9512.net
甜梦文库
当前位置:首页 >> 数学 >>

3.1.1 方程的根与函数的零点 课件(人教A版必修1)



第三章 函数的应用
3.1 函数与方程 3.1.1 方程的根与函数的零点

我国古代数学家已比较系统地解决了部分方程的

求解的问题.如约公元50~100年编成的《九章算术》,
就给出了求一次方程、二次方程和三次方程根的具体

方法??

11世纪,北宋数学家贾宪给出了三次及三次
以上的方程的解法。

13世纪,南宋数学家秦九韶给出了求任意次
代数方程的正根的解法

今天我们来学习方程的根与函数的零点!

1.理解函数零点的概念,了解函数零点与方程根的

关系.(难点)
2.掌握函数零点的判断方法并会判断函数零点的个

数.(易错点)
3.会求函数的零点.(重点)

探究:下列一元二次方程的根与相应的二次函数的图 象有何关系? (1)方程x2-2x-3=0与函数y=x2-2x-3 (2)方程x2-2x+1=0与函数y=x2-2x+1 (3)方程x2-2x+3=0与函数y=x2-2x+3

方程 函数

x2-2x-3=0 y=x2-2x-3
y

x2-2x+1=0 y=x2-2x+1
y

x2-2x+3=0 y=x2-2x+3
y
5 . 4 . . 3 . . 2 1
-1

函 数 的 图 象
方程的实 数根

.2
1
-1

.
-1 -2

.
2

.

0 .

1

2

.3

x
-1

1

.

-3 -4

O

. 1 2

.
x

.

O

1

2

3

x

x1=-1,x2=3

x1=x2=1
(1,0)

无实数根 无交点

函数的图象 (-1,0)、(3,0) 与x轴的交点

判别式Δ = b2-4ac 方程ax2+bx+c

Δ >0

Δ =0

Δ <0 没有实数根
y

两个不相等 有两个相等的 的实数根x1、 实数根x =x 1 2 =0(a>0)的根

x2

y

y

函数y=ax?+bx +c(a>0)的图 象

x1

0

x2

x

0

x1

x

0

x

函数的图象 与x轴的交点 (x1,0),(x2,0)

(x1,0)

没有交点

一 一般地,方程 f(x)=0 的实数根,也就是其对 般 结 应函数y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标. 论 即方程f(x)=0有实数根 ?函数y=f(x)的图象与x轴有交点

函数零点的定义:
对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x 叫做函数y=f(x)的零点. 注意: 零点指的是一个实数 零点不是 一个点

结 论
方程 f ( x) ? 0 的根是函数 y ? f ( x) 的图象与 x 轴的 交点的横坐标. 方程f(x)=0有实数根 ?函数y=f(x)的图象与x轴有交点 ?函数y=f(x)有零点

f ( x) ? 0
函数零点既是对应方程的根,又是函数图象与 x轴交点的横坐标.

零点是对于函数而言,根是对于方程而言.
由此可知,求方程f(x)=0的实数根,就是求函数 y= f(x)的零点.对于不能用公式法求根的方程 f(x)=0来说,可以将它与函数y=f(x)联系起来,

利用函数的性质找出零点,从而求出方程的根.

探究:如何求函数的零点? 例1 函数f(x)=x(x-4)的零点为( D )

A.(0,0),(2,0)
C.(4,0),(0,0), 由x(x-4)=0得x=0或x=4.

B .0
D .4 ,0

注意:函数的零点是实数,而不是点.

哪一组能说明小明的行程一定曾渡过河?

(1 )

(2 )

y
如何求函数的零点?
观察二次函数 f ( x) ? x ? 2 x ? 3 的图象,如图,我们发现函数
2

5
4 3 2 1 1 2 3 4 5x
-2 -3 -4

f ( x) ? x 2 ? 2 x ? 3 在区间? ?2,1? 上有零点.

O 计算 f (?2) 与 f (1) 的乘积,你能发现这 -2 -1-1
个乘积有什么特点?在区间? 2, 4 ? 上是 否也具有这种特点呢?

观察二次函数f(x)=x2-2x-3的图象: 在区间[-2,1]上有零点______ x= - 1 ;

f(-2)=_______ ,f(1)=_______ 5 -4 ,
< 填“<”或“>”). f(-2)·f(1)___0( 在区间(2,4)上有零点______ x=3 ;

5 4 3 2 1 1 2 3 4 5x

y

f(2)·f(4)____0 < (填“<”或
“>”).

-2 -1 O -1 -2 -3 -4

思考:观察图象填空,在怎样的条件下, 函数 y ? f ( x) 在区间 ? a , d ? 上存在零点?
y

a O b

c d x

①在区间(a,b)上,f(a)·f(b)____0(填“<”或 <
“>”).在区间(a,b)上,______( 填“有”或“无”)零 有

点;②在区间(b,c)上,f(b)·f(c) ___0(填“<”或 <
“>”).在区间(b,c)上,______( 填“有”或“无”)零 有

点;③在区间(c,d)上f(c)·f(d) ___0(填“<”或 <
“>”).在区间(c,d)上,____( 有 填“有”或“无”)

零点;

【提升总结】

y

c O a

b x

如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的 一条曲线,并且有f(a)·f(b)<0,那么,函数y=f(x) 在区间(a,b)内有零点,即存在c∈(a,b),使得 f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的根。

例2

判断正误,若不正确,请使用函数图象举出反例

(1)已知函数y=f(x)在区间[a,b]上连续,且
f(a)·f(b)<0,则f(x)在区间(a,b)内有且仅有一个 零点.( ) ) (2)已知函数y=f(x)在区间[a,b]上连续,且 f(a)·f(b)≥0,则f(x)在区间(a,b)内没有零点.( 则f(x)在区间(a,b)内存在零点.( )

(3)已知函数y=f(x)在区间[a,b]上满足f(a)·f(b) <0,

解:(1)已知函数y=f (x)在区间[a,b]上连续,且 f(a)·f(b)< 0,则f(x)在区间(a,b)内有且仅有一个 零点. y ( ) 如图,
a O b x

函数y=f(x)在区间(a,b)上有3个零点,故“在区间

(a,b) 内有且仅有一个零点”的说法是错误的.

(2)已知函数y=f(x)在区间[a,b]上连续,且 f(a)·f(b) ≥0,则f(x)在区间(a,b)内没有零点. ( )
y

如图,
O a b x

可知,函数y=f(x)在区间[a,b]上连续,且f(a)·
f(b)≥0,但f(x)在区间(a,b)内有零点.故论断不正确。

(3)已知函数y=f(x)在区间[a,b]上满足f(a)·f(b)<0, 则f(x)在区间(a,b)内存在零点.( ) 如图,
O y

a
b x

虽然函数y=f(x)在区间[a,b]上满足f(a)·f(b)< 0, 但是图象不是连续的曲线,则f(x)在区间(a,b)内 不存在零点.

【变式练习】
若函数y=5x2-7x-1在区间[a,b]上的图象 是连续不断的曲线,且函数y=5x2-7x-1在(a, b)内有零点,则f(a)·f(b)的值( C ) A.大于0 C.无法判断 B.小于0 D.等于0

例3.求函数f(x)=lnx+2x-6的零点的个数.
解: 方法一 用计算器或计算机作出x、f(x)的对应值表和图象;
x f(x) 1
-4

2
-1.306 9

3
1.098 6

4
3.386 3

5
5.609 4

6
7.791 8

7
9.945 9

8

9

12.079 4 14.197 2

由表可知f(2)<0,f(3)>0, 从而f(2)·f(3)<0,∴函数 f(x)在区间(2,3)内有零点. 由于函数f(x)在定义域 (0,+∞)内是增函数,所
10 8 6 4 2

y

f(x)=lnx+2x-6

以它仅有一个零点.

O 123456 -2 -4

x

方法二: 即求方程lnx+2x-6=0的根的个数,即求lnx=6-2x的根的 个数,即判断函数y=lnx与函数y=6-2x的交点个数 如图可知,只有一个 交点,即方程只有一 根,函数f(x)只有一 个零点.
O 1234
y=-2x+6

y 6

y=lnx
x

【提升总结】 如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连 续不断的一条曲线,并且有f(a)·f(b)<0,那么, 函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点.

【变式练习】 求方程2-x =x的根的个数,并确定根所在的区间[n, n+1](n∈Z).
1 x ? x的根的个数,即求方程 x ? ( ) 2
y
1 y ? ( )x 2

解:求方程 2

?x

的根的个数,即判断函数

y?x

1 x 与 y?( ) 2

y=x
1 O x

的图象交点个数.由图可 知只有一个解.

1234

1 x 令 f ( x) ? x ? ( ) 2
估算f(x)在各整数处的取值的正负:
x f(x) 0 1 2 3



+





由上表可知,方程的根所在区间为 ? 0,1?.

1 1.函数f ( x ) ? x ? 零点的个数是 ( C) x

A. 0

B. 1

C. 2

D.无数个

2.若函数f ( x ) ? 2ax 2 ? x ? 1在(0,1)内恰有一个零点, 则a的取值范围是 ( B)

A.a ? ?1

B.a ? 1

C. ? 1 ? a ? 1

D.0 ? a ? 1

3.函数f(x)=x3+x-1在下列哪个区间内有零点( B ) A.(-2,-1) C.(1,2) B.(0,1) D.(2,3)

4.函数f(x)=2x+3x的零点所在的一个区间是( B ) A.(-2,-1) B.(-1,0)

C.(0,1)

D.(1,2)

【解析】∵f(x)=2x+3x,∴f(-1)=-

5 <0, 2

f(0)=1>0.?

方程有实数根

? 函数的图象与

x 轴有交点 ?

函数

有零点.
? f ( x)连续, 则函数 f ( x) 在 ? a, b ?内存在零点 ? ? f (a) ? f (b) ? 0,
? f ( x)连续, ? ? f (a) ? f (b) ? 0 ,则函数 f ( x) 在 ? a, b ?内存在唯一零点 ? f ( x)单调, ?

零点的求法

代数法、图象法

如果你不知道你要到哪儿去,那通常你哪
儿也去不了。



更多相关文章:
3.1.1方程的根与函数的零点 教学设计(人教A版必修1)_图文
搜试试 2 悬赏文档 全部 DOC PPT TXT PDF XLS 广告 百度文库 教育专区 ...3.1.1方程的根与函数的零点 教学设计(人教A版必修1)_数学_高中教育_教育专区...
3.1.1 方程的根与函数的零点 教案(人教A版必修1)
搜试试 2 悬赏文档 全部 DOC PPT TXT PDF XLS 广告 百度文库 教育专区 ...3.1.1 方程的根与函数的零点 教案(人教A版必修1)_数学_高中教育_教育专区。...
高中数学 3.1.1方程的根与函数的零点(1)精讲精析 新人...
搜试试 7 帮助 全部 DOC PPT TXT PDF XLS 百度文库 教育专区 高中教育 数学...高中数学 3.1.1方程的根与函数的零点(1)精讲精析 新人教A版必修1_数学_...
...2017学年新人教A版必修1高中数学 3.1.1方程的根与函数的零点...
2016-2017学年新人教A版必修1高中数学 3.1.1方程的根与函数的零点》教案(...在教学手段上, 我是采用多媒体课件, 多媒体投影仪相结合, 它既便于学生直观,...
...学年人教A版必修一 3.1.1方程的根与函数的零点 学案...
2017-2018学年人教A版必修一 3.1.1方程的根与函数的零点 学案_数学_高中教育_教育专区。3.1.1 方程的根与函数的零点 教学目标分析: 知识目标:结合二次函数的...
...3.1.1 方程的根与函数的零点课后反思1(精品)
最新人教A版必修1高中数学 3.1.1 方程的根与函数的零点课后反思1(精品)_高一数学_数学_高中教育_教育专区。3.1.1 方程的根与函数的零点课后反思 【课后反思】 ...
高中数学 3.1.1 方程的根与函数的零点教案 新人教A版必修1
搜试试 3 悬赏文档 全部 DOC PPT TXT PDF XLS 广告 百度文库 教育专区 ...高中数学 3.1.1 方程的根与函数的零点教案 新人教A版必修1_其它课程_小学教育...
...3.1.1 方程的根与函数的零点效果分析(精品)
最新人教A版必修1高中数学 3.1.1 方程的根与函数的零点效果分析(精品)_高一数学_数学_高中教育_教育专区。3.1.1 方程的根与函数的零点效果分析 【效果分析】 ...
人教A版数学必修一教案:§3.1.1方程的根与函数的零点
人教A版数学必修一教案:§3.1.1方程的根与函数的零点_数学_高中教育_教育专区...因此,教师要积极开发多媒体教学课件,提高课堂教学效率. 4.教材安排了“阅读与...
高中数学 3.1.1 方程的根与函数的零点效果分析 新人教A...
搜试试 7 悬赏文档 全部 DOC PPT TXT PDF XLS 广告 百度文库 教育专区 ...高中数学 3.1.1 方程的根与函数的零点效果分析 新人教A版必修1_数学_高中教育...
更多相关标签:

All rights reserved Powered by 甜梦文库 9512.net

copyright ©right 2010-2021。
甜梦文库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com|网站地图