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定积分与微积分基本定理(理)


第 二 章

第 十 四 节 定 积 分 与 微 积 分 基 本 定 理 [ 理]

抓 基 础
明 考 向
教 你 一 招

函 数、 导 数 及 其 应 用

提 能 力
我 来 演 练

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[备考方向要明了] 考 什 么

1.了解定积分的实际背景,了解定积分的基本思想,
了解定积分的概念. 2.了解微积分基本定理的含义.

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怎 么 考 本部分主要有两种题型,一是定积分的计算,二是用 定积分求平面图形的面积.高考中,多以选择题或填空题 的形式考查定积分的概念和计算以及曲边梯形面积的求法,

难度较小.

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一、定积分的性质 1.? kf(x)dx= k ?
? ?b

?b ? ? ?

a

a

f(x)dx(k为常数) ;
?b ? ? ?a

2. [f(x)± g(x)]dx=
3.
?b ? ? ?a

?b ? ? ?a

f(x)dx± g(x)dx
?b ? ? ?c

?b ? ? ?a



f(x)dx=

?c ? ? ?a

f(x)dx+

f(x)dx

(其中 a<c<b).

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二、定积分的几何意义 1.当函数f(x)在区间[a,b]上恒为正时,定积分
?b ? ? ?a

f(x)dx的

几何意义是由直线x=a,x=b(a≠b),y=0和曲线y=f(x) 所围成的曲边梯形的面积(图(1)中阴影部分).

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b 2.一般情况下,定积分 ∫ a f(x)dx的几何意义是介于x轴、曲

线f(x)以及直线x=a、x=b之间的曲边梯形面积的代数和 (图(2)中阴影所示),其中在x轴上方的面积等于该区间上的 积分值,在x轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数.

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3.微积分基本定理 一般地,如果f(x)是在区间[a,b]上的连续函数,且F′(x) =f(x).那么
?b ? ? ?a

f(x)dx=

F(b)-F(a) .这个结论叫做微积

分基本定理,又叫做牛顿—莱布尼兹公式. 其中F(x)叫做f(x)的一个原函数.
b F(x)|a ,即 为了方便,常把F(b)-F(a)记作
?b ? ? ?a

b f(x)dx=F(x)|a=F(b)-F(a).

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三、定积分的应用 1.平面图形的面积:

一般地,设由曲线y=f(x),y=g(x)以及直线x=a,x=b
所围成的平面图形的面积为S,则 ∫bf(x)dx-∫bg(x)dx (f(x)>g(x)). a S= a 2.简单几何体的体积 若几何体由曲线y=f(x)与x轴所围成的区域绕x轴旋转一
∫bπ[f(x)]2dx. 周得到,则其体积为V= a

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1.计算∫1x2dx= 0 1 A.4 1 C.2 1 B.3 D.1

(

)

1 1 1 1 1 ∫1x2dx= x3|0= ×1- ×0= . 解析: 0 3 3 3 3

答案:B

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2.求曲线y=x2与y=x所围成图形的面积,其中正确的是
1 A.S=∫0(x2-x)dx 1 C.S=∫0(y2-y)dy

(

)

B.S=∫1(x-x2)dx 0
1 D.S=∫0(y- y)dy

答案:B

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3.(2011· 福建高考)∫1(ex+2x)dx等于 0 A.1 C.e B.e-1 D.e+1

(

)

1 解析:∫1(ex+2x)dx=(ex+x2)| 0=(e1+1)-e0=e. 0

答案: C

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4.(教材习题改编)已知函数f(x)=x2-2x-3,则∫1 1f(x)dx - =________.
1 解析:∫1 1f(x)dx=∫-1(x2-2x-3)dx -

?1 3 ? 1 16 2 =?3x -x -3x?| -1=- 3 . ? ?

16 答案:- 3

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5.如果∫1f(x)dx=1,∫2f(x)dx=-1,则∫2f(x)dx=________. 0 0 1
2 解析:∵∫0f(x)dx=∫1f(x)dx+∫2f(x)dx, 0 1 1 ∴∫2f(x)dx=∫2f(x)dx-∫0f(x)dx=-1-1=-2. 1 0

答案: -2

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利用微积分基本定理(即牛顿—莱布尼兹公式)求定积 分,关键是找到满足F′(x)=f(x)的函数F(x),即找被积函数

f(x)的原函数F(x),利用求导运算与求原函数运算互为逆运
算的关系,运用基本初等函数求导公式和导数四则运算法 则从反方向上求出F(x).

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[精析考题]
[例1]
?lg x, x>0, ? (2011· 陕西高考)设f(x)=? a ?x+∫03t2dt,x≤0, ?

若f(f(1))=1,则a=________.

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[自主解答] 得a=1.

显然f(1)=lg 1=0,f(0)=0+∫a3t2dt=t3| a=1, 0 0

[答案] 1

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[例 2]

?x2,x∈[0,1], ? (2012· 西安模拟)设 f(x)=?1 ?x,x∈?1,e], ?

(e 为自然对数的底数),则∫e f(x)dx 的值为________. 0
[自主解答] 1 ∫e f(x)dx=∫1x2dx+∫e dx 0 0 1 x

1 31 1 4 | 0+ln x| e = +lne= . =3x 1 3 3
4 [答案] 3

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?ex,x∈[0,1] ? 本例中f(x)改为f(x)=?1 再求∫e f(x)dx的值. 0 ,x∈?1,e]. ?x ?

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1 ∫e f(x)dx=∫1exdx+∫e dx 解: 0 0 1 x =ex| 1+ln x| e =e-1+lne-ln1=e. 0 1

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[巧练模拟]——————(课堂突破保分题,分分必保!)
1.(2012· 齐齐哈尔调研)计算∫π(sin x-cos x)dx=________. 0

解析:∫π(sin x-cos x)dx=∫πsin xdx-∫πcos xdx 0 0 0 =(-cos x)| π-sin x| π=2. 0 0

答案:2

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2 2.(2012· 石家庄模拟)∫0|1-x|dx=________.

解析:若1-x≥0,则x≤1, 若1-x<0,则x>1,于是
2 ∫2|1-x|dx=∫1(1-x)dx+∫1(x-1)dx 0 0

? ? 2 1 2 ? 1 ?1 2 =?x-2x ?| 0+?2x -x?| 1=1. ? ? ? ?

答案: 1

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[冲关锦囊]
计算一些简单的定积分,解题的步骤是:①把被积函 数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数 的积的和或差;②把定积分用定积分性质变形为求被积函 数为上述函数的定积分;③分别用求导公式找到一个相应

的原函数;④利用牛顿—莱布尼兹公式求出各个定积分的
值;⑤计算原始定积分的值.

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[精析考题] [例3] (2011· 新课标全国卷)由曲线y= x,直线y=x-2及y轴所围 ( B.4 D.6 )

成的图形的面积为 10 A. 3 16 C. 3

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[自主解答]

由y= x及y=x-2可得,x=4,所以由y= x及

y=x-2及y轴所围成的封闭图形面积为 ∫4( 0
?2 3 ? 16 1 2 4 2 ? x - x +2x?| 0= . x-x+2)dx= 3 2 ?3 ?

[答案] C

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[巧练模拟]———————(课堂突破保分题,分分必保!)
1 3.(2012· 威海模拟)曲线y=sin x(0≤x≤π)与直线y=2围成的封 闭图形的面积是 A. 3 π C.2-3 B.2- 3 π D. 3-3 ( )

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1 π 5π 解析:由sin x=2与0≤x≤π得x=6或 6 , 1 所以曲线y=sin x(0≤x≤π)与直线y=2围成的封闭图形的面积
5?
5?

是S= ?

6

?
6

1 ?5π π? π 6 sin xdx-2×? 6 -6?=-cos x -3 ? ? ?
6

π? π 5π ? =-cos 6 -?-cos6?-3 ? ? π = 3-3.

答案:D 返回

1 4.(2012· 合肥模拟)计算∫0 1-x2dx=________.

解析:令y= 1-x2, 则y2=1-x2(y≥0), ∴x2+y2=1(y≥0), 其图形为在x轴上方的半圆,如图, 则∫1 1-x2dx的值为阴影部分的面积, 0 1 π 2 所以所求值为4×π×1 =4. π 答案:4

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[冲关锦囊] 利用定积分求曲边梯形面积的步骤

(1)画出曲线的草图.
(2)借助图形,确定被积函数,求出交点坐标,确定积分的 上、下限. (3)将“曲边梯形”的面积表示成若干个定积分的和或差. (4)计算定积分,写出答案.

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[精析考题] [例4] (2011· 广州模拟)物体A以v=3t2+1(m/s)的速度在 一直线l上运动,物体B在直线l上,且在物体A的正前方5

m处,同时以v=10t(m/s)的速度与A同向运动,出发后物
体A追上物体B所用的时间t(s)为 A.3 C.5 B.4 D.6 返回 ( )

[自主解答]

因为物体A在t秒内行驶的路程为∫t0(3t2+1)dt,物

体B在t秒内行驶的路程为∫t010tdt,所以∫t0(3t2+1-10t)dt= (t3+t-5t2)| t0=t3+t-5t2=5?(t-5)(t2+1)=0,即t=5.

[答案] C

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[巧练模拟]—————(课堂突破保分题,分分必保!) 5.(2011· 唐山一模)设变力F(x)作用在质点M上,使M沿 x轴正向从x=1运动到x=10,已知F(x)=x2+1且方

向和x轴正向相同,则变力F(x)对质点M所做的功为
________ J(x的单位:m,力的单位:N).

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解析:变力F(x)=x2+1使质点M沿x轴正向从x=1运动到 x=10所做的功为 W=∫10F(x)dx=∫10(x2+1)dx 1 1
?1 3 ? 10 =?3x +x? |1 =342(J). ? ?

答案:342

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[冲关锦囊] 利用定积分解决变速直线运动问题和变力做功问题时, 关键是求出物体做变速直线运动的速度函数和变力与位移 之间的函数关系,确定好积分区间,得到积分表达式,再

利用微积分基本定理计算即得所求.

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易错矫正

因定积分计算问题致误

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[考题范例] π π (2011· 湖南高考)由直线x=-3,x=3,y=0与曲线y=cos 成的封闭图形的面积为 1 A.2 B.1 3 C. 2 D. 3 x所围 ( )

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[失误展板]
?

错解:因

?

3 ?

?
3

cos xdx=-sin x 3 =- 3.
?

?

?
3

错因:原函数sin x和被积函数cos x位置颠倒致误.

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[正确解答] 结合函数图像可得所求的面积是定积分
?
?
3 ?

cos xdx
?
3

?

=sin x

3 ?

= 3.
?
3

答案:D

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