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必修四:(新课标)同角三角函数基本关系式及诱导公式(典型例题+习题+答案)


同角三角函数基本关系式及诱导公式

1. 同角三角函数的基本关系 sin α (1)平方关系:sin2α+cos2α=1.(2)商数关系: =tan α. cos α 2. 诱导公式

3π 1. (2011· 大纲全国)已知 α∈?π, 2 ?,tan α=2,则 cos α=________. ? ? 答案 - 5 5

sin α 解析 ∵tan α=2,∴ =2,∴sin α=2cos α. cos α 1 又 sin2α+cos2α=1,∴(2cos α)2+cos2α=1,∴cos2α= . 5 3π 5 又∵α∈?π, 2 ?,∴cos α=- . ? ? 5 2sin α-cos α 2. 若 tan α=2,则 的值为________. sin α+2cos α 答案 3 4

2tan α-1 3 解析 原式= = . tan α+2 4 1 3. 已知 α 是第二象限的角,tan α=- ,则 cos α=________. 2 2 5 答案 - 5 解析 ∵α 是第二象限的角,∴cos α<0. 又 sin2α+cos2α=1,tan α= 2 5 ∴cos α=- . 5 4 4 5 4. sin π· cos π· ?-3π?的值是________. tan? ? 3 6 3 3 答案 - 4 π π π 解析 原式=sin?π+3?· ?π-6?· ?-π-3? ? ? cos? ? tan? ? π ? π ? π =?-sin 3?·-cos 6?·-tan 3? ? ?? ?? ? sin α 1 =- , cos α 2

=?-

?

3 3 3? ? 3 × - ?×(- 3)=- . 4 2? ? 2?

π 2π 2 5. 已知 cos?6-α?= ,则 sin?α- 3 ?=________. ? ? 3 ? ? 2 答案 - 3 解析 2π π π sin?α- 3 ?=sin?-2-?6-α?? ? ? ? ?

?

?

π π π 2 =-sin?2+?6-α??=-cos?6-α?=- . ?? ? ? ? ? 3 题型分析 深度剖析 题型一 同角三角函数基本关系式的应用 例1 1 已知在△ABC 中,sin A+cos A= . 5 (1)求 sin Acos A 的值; (2)判断△ABC 是锐角三角形还是钝角三角形; (3)求 tan A 的值. 1 思维启迪:由 sin A+cos A= 及 sin2A+cos2A=1,可求 sin A,cos A 的值. 5 解 1 (1)∵sin A+cos A= ① 5

1 ∴两边平方得 1+2sin Acos A= , 25 12 ∴sin Acos A=- . 25 12 (2)由 sin Acos A=- <0,且 0<A<π, 25 可知 cos A<0,∴A 为钝角,∴△ABC 是钝角三角形. (3)∵(sin A-cos A)2=1-2sin Acos A 24 49 =1+ = , 25 25 又 sin A>0,cos A<0,∴sin A-cos A>0, 7 ∴sin A-cos A= .② 5 4 3 ∴由①,②可得 sin A= ,cos A=- , 5 5 4 5 sin A 4 ∴tan A= = =- . cos A 3 3 - 5 探究提高 (1)对于 sin α+cos α,sin αcos α,sin α-cos α 这三个式子,已知其中一个式

子的值,其余二式的值可求.转化的公式为(sin α± α)2=1± cos 2sin αcos α;(2)关于 sin α, cos α 的齐次式,往往化为关于 tan α 的式子. (1)已知 tan α=2,求 sin2α+sin αcos α-2cos2α; (2)已知 sin α=2sin β,tan α=3tan β,求 cos α. 解 = = (1)sin2α+sin αcos α-2cos2α sin2α+sin αcos α-2cos2α sin2α+cos2α tan2α+tan α-2 4 = . 5 tan2α+1

(2)∵sin α=2sin β,tan α=3tan β, ∴sin2α=4sin2β,① tan2α=9tan2β,② 由①÷ ②得:9cos2α=4cos2β,③ ①+③得:sin2α+9cos2α=4, 3 6 ∵cos2α+sin2α=1,∴cos2α= ,即 cos α=± . 8 4 题型二 三角函数的诱导公式的应用 例2 π 5π 3 (1)已知 cos?6+α?= ,求 cos? 6 -α?的值; ? ? 3 ? ? 7 3 (2)已知 π<α<2π,cos(α-7π)=- ,求 sin(3π+α)· ?α-2π?的值. tan? ? 5 π π 5π 思维启迪:(1)将 +α 看作一个整体,观察 +α 与 -α 的关系. 6 6 6 (2)先化简已知,求出 cos α 的值,然后化简结论并代入求值. 解 ∴ π 5π (1)∵?6+α?+? 6 -α?=π, ? ? ? ? π 5π -α=π-?6+α?. ? ? 6

5π π ∴cos? 6 -α?=cos?π-?6+α?? ? ? ? ? ?? π 3 =-cos?6+α?=- , ? ? 3 5π 3 即 cos? 6 -α?=- . ? ? 3 (2)∵cos(α-7π)=cos(7π-α) 3 =cos(π-α)=-cos α=- , 5 3 ∴cos α= . 5

7 ∴sin(3π+α)· ?α-2π? tan? ? 7 ? =sin(π+α)·-tan?2π-α?? ? ? ?? π =sin α· ?2-α? tan? ? π sin?2-α? ? ? =sin α· π cos?2-α? ? ? cos α 3 =sin α· =cos α= . sin α 5 探究提高 熟练运用诱导公式和基本关系式, 并确定相应三角函数值的符号是解题的关 键.另外,切化弦是常用的规律技巧. 3π tan?π+α?cos?2π+α?sin?α- 2 ? ? ? (1)化简: ; cos?-α-3π?sin?-3π-α? sin?π-x?cos?2π-x?tan?-x+π? 31π (2)已知 f(x)= ,求 f?- 3 ?的值. ? ? π cos?-2+x? ? ? π tan αcos αsin?-2π+?α+2?? ? ? ?? 解 (1)原式= cos?3π+α?[-sin?3π+α?] π tan αcos αsin?2+α? ? ? ?-cos α?sin α tan αcos αcos α = ?-cos α?sin α



tan αcos α sin α cos α =- =- · =-1. sin α cos α sin α sin x· x· cos ?-tan x? (2)∵f(x)= sin x =-cos x· x=-sin x, tan 31π 31π 31π ∴f?- 3 ?=-sin?- 3 ?=sin ? ? ? ? 3 π π 3 =sin?10π+3?=sin = . ? ? 3 2 题型三 三角函数式的化简与求值 例3 1 1 (1)已知 tan α= ,求 的值; 3 2sin αcos α+cos2α 3π tan?π-α?cos?2π-α?sin?-α+ 2 ? ? ? (2)化简: . cos?-α-π?sin?-π-α? 思维启迪:三角函数式的化简与求值,都是按照从繁到简的形式进行转化,要认真观察

式子的规律,使用恰当的公式. 解 1 (1)因为 tan α= , 3

sin2α+cos2α 1 所以 2 = 2sin αcos α+cos α 2sin αcos α+cos2α = tan2α+1 2 = . 2tan α+1 3

π -tan α· cos?-α?· ?-α-2? sin? ? (2)原式= cos?π-α?· sin?π-α? π sin α cos tan α· α· ?α+2? cos α· α cos sin? ? = = =-1. -cos α· α sin -sin α 探究提高 在三角变换中,要注意寻找式子中的角,函数式子的特点和联系,可以切化 弦,约分或抵消,减少函数种类,对式子进行化简. π 5 已知 sin?α+2?=- ,α∈(0,π), ? ? 5 π α π α cos2?4+2?-cos2?4-2? ? ? ? ? sin?π-α?+cos?3π+α?

求 解

的值.

π 5 ∵sin?α+2?=- , ? ? 5 5 2 5 ,又 α∈(0,π),∴sin α= . 5 5

∴cos α=-

π α π α cos2?4+2?-cos2?4-2? ? ? ? ? sin?π-α?+cos?3π+α? π α π α cos2?4+2?-sin2?4+2? ? ? ? ? sin α-cos α -sin α 2 = =- . 3 sin α-cos α sin α-cos α π cos?2+α? ? ?





分类讨论思想在三角函数化简中的应用

典例:(12 分)化简:sin? 审题视角

4n-1 4n+1 ? π-α?+cos? ? 4 ? ? 4 π-α? (n∈Z).

(1)角中含有变量 n,因而需对 n 的奇偶分类讨论.

(2)利用诱导公式,需将角写成符合公式的某种形式,这就需要将角中的某一部分作为 一个整体来看.

规范解答 解 当 n 为偶数时,设 n=2k (k∈Z),则[1 分] 原式=sin? 8k-1 8k+1 ? π-α?+cos? ? 4 ? ? 4 π-α?

π π =sin?2kπ+?-4-α??+cos?2kπ+?4-α?? ? ? ?? ? ? ?? π π =sin?-4-α?+cos?4-α? ? ? ? ? π π π =-sin?4+α?+cos?2-?4+α?? ? ? ? ?

?

?

π π =-sin?4+α?+sin?4+α?=0.[5 分] ? ? ? ? 当 n 为奇数时,设 n=2k+1 (k∈Z),则[6 分] 原式=sin? 8k+3 ? ?8k+5 ? ? 4 π-α?+cos? 4 π-α?

3π 5π =sin?2kπ+? 4 -α??+cos?2kπ+? 4 -α?? ? ? ?? ? ? ?? 3π 5π =sin? 4 -α?+cos? 4 -α? ? ? ? ? π π =sin?π-?4+α??+cos?π+?4-α?? ? ? ?? ? ? ?? π π =sin?4+α?-cos?4-α? ? ? ? ? π π π =sin?4+α?-cos?2-?4+α?? ? ? ? ?

?

?

π π =sin?4+α?-sin?4+α?=0.[10 分] ? ? ? ? 故 sin? 4n-1 4n+1 ? π-α?+cos? ? 4 ? ? 4 π-α?=0.[12 分] (1)本题的化简过程,突出体现了分类讨论的思想,当然除了运用分类讨论

温馨提醒

的思想将 n 分两类情况来讨论外,在解答过程中还处处体现了化归思想和整体思想. (2)在转化过程中,缺乏整体意识,是出错的主要原因.

方法与技巧 同角三角恒等变形是三角恒等变形的基础,主要是变名、变式. 1. 同角关系及诱导公式要注意象限角对三角函数符号的影响, 尤其是利用平方关系在求三 角函数值时,进行开方时要根据角的象限或范围,判断符号后,正确取舍. 2. 三角求值、化简是三角函数的基础,在求值与化简时,常用方法有:(1)弦切互化法:

sin x 主要利用公式 tan x= 化成正弦、余弦函数;(2)和积转换法:如利用(sin θ± cos θ)2 cos x =1± 2sin θcos θ 的关系进行变形、转化;(3)巧用“1”的变换:1=sin2θ+cos2θ=cos2θ(1 1 π +tan2θ)=sin2θ?1+tan2θ?=tan =?. ? ? 4 失误与防范 1. 利用诱导公式进行化简求值时,先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数,其步 骤:去负—脱周—化锐. 特别注意函数名称和符号的确定. 2. 在利用同角三角函数的平方关系时,若开方,要特别注意判断符号. 3. 注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化.

A 组 专项基础训练

(时间:35 分钟,满分:57 分)

一、选择题(每小题 5 分,共 20 分) π 1.已知 α 和 β 的终边关于直线 y=x 对称,且 β=- ,则 sin α 等于 3 A.- 3 2 B. 3 2 1 C.- 2 1 D. 2 ( )

答案 D π π 解析 因为 α 和 β 的终边关于直线 y=x 对称,所以 α+β=2kπ+ (k∈Z).又 β=- , 2 3 5π 1 所以 α=2kπ+ (k∈Z),即得 sin α= . 6 2 2. cos(-2 013π)的值为 1 A. 2 答案 B 解析 cos(-2 013π)=cos(-2 014π+π)=cos π=-1. sin?π-α?· cos?2π-α? 25π 3. 已知 f(α)= ,则 f?- 3 ?的值为 ? ? cos?-π-α?· tan?π-α? 1 A. 2 答案 A 1 B.- 2 C. 3 2 D.- 3 2 ( ) B.-1 C.- 3 2 D.0 ( )

sin αcos α 解析 ∵f(α)= =cos α, -cos α· ?-tan α? 25π 25π ∴f?- 3 ?=cos?- 3 ? ? ? ? ? π π 1 =cos?8π+3?=cos = . ? ? 3 2 π cos2x 4. 当 0<x< 时,函数 f(x)= 的最小值是 4 cos xsin x-sin2x 1 A. 4 答案 D π 解析 当 0<x< 时,0<tan x<1, 4 f(x)= cos2x 1 = , cos xsin x-sin2x tan x-tan2x 1 B. 2 C.2 D.4 ( )

1 1 设 t=tan x,则 0<t<1,y= ≥4. 2= t-t t?1-t? 1 当且仅当 t=1-t,即 t= 时等号成立. 2 二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) 3π 1 5. 如果 sin α= ,且 α 为第二象限角,则 sin? 2 +α?=________. ? ? 5 答案 2 6 5

1 解析 ∵sin α= ,且 α 为第二象限角, 5 ∴cos α=- 1-sin2α=- 3π 2 6 ∴sin? 2 +α?=-cos α= . ? ? 5 π 1 6. 已知 sin?α+12?= ,则 ? ? 3 7π cos?α+12?的值为________. ? ? 1 答案 - 3 π 7π π 解析 cos?α+12?=cos??α+12?+2? ? ? ? ? 1 2 6 1- =- , 25 5

?

?

π 1 =-sin?α+12?=- . ? ? 3

3π sin?α+ 2 ?· ? ? tan?α+π? 7. =________. sin?π-α? 答案 -1 cos α· α tan sin α 解析 原式=- =- =-1. sin α sin α 三、解答题(共 22 分) 8. (10 分)已知 sin θ+cos θ= 解 2 (0<θ<π),求 tan θ 的值. 3

7 将已知等式两边平方,得 sin θcos θ=- , 18

π ∴ <θ<π, 2 4 ∴sin θ-cos θ= ?sin θ-cos θ?2= 1-2sin θcos θ= . 3

?sin θ+cos θ= 32, 解方程组? 4 ?sin θ-cos θ=3,
sin θ -9-4 2 ∴tan θ= = . cos θ 7

?sin θ= ? 得? ? ?cos θ=

2+4 , 6 2-4 , 6

cos?π+θ? cos?θ-2π? 1 9. (12 分)已知 sin(3π+θ)= ,求 + 的 3 3π? 3π cos θ[cos?π-θ?-1] sin?θ- 2 ?cos?θ-π?-sin? 2 +θ? ? ? ? 值. 解 1 1 ∵sin(3π+θ)=-sin θ= ,∴sin θ=- , 3 3

-cos θ ∴原式= cos θ?-cos θ-1? + cos?2π-θ? 3π ? -sin? 2 -θ?cos?π-θ?+cos θ ? 1 cos θ 1 1 + = + 1+cos θ -cos2θ+cos θ 1+cos θ 1-cos θ 2 2 2 =18. 2 = 2 = 1-cos θ sin θ ? 1?2 - ? 3?

= =

B 组 专项能力提升

(时间:25 分钟,满分:43 分)

一、选择题(每小题 5 分,共 15 分) π 2π 1 1. 若 sin?6-α?= ,则 cos? 3 +2α?等于 ? ? 3 ? ? 7 A.- 9 答案 A π π π 解析 ∵?3+α?+?6-α?= , ? ? ? ? 2 π π π ∴sin?6-α?=sin?2-?3+α?? ? ? ? ? 1 B.- 3 1 C. 3 7 D. 9 ( )

?

?

π 1 =cos?3+α?= . ? ? 3 2π π 7 则 cos? 3 +2α?=2cos2?3+α?-1=- . ? ? ? ? 9 1+sin α 1 cos α 2. 已知 =- ,则 的值是 cos α 2 sin α-1 1 A. 2 答案 A 解析 由同角三角函数关系式 1-sin2α=cos2α 及题意可得 cos α≠0 且 1-sin α≠0, ∴ 即 1+sin α cos α cos α 1 = ,∴ =- , cos α 2 1-sin α 1-sin α cos α 1 = . sin α-1 2 ( 1 C.- 2 D.-2 ) 1 B.- 2 C.2 D.-2 ( )

3. 若 cos α+2sin α=- 5,则 tan α 等于 1 A. 2 答案 B B.2

解析 由 cos α+2sin α=- 5可知, α≠0, cos 两边同时除以 cos α 得 1+2tan α= 5 平方得(1+2tan α)2= 2 =5(1+tan2α), cos α ∴tan2α-4tan α+4=0,解得 tan α=2. 二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) π 1 4. 若 sin(π+α)=- ,α∈?2,π?,则 cos α=________. ? ? 2 答案 - 3 2

- 5 , cos α

1 解析 ∵sin(π+α)=-sin α,∴sin α= . 2 π 3 又 α∈?2,π?,∴cos α=- 1-sin2α=- . ? ? 2 5. 已知 tan θ=2,则 sin2θ+sin θcos θ-2cos2θ=________. 答案 解析 4 5 sin2θ+sin θcos θ-2cos2θ

sin2θ+sin θcos θ-2cos2θ = 1 = = = sin2θ+sin θcos θ-2cos2θ sin2θ+cos2θ tan2θ+tan θ-2 tan2θ+1 4+2-2 4 = . 5 4+1

π 5π 2π 6. 已知 cos?6-θ?=a (|a|≤1),则 cos? 6 +θ?+sin? 3 -θ?的值是________. ? ? ? ? ? ? 答案 0 5π π 解析 cos? 6 +θ?=cos?π-?6-θ?? ? ? ? ? ?? π =-cos?6-θ?=-a. ? ? 2π π π π sin? 3 -θ?=sin?2+?6-θ??=cos?6-θ?=a, ? ? ? ? ? ?

?

?

5π 2π ∴cos? 6 +θ?+sin? 3 -θ?=0. ? ? ? ? 三、解答题 7. (13 分)已知 A、B、C 是三角形的内角, 3sin A,-cos A 是方程 x2-x+2a=0 的两根. (1)求角 A. (2)若 解 1+2sin Bcos B =-3,求 tan B. cos2B-sin2B

(1)由已知可得, 3sin A-cos A=1①

又 sin2A+cos2A=1, ∴sin2A+( 3sin A-1)2=1, 即 4sin2A-2 3sin A=0, 得 sin A=0(舍去)或 sin A= 3 π 2π ,∴A= 或 , 2 3 3

π 2π 2 π 将 A= 或 代入①知 A= π 时不成立,∴A= . 3 3 3 3 (2)由 1+2sin Bcos B =-3, cos2B-sin2B

得 sin2B-sin Bcos B-2cos2B=0, ∵cos B≠0,∴tan2B-tan B-2=0, ∴tan B=2 或 tan B=-1. ∵tan B=-1 使 cos2B-sin2B=0,舍去, 故 tan B=2.


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