵点 A(﹣2,﹣1)到直线 l 的距离等于 1, ∴ 解得 k= , =1,

∴直线 l 的方程为: 或 . 故答案为: 或 . 【点评】本题考查直线方程的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意点到直线的距离公 式的合理运用.

4.点 P(1,﹣1)到直线 x﹣y+1=0 的距离是 【考点】点到直线的距离公式. 【分析】直接应用点到直线的距离公式求解即可.
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【解答】解:由点到直线的距离公式可得: 故答案为: 【点评】本题考查点到直线的距离公式,是基础题.



5.两条平行直线 3x+4y﹣12=0 与 ax+8y+11=0 间的距离是
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【考点】两条平行直线间的距离. 【专题】计算题;直线与圆. 【分析】通过直线的平行求出 a,然后利用两条平行线之间的距离求解即可. 【解答】解:因为两条平行直线 3x+4y﹣12=0 与 ax+8y+11=0, 所以 a=6, 由两条平行线之间的距离公式可得: 故答案为: 【点评】本题考查两条平行线之间的距离公式的应用,考查计算能力. = .

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6.已知直线 l1:ax+2y+6=0,l2:x+(a﹣1)y+a ﹣1=0,若 l1⊥l2,则 a= 则 l1 与 l2 的距离为 .
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2

,若 l1∥l2,

【考点】两条平行直线间的距离;直线的一般式方程与直线的平行关系. 【专题】直线与圆. 【分析】利用两条直线平行与垂直的充要条件即可得出. 【解答】解:①当 a=1 时不满足条件,当 a≠1 时,∵l1⊥l2,∴ 解得 a= . ②∵l1∥l2,∴

= ﹣1,

,解得 a=2 或﹣1,a=2 时两条直线重合,舍去.

∴a=﹣1,两条直线分别化为:x﹣2y﹣6=0,x﹣2y=0, ∴l1 与 l2 的距离为= 故答案分别为: , = . .

【点评】本题考查了两条直线平行与垂直的充要条件、斜率的计算公式,考查了推理能力与 计算能力,属于基础题. 7.已知 a∈R,直线 l: (a﹣1)x+ay+3=0,则直线 l 经过的定点的坐标为 (3,﹣3) . 【考点】恒过定点的直线. 【专题】直线与圆. 【分析】 把直线的方程化为 m (ax+by+c) + (a′x+b′y+c′) =0 的形式, 再令 m 的系数等于零, 即可求得定点的坐标. 【解答】解:直线 l: (a﹣1)x+ay+3=0,即 a(x+y)+(﹣x+3)=0, 令 x+y=0,可得﹣x+3=0,求得 x=3,y=﹣3,故直线 l 经过的定点的坐标为(3,﹣3) , 故答案为: (3,﹣3) . 【点评】本题主要考查直线过定点问题,利用了 m(ax+by+c)+(a′x+b′y+c′)=0 经过直线 ax+by+c=0 和直线 a′x+b′y+c′=0 的交点,属于基础题.
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8.已知点 A(8,﹣5) 、B(0,10) ,则|AB|= 17 . 【考点】两点间距离公式的应用. 【专题】直线与圆. 【分析】根据两点间的距离公式进行求解即可. 【解答】解:∵A(8,﹣5) 、B(0,10) ,
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∴|AB|=

=

=

=17,

故答案为:17 【点评】本题主要考查平面内两点间的距离的计算,根据距离公式是解决本题的关键. 9.已知三条直线 ax+2y+8=0,4x+3y=10 和 2x﹣y=10 中没有任何两条平行,但它们不能构 成三角形的三边,则实数 a 的值为 ﹣1 .
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【考点】两条直线的交点坐标. 【专题】直线与圆. 【分析】由已知可得直线 ax+2y+8=0 必经过 4x+3y=10 和 2x﹣y=10 的交点,求出即可. 【解答】解:由三条直线 ax+2y+8=0,4x+3y=10 和 2x﹣y=10 中没有任何两条平行,但它们 不能构成三角形的三边, 则直线 ax+2y+8=0 必经过 4x+3y=10 和 2x﹣y=10 的交点.
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联立

解得



把 x=4,y=﹣2 代入 ax+2y+8=0 得 a=﹣1. 故答案为﹣1. 【点评】正确理解题意是解题的关键. 10.已知直线 l1:x﹣2y﹣4=0 和 l2:x+3y+6=0,则直线 l1 和 l2 的交点为 (0,﹣2) . 【考点】两条直线的交点坐标. 【专题】直线与圆.
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【分析】联立直线 l1 和 l2 的方程解得即可. 【解答】解:联立 ,解得 .

∴直线 l1 和 l2 的交点为(0,﹣2) . 故答案为: (0,﹣2) . 【点评】本题考查了两条直线的交点问题,属于基础题. 11.若在直线 y=x 上存在点 P,P 到点 A(﹣m,0)与到点 B(m,0) (m>0)的距离之差 为 2,则实数 m 的取值范围为 . 【考点】两点间的距离公式. 【专题】计算题;压轴题. 【分析】由已知,P 与 O 不重合,P 在以 A,B 为焦点的双曲线的右支上,即是说,P 应是 双曲线与直线在第一象限的交点. 问题转化为直线与双曲线相交满足的条件, 利用相应的方 程组有解解决. 【解答】解:易知当 P 与 O 重合时,|PA|=|PB|,不合题意. P 与 O 不重合时,P,A,B 三点构成三角形,|PA|﹣|PA|<|AB|=2m,∴m>1, 由双曲线的定义,P 在以 A,B 为焦点的双曲线的右支上,
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且双曲线方程为

①与直线方程 y=x②联立.

若在直线 y=x 上存在点 P, 方程组有正数解解. ①②消去得, 并化简整理得 x =
2

2

>0,

∴m >2,解得:m 故答案为: 【点评】本题考查直线与双曲线的位置关系,双曲线的定义,方程组的解法,以及分析解决 问题、计算的能力、数形结合的思想方法.
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12.对于任意实数 m.n,直线(m+n)x+12my﹣2n=0 恒过定点的坐标是 . 【考点】恒过定点的直线. 【专题】压轴题;转化思想. 【分析】对于任意实数 m.n,直线(m+n)x+12my﹣2n=0 恒过定点,则与 m,n 的取值无 关,则将方程转化为(x+12y)m+(x﹣2)n=0,让 m,n 的系数为零即可. 【解答】解:方程(m+n)x+12my﹣2n=0 可化为(x+12y)m+(x﹣2)n=0 ∵对于任意实数 m.n,直线(m+n)x+12my﹣2n=0 恒过定点
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故定点坐标是 【点评】本题通过恒过定点问题来考查学生方程转化的能力及直线系的理解. 二.解答题(共 8 小题) 13. (1)求直线 3x﹣2y+1=0 和 x+3y+4=0 的交点坐标. (2)求通过上述交点,并同直线 x+3y+4=0 垂直的直线方程. 【考点】两条直线的交点坐标;两条直线垂直的判定;直线的一般式方程. 【专题】计算题;压轴题. 【分析】 (1)联立方程组直接求出交点坐标; (2)求出与直线 x+3y+4=0 垂直的直线的斜率,然后求出直线方程. 【解答】解: (1)根据题意有, ,

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解得交点坐标(﹣1,﹣1) (2)根据题意,所求直线的斜率为 3 所求直线方程为 y+1=3(x+1) , 即 3x﹣y+2=0. 【点评】本题考查两条直线的交点坐标,两条直线垂直的判定,直线的一般式方程,考查计 算能力,是基础题. 14.求经过直线 l1:3x+4y﹣5=0 与直线 l2:2x﹣3y+8=0 的交点 M,且满足下列条件的直线 方程: (1)经过原点; (2)与直线 2x+y+5=0 平行; (3)与直线 2x+y+5=0 垂直. 【考点】两条直线的交点坐标;直线的一般式方程与直线的垂直关系. 【专题】计算题.
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【分析】由方程组可得 M 的坐标, (1)过原点,可得方程为 y=kx,可得 k 值,进而可得方程; (2)由平行关系可得直线的斜率,进而可得点斜式方程,化为一般式即可. (3)由垂直关系可得直线的斜率,进而可得点斜式方程,化为一般式即可. 【解答】解:由 ,解得 ,故点 M(﹣1,2)

(1)当直线过原点,可得方程为 y=kx,代入点(﹣1,2)可得 k=﹣2, 故方程为 2x+y=0; (2)若直线平行于直线 l3:2x+y+5=0.则斜率为﹣2 故可得方程为 y﹣2=﹣2(x+1) ,即 2x+y=0 (3)若直线垂直于直线 l3:2x+y+5=0.则斜率为 故可得方程为 y﹣2= (x+1) ,即 x﹣2y+5=0 【点评】本题考查直线方程的求解,涉及直线的垂直和平行,属基础题. 15.已知点 A(1,3) ,B(3,1) ,点 C 是直线 l1:3x﹣2y+3=0 和直线 l2:2x﹣y+2=0 的交 点. (1)求 l1 与 l2 的交点 C 的坐标; (2)求△ABC 的面积. 【考点】两条直线的交点坐标;点到直线的距离公式. 【专题】直线与圆. 【分析】 (1)联立直线方程,解方程组可得; (2)由距离公式可得|AB|和 AB 上的高 h,代入三角形的面积公式可得.
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【解答】解: (1)联立方程组 ∴l1 与 l2 的交点 C 的坐标为(﹣1,0) ; (2)设 AB 上的高为 h,则 由距离公式可得 AB 边上的高 h 就是点 C 到 AB 的距离. AB 边所在直线方程为

,解得

, ,

,即 x+y﹣4=0,

点 C 到 x+y﹣4=0 的距离为



∴ 【点评】本题考查直线的交点坐标和距离公式,涉及三角形的面积,属基础题. 16.已知直线 l 的方程为: (2+m)x+(1﹣2m)y+(4﹣3m)=0.
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(1)求证:不论 m 为何值,直线必过定点 M; (2)过点 M 引直线 l1,使它与两坐标轴的负半轴所围成的三角形面积最小,求 l1 的方程. 【考点】恒过定点的直线;直线的截距式方程. 【专题】计算题;直线与圆.
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【分析】 (1)原方程整理得: (x﹣2y﹣3)m+2x+y+4=0.由 定点 M; (2)表示出面积,利用基本不等式,即可得出结论. 【解答】 (1)证明:原方程整理得: (x﹣2y﹣3)m+2x+y+4=0. 由 ,可得 ,

,可得直线必过

∴不论 m 为何值,直线必过定点 M(﹣1,﹣2) (2)解:设直线 l1 的方程为.y=k(x+1)﹣2(k<0) . 令 ∴ 当且仅当 ,即 k=﹣2 时,三角形面积最小. . .

则 l1 的方程为 2x+y+4=0. 【点评】本题考查直线过定点,考查三角形面积的计算,考查学生分析解决问题的能力,属 于中档题. 17.求过直线 l1:x﹣2y+3=0 与直线 l2:2x+3y﹣8=0 的交点,且到点 P(0,4)的距离为 1 的直线 l 的方程. 【考点】点到直线的距离公式;两条直线的交点坐标. 【专题】直线与圆. 【分析】确定 l1,l2 的交点坐标,分类讨论,利用点到直线的距离公式,即可得出结论.
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【解答】解:由

,解得

∴l1,l2 的交点为(1,2)…2 分 显然,直线 x=1 满足条件; 另设直线方程为 y﹣2=k(x﹣1) ,即 kx﹣y+2﹣k=0, 依题意有: ,解得: …8 分

…4 分

∴所求直线方程为 3x+4y﹣11=0 或 x=1….10 分 (注:未考虑 x=1 扣 2 分) 【点评】本题考查两条直线的位置关系,考查点到直线的距离公式,考查学生的计算能力, 属于基础题.

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18.已知直线 l 的方程为 2x﹣y+1=0 (Ⅰ)求过点 A(3,2) ,且与直线 l 垂直的直线 l1 方程; (Ⅱ)求与直线 l 平行,且到点 P(3,0)的距离为 的直线 l2 的方程. 【考点】点到直线的距离公式;直线的一般式方程与直线的平行关系;直线的一般式方程与 直线的垂直关系. 【专题】直线与圆.
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【分析】 (Ⅰ)设与直线 l:2x﹣y+1=0 垂直的直线 l1 的方程为:x+2y+m=0,把点 A(3,2) 代入解得 m 即可; (Ⅱ)设与直线 l:2x﹣y+1=0 平行的直线 l2 的方程为:2x﹣y+c=0,由于点 P(3,0)到直 线 l2 的距离为 .可得 = ,解得 c 即可得出.

【解答】解: (Ⅰ)设与直线 l:2x﹣y+1=0 垂直的直线 l1 的方程为:x+2y+m=0, 把点 A(3,2)代入可得,3+2× 2+m=0,解得 m=﹣7. ∴过点 A(3,2) ,且与直线 l 垂直的直线 l1 方程为:x+2y﹣7=0; (Ⅱ)设与直线 l:2x﹣y+1=0 平行的直线 l2 的方程为:2x﹣y+c=0, ∵点 P(3,0)到直线 l2 的距离为 . ∴ = ,

解得 c=﹣1 或﹣11. ∴直线 l2 方程为:2x﹣y﹣1=0 或 2x﹣y﹣11=0. 【点评】本题考查了相互平行与垂直的直线斜率之间的关系、点到直线的距离公式,考查了 推理能力与计算能力,属于基础题. 19.已知直线 l:kx﹣y+1+2k=0(k∈R) . (1)证明:直线 l 过定点; (2)若直线 l 不经过第四象限,求 k 的取值范围; (3)若直线 l 交 x 轴负半轴于点 A,交 y 轴正半轴于点 B,O 为坐标原点,设△AOB 的面 积为 S,求 S 的最小值及此时直线 l 的方程. 【考点】恒过定点的直线;基本不等式在最值问题中的应用. 【专题】计算题. 【分析】 (1)直线 l 的方程可化为 y=k(x+2)+1,直线 l 过定点(﹣2,1) . (2)要使直线 l 不经过第四象限,则直线的斜率和直线在 y 轴上的截距都是非负数,解出 k 的取值范围. (3)先求出直线在两个坐标轴上的截距,代入三角形的面积公式,再使用基本不等式可求 得面积的最小值. 【解答】解: (1)直线 l 的方程可化为 y=k(x+2)+1, 故无论 k 取何值,直线 l 总过定点(﹣2,1) . (2)直线 l 的方程可化为 y=kx+2k+1,则直线 l 在 y 轴上的截距为 2k+1,
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要使直线 l 不经过第四象限,则 解得 k 的取值范围是 k≥0.



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(3)依题意,直线 l 在 x 轴上的截距为﹣ ∴A(﹣ 又﹣ ,0) ,B(0,1+2k) , <0 且 1+2k>0, (1+2k)

,在 y 轴上的截距为 1+2k,

∴k>0,故 S= |OA||OB|= × = (4k+ +4)≥ (4+4)=4,

当且仅当 4k= ,即 k= 时,取等号, 故 S 的最小值为 4,此时直线 l 的方程为 x﹣2y+4=0. 【点评】本题考查直线过定点问题,直线在坐标系中的位置,以及基本不等式的应用(注意 检验等号成立的条件) . 20.两条互相平行的直线分别过点 A(6,2)和 B(﹣3,﹣1) ,并且各自绕着 A,B 旋转, 如果两条平行直线间的距离为 d. 求: (1)d 的变化范围; (2)当 d 取最大值时两条直线的方程. 【考点】两条平行直线间的距离. 【专题】计算题;直线与圆. 【分析】 (1)方法一:①当两条直线的斜率不存在时,可求得两直线间的距离;②当两条直
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线的斜率存在时,设这两条直线方程为 l1:y﹣2=k(x﹣6) ,l2:y+1=k(x+3) ,利用两平行 线间的距离公式可求得两直线间的距离 d 的表示式, 两端平方, 整理成关于斜率 k 的二次方 程,利用其有解的条件即可求得 d 的变化范围; (2)作出图形,数形结合即可求得答案. 【解答】解: (1)方法一:①当两条直线的斜率不存在时,即两直线分别为 x=6 和 x=﹣3, 则它们之间的距离为 9.…(2 分) ②当两条直线的斜率存在时,设这两条直线方程为 l1:y﹣2=k(x﹣6) ,l2:y+1=k(x+3) , 即 l1:kx﹣y﹣6k+2=0,l2:kx﹣y+3k﹣1=0,…(4 分) ∴d=
2 2

=
2



即(81﹣d )k ﹣54k+9﹣d =0. ∵k∈R,且 d≠9,d>0, 2 2 2 ∴△=(﹣54) ﹣4(81﹣d ) (9﹣d )≥0,即 0<d≤3 综合①②可知,所求 d 的变化范围为(0,3 ].

且 d≠9.…(9 分)

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方法二:如图所示 而|AB|=

,显然有 0<d≤|AB|. =3 .

故所求的 d 的变化范围为(0,3 ]. (2)由图可知,当 d 取最大值时,两直线垂直于 AB. 而 kAB= = ,

∴所求直线的斜率为﹣3.故所求的直线方程分别为 y﹣2=﹣3(x﹣6) ,y+1=﹣3(x+3) ,即 3x+y﹣20=0 和 3x+y+10=0﹣…(13 分) 【点评】本题考查两条平行直线间的距离,考查分类讨论思想与数形结合思想的综合运用, 属于难题.

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