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山东省实验中学2013届高三第三次诊断性测试 (文科数学)解析



山东省实验中学 2010 级第三次诊断性测试 数学文科试题(2012.12)
注意事项:本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题) ,共两卷。其中第Ⅰ卷为第 1 页至第 2 页,共 60 分;第Ⅱ卷为第 3 页至第 6 页,共 90 分;两卷合计 150 分。考试时间为 120 分钟。本科考试不允许使用计算器。

第Ⅰ卷(选择题
符合题

目要求的一项。

共 60 分)

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题列出的四个选项中,选出

“ ”“ 1、设 M ? {1,2} N ? {a 2} ,则 a ? 1 是 N ? M ” 的( ,
A.充分不必要条件 件 【答案】A B.必要不充分条件

) D.既不充分又不必要条

C.充要条件

“ ” “ 【解析】若 N ? M ” ,则有 a ? 1 或 a ? 2 ,解得 a ? ?1 或 a ? ? 2 ,所以 a ? 1 是
2 2

“N ? M ” 充分不必要条件,选 A.
2、下列函数中,在其定义域中,既是奇函数又是减函数的是( ) D. f ( x) ? ? tan x

1 A. f ( x) ? x
【答案】C 【 解 析 】 f ( x) ?

B. f ( x) ?

?x

C. f ( x) ? 2? x ? 2 x

1 在 定 义 域 上 是 奇 函 数 , 但 不 单 调 。 f ( x) ? ? x 为 非 奇 非 偶 函 数 。 x

f ( x) ? ? t anx 在定义域上是奇函数,但不单调。所以选 C.
3.椭圆

x2 y2 ? ? 1 的焦距为 16 9
B.5 C. 7 D. 2 7

A.10 【答案】D

2 2 【解析】 由题意知 a ? 16, b ? 9 , 所以 c ? a ? b ? 7 , 所以 c ?
2 2 2

即焦距为 2c ? 2 7 , 7,

选 D. 4.函数 f ( x) ? ( x ? 1) ln x 的零点有( A.0 个 【答案】B B.1 个 ) C.2 个 D.3 个

【解析】函数的定义域为 {x x ? 0} ,由 f ( x) ? ( x ? 1) ln x ? 0得, x ? 1 ? 0 或 ln x ? 0 ,即

-1-

x ? ?1 (舍去)或 x ? 1 ,所以函数的零点只有一个,选 B.
5.已知两条直线 y ? ax ? 2 和 3x ? (a ? 2) y ? 1 ? 0 互相平行,则 a 等于( A.1 或-3 【答案】A B.-1 或 3 C.1 或 3 D.-1 或 3 )

【解析】 因为直线 y ? ax ? 2 的斜率存在且为 a , 所以 ?(a ? 2) ? 0 , 所以 3x ? (a ? 2) y ? 1 ? 0 的斜截式方程为 y ?

3 1 3 1 x? ?a且 ? ?2 ,解得 ,因为两直线平行,所以 a?2 a?2 a?2 a?2

a ? ?1 或 a ? 3 ,选 A.
6.已知各项为正的等比数列 ?an ? 中,a4 与 a14 的等比数列中项为 2 2 ,则 2a7 ? a11 的最小值 A.16 【答案】B 【 解 析 】 由 题 意 知 a4a14 ? (2 2)2 ? a92 , 即 a9 ? 2 2 。 所 以 设 公 比 为 q(q ? 0) , 所 以 B.8 C. 2 2 D.4

2a7 ? a1 1 ?

2a9 4 2 4 2 4 2 2 2 2 ? a 9 q ? 2 ?2 2 q ? 2 ?2 2q ? 8 ? 2 2q 2 2 2 ,当且仅当 q 2 , q q q
4

即 q 4 ? 2 ,所以 q ?

2 时取等号,所以最小值为 8,选 B.

7.在平面直角坐标系 xOy 中,直线 3x ? 4 y ? 5 ? 0 与圆 x2 ? y 2 ? 4 相交于 A、B 两点,则弦 AB 的长等于 A. 3 3 【答案】B 【 解 析 】 圆 心 到 直 线 的 距 离 d?
2 2 2 A B ? 4 ( R ? d) ? 4 ( ? 4

B. 2 3

C. 3

D.1

?5 32 ? 42

? 1 , 所 以 R 2 ? d 2? (

AB 2 ) ,即 2

1 ,所以2 ? 12 ? 2 3 ,选 B. ?) 1 AB

8.已知命题 p : ?x ? (??,0),2 x ? 3x ;命题 q:?x ? R, f ( x) ? x3 ? x 2 ? 6 的极大值为 6.则下 面选项中真命题是

( A. ?p) ? (?q)
【答案】B

( B. ?p) ? (?q)
2 3

C. p ? (?q)

D. p ? q

【解析】由 2 x ? 3x 得 ( ) x ? 1 ,当 x ? 0 时, ( ) x ? 1 ,所以命题 p 为假命题。 ? p 为真, 选 B.

2 3

-2-

?y ? x ? 9.设变量 x, y 满足约束条件 ? x ? 2 y ? 2 ,则 z ? x ? 3 y 的最小值为 ? x ? ?2 ?
A.-2 【答案】D B.-4 C.-6 D.-8

【解析】做出可行域如图,

由 z ? x ? 3y 得

1 z 1 z 1 z y ? x ? ,平移直线 y ? x ? ,由图象可知当直线经过点 B 时,直线 y ? x ? 的截 3 3 3 3 3 3
距最大, 此时 z 最小。 ? 由 选 D. 10.已知椭圆:

? x ? ?2 ? x ? ?2 , ? 得 , 即点 B(?2, 2) ,代入 z ? x ? 3 y 得 z ? ?8 , ?x ? 2 y ? 2 ?y ? 2

x2 y 2 ,过 ? ? 1(0 ? b ? 2) ,左右焦点分别为 F,F2 , F1 的直线 l 交椭圆于 A, 1 4 b2

B 两点,若 | BF2 | ? | AF2 | 的最大值为 5,则 b 的值是 A.1 【答案】D 【解析】由题意知 a ? 2 ,所以 |BF2 | ? | AF2 | ? AB ? 4a ? 8 因为 |BF2 | ? | AF2 | 的最大值为 5,所以 AB 的最小值为 3,当且仅当 AB ? x 轴时,取得最小值,此时 A(?c, ), B( ?c, ? ) , B. 2 C.

3 2

D. 3

3 2

3 2

代入椭圆方程得

c2 9 4 ? b2 9 2 2 2 2 4 ? 2 ? 1 , 又 c ? a ? b ? ? b, 所 以 ? 2 ?1 , 即 4 4b 4 4b

1?

b2 9 b2 9 2 ? 2 ? 1 ,所以 ? 2 ,解得 b ? 3 ,所以 b ? 3 ,选 D. 4 4b 4 4b

11.已知等差数列 ?an ? 的公差为 d 不为 0,等比数列 ?bn ? 的公比 q 是小于 1 的正有理数,若

a1 ? d , b1 ? d 2 ,且

a1 ? a2 ? a3 是正整数,则 q 的值可以是 b1 ? b2 ? b3
2 2 2

-3-

A.

1 7

B.-

1 7

C.

1 2

D. ?

1 2

【答案】C 【解析】由题意知 a2 ? a1 ? d ? 2d , a3 ? a1 ? 2d ? 3d ,b2 ? b1q ? d 2q, b3 ? b1q2 ? d 2q2 ,所
2 2 2 a12 ? a2 2 ? a32 d 2 ? 4d 2 ? 9d 2 14 a1 ? a2 ? a3 以 ,因为 是正整数,所以令 ? 2 ? b1 ? b2 ? b3 d ? d 2q ? d 2q 2 1 ? q ? q 2 b1 ? b2 ? b3

t t 14 2 2 ?0 , 解 得 , 即 q ? q ?1? ? t , t 为 正 整 数 。 所 以 q ? q ?1 ? 2 14 14 1? q ? q

?1 ? 1 ? 4(1 ? q? 2

14 14 56 ) ?1 ? 1 ? 4(1 ? ) ?1 ? ?3 ? t ? t ? t ,因为 为正整数,所以当 t 2 2

t ? 8 时, q ?

?1 ? ?3 ? 7 ?1 ? 2 1 ? ? 。符合题意,选 C. 2 2 2

12.定义方程 f ( x) ? f ' ( x) 的实数根 x0 叫做函数 f (x) 的“新驻点” ,若函数

g ( x) ? x, h( x) ? ln( x ? 1), ? ( x) ? x3 ?1 的“新驻点”分别为 ?,?,? ,则 ?,?,? 的大小
关系为 A. ? ? ? ? ? 【答案】A 【解析】 g '( x) ? 1 ,所以由 g (? ) ? g '(? ) 得 ? ? 1 。 B. ? ? ? ? ? C. ? ? ? ? ? D. ? ? ? ? ?

h '( x ) ?

1 x ? 1 ,所以由 h(? ) ? h '(? ) 得

ln( ? ? 1) ?

1 , 由 图 象 可 知 0 ? ? ?1 。 ? ?1



? '( x) ? 3x2 , 由

? ( ? )? ? ' (?得 ? 3 ?1 ? 3? 2 ,当 ? ? 0 时,不成立。所以 ? 3 ?1 ? 3? 2 ? 0 ,即 ? ? 1 ,所以 )

? ? ? ? ? ,选 A.

第Ⅱ卷(非选择题
-4-

90 分)

题号 分数



17

18

19

20

21

22

总分

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分。 13.已知角 ? 的终边上一点的坐标为 (sin 【答案】

2? 3

5? 5? , cos ) ,则角 ? 的最小正值为 6 6

.

【解析】 因为点的坐标为 ( , ? 时,得角 ? 的最小正值为 ?

1 2

? 3 , Z 所以 即 所以当 k ? 1 ) , tan ? ? ? 3 , ? ? ? ? k? k ? , 3 2
?? ? 2? 。 3
.

?
3

14.已知 f ( x) ? x 2 ? 2xf ' (1) ,则 f ' (0) ? 【答案】-4

【解析】函数的导数为 f '( x) ? 2 x ? 2 f '(1) ,所以 f '(1) ? 2 ? 2 f '(1) ,解得 f '(1) ? ?2 ,所 以 f ( x) ? x2 ? 4x ,所以 f '( x) ? 2 x ? 4 ,所以 f '(0) ? ?4 。 15.已知函数 y ? g (x) 的图象由 f ( x) ? sin 2 x 的图象向右平移 ? (0 ? ? ? ? ) 个单位得到,这

两个函数的部分图象如图所示,则 ? = 【答案】

.

? 3

【解析】 函数 f ( x) ? sin 2 x 的图象在 y 轴右侧的第一个对称轴为 2 x ?

?

2 4 3? 3? 于 x ? 对称的直线为 x ? ,由图象可知,通过向右平移之后,横坐标为 x ? 的点平 4 8 8

, 所以 x ?

?

。 关

?

? 8

17? 3? ? 17? ?? ? ? 移到 x ? ,所以 24 8 3。 12
16.已知定义在 R 的奇函数 f (x) 满足 f ( x ? 4) ? ? f ( x) , x ? [0,2] 时,f ( x) ? log2 ( x ? 1) , 且 下面四种说法① f (3) ? 1 ; ②函数 f (x) 在 [-6, 上是增函数; -2] ③函数 f (x) 关于直线 x ? 4 对称;④若 m ? (0,1) ,则关于 x 的方程 f ( x) ? m ? 0 在[-8,8]上所有根之和为-8,其中正

-5-

确的序号 【答案】①④

.

【解析】由 f ( x ? 4) ? ? f ( x) 得 f ( x ? 8) ? f ( x) ,所以函数的周期是 8.又函数为奇函数,所 以 由

f ( ? 4 ? ? f (x ? x ) )

f , 所 )以 函 数 关 于 x ? ?2 对 称 。 同 时 ? x (
, 函数也关于 x ? 2 对称, 所以③不正确。

即 f ( x ? 4) ? ? f ( x) ? ? f (4 ? x) , f (x) ?f ( ? 4 x )

又 x ? [0,2] ,函数 f ( x) ? log2 ( x ? 1) 单调递增,所以当 x ? [?2, 2] 函数递增,又函数关于直 线 x ? ?2 对 称 , 所 以 函 数 在 [ -6 , -2 ] 上 是 减 函 数 , 所 以 ② 不 正 确 。

f (?3) ? ? f (1) ? ? log2 2 ? ?1 ,所以 f (3) ? 1 ,故①正确。若 m ? (0,1) ,则关于 x 的方程
f ( x) ? m ? 0 在[-8,8]上有 4 个根,其中两个根关于 x ? 2 对称,另外两个关于 x ? ?6 对
称, 所以关于 x ? 2 对称的两根之和为 2 ? 2 ? 4 , 关于 x ? ?6 对称的两根之和为 ?6 ? 2 ? ?12 , 所以所有根之后为 ?12 ? 4 ? ?8 ,所以④正确。所以正确的序号为①④。 三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分。解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程。 得分 评卷人 17.(本小题满分 12 分)记 f ( x) ? ax2 ? bx ? c ,若不等式 f ( x) ? 0 的解 集为(1,3) ,试解关于 t 的不等式 f (| t | ?8) ? f (2 ? t 2 ) .

得分

评卷人

18.(本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? 1 ? sin x cos x . (Ⅰ)求函数 f (x) 的最小正周期和单调递减区间;

(Ⅱ)若 tan x ? 2 ,求 f (x) 的值。

得分

评卷人

-6-

19.(本小题满分 12 分)已知数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且

4Sn ? an ?1(n ? N ? ) .

(Ⅰ)求 a1 , a2 ;

(Ⅱ)设 bn ? log3 | an | ,求数列 ?bn ? 的通项公式。

得分

评卷人

20.(本小题满分 12 分)在 ?ABC 内, a, b, c 分别为角 A, B, C 所对的 边, a, b, c 成等差数列,且 a ? 2c .

(Ⅰ)求 cos A 的值; (Ⅱ)若 S ? ABC ?

3 15 ,求 b 的值。 4

得分

评卷人 21. (本小题满分 12 分) F,F2 分别是椭圆: 设 1
?

x2 y 2 ? (a ? b ? 0) 的左、 a 2 b2

右焦点,过 F1 倾斜角为 45 的直线 l 与该椭圆相交于 P, Q 两点,且

| PQ |?

4 a. 3

(Ⅰ)求该椭圆的离心率;

? (Ⅱ)设点 M (0, 1) 满足 | MP |?| MQ | ,求该椭圆的方程。

-7-

得分

评卷人

22.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ?

1 3 1 x ? (2a ? 1) x 2 ? (a 2 ? a ) x . 3 2

(Ⅰ)若 f (x) 在 x ? 1 处取得极大值,求实数 a 的值; (Ⅱ)若 ?m ? R ,直线 y ? kx ? m 都不是曲线 y ? f (x) 的切线,求 k 的取值范围; (Ⅲ)若 a ? ?1 ,求 f (x) 在区间[0,1]上的最大值。

-8-

实验中学三诊数学(文)参考答案及评分标准
一、选择题 题号 答案 1 A 2 C 3 D 4 B 5 A 6 B 7 B 8 B 9 D

2012.2
10 D 11 C 12 A

二、填空题:13.

? 2? ; 14.-4; 15. 3 3

16.①④

三、解答题(本大题共 6 小题,共 74 分) 17.由题意知 f ( x) ? a( x ? x1 )(? x2 ) ? a( x ?1)(x ? 3) . 且 a ? 0 故二次函数在区间 [2,??) 上是增函数.??????????4 分 又因为 8? | t |? 8,2 ? t 2 ? 2 ,??????????????6 分 故由二次函数的单调性知不等式 f (| t | ?8) ? f (2 ? t 2 ) 等价于 8? | t |? 2 ? t 2 即 | t | ? | t | ?6 ? 0
2

????????10 分

故 | t |? 3 即不等的解为: ? 3 ? t ? 3 .????????12 分

1 2? sin 2 x,?T ? ? ? ,????????3 分 2 2 ? 3? ? 3? ? 2k? (k ? Z ) ,则 ? k? ? x ? ? k? (k ? Z ) , 令 ? 2k? ? 2 x ? 2 2 4 4 ? 3? ? k? ]( k ? Z ) ;??????????6 分 即函数 f (x) 的单调递减区间是 [ ? k? , 4 4
18.解: (Ⅰ)已知函数即 f ( x) ? 1 ? (2)由已知 y ?

sin 2 x ? sin x cos x ? cos2 x tan2 x ? tan x ? 1 ,??????9 分 ? sin 2 x ? cos2 x tan2 x ? 1
22 ? 2 ? 1 7 ? .????????12 分 5 22 ? 1
1 , ??????3 分 3

? 当 tan x ? 2 时, y ?

19.解: (1)由已知 4S1 ? a1 ? 1 ,即 4a1 ? a1 ? 1,? a1 ?

4 又 4S2 ? a2 ? 1 ,即 (a1 ? a2 ) ? a2 ? 1,? a2 ? ?
(2)当 n ? 1 时, an ? S n ? S n ?1 ?

1 ; ????????6 分 9

1 1 (an ? 1) ? (an?1 ? 1) , 4 4

即 3an ? ?an?1 ,易知数列各项不为零(注:可不证不说) ,

?

an 1 ? ? 对 n ? 2 恒成立, an ?1 3

-9-

1 1 ??an ?是首项为 ,公比为- 的等比数列, 3 3 1 1 n ?1 ? an ? (? ) ? (?1) n?1 3?n , 3 3

????????10 分

?log3 | an |? log3 3?n ? ?n ,即 bn ? ?n .
又 a ? 2c ,可得 b ?

??????????12 分

20.解(Ⅰ)因为 a,b,c 成等差数列,所以 a+c=2b, ????????2 分

3 c, 2

??????????4 分

9 2 2 c ? c ? 4c 2 b2 ? c2 ? a 2 4 1 所以 cos A ? ? ? ? ,??????6 分 3 2bc 4 2 ? c2 2
(Ⅱ)由(Ⅰ) cos A ? ?

1 15 ( , A ? 0,?) ,所以 sin A ? , ????????8 分 4 4

因为 S ?ABC ?

3 15 1 ,S ?ABC ? bc sin A, 4 2 1 1 3 15 3 15 , ????????10 分 bc sin A ? ? c 2 ? 2 2 2 4 4

所以 S ?ABC ?
2

得 c ? 4 ,即 c ? 2, b ? 3 . ???????????12 分 21.解: (Ⅰ)直线 PQ 斜率为 1,设直线 l 的方程为 y ? x ? c ,其中 c ? a2 ? b2 .????2 分 设 P( x1, y1 ), Q( x2 , y2 ) ,则 P, Q 两点坐标满足方程组

?y ? x ? c ? 2a 2 c ? 2 2 化简得 (a 2 ? b2 ) x2 ? 2a2cx ? a 2 (c2 ? b2 ) ? 0 ,则 x1 ? x2 ? 2 , ?x y a ? b2 ? 2 ?1 ? 2 b ?a
x1 x2 ? a 2c 2 ? b 2 . a 2 ? b2
4 | PQ |? 2 | x2 ? x1 |? 2[( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ] ? a 3 .??????6 分

因为,所以

4 4ab2 2 2 得 a? 2 ,故 a ? 2b , 2 3 a ?b
所以椭圆的离心率 e ?

c a 2 ? b2 2 . ????????8 分 ? ? a a 2

- 10 -

(Ⅱ)设 PQ 的中点为 N ( x0 , y0 ) ,由(1)知 x0 ? 由 | MP |?| MQ | 得 kMN ? ?1 . 即

x1 ? x2 ? a 2c 2 c ? 2 ? ? c, y0 ? x0 ? c ? . 2 2 3 3 a ?b

????????10 分

y0 ? 1 x2 y2 ? 1 ????12 分 ? ?1 ,得 c ? 3 ,从而 a ? 3 2 , b ? 3 .故椭圆的方程为 ? x0 18 9

22.解: (Ⅰ)因为 f ' ( x) ? x2 ? (2a ?1) x ? (a2 ? a) ? ( x ? a)[x ? (a ? 1)] ??????2 分 令 f ' ( x) ? 0, 得x1 ? (a ? 1), x2 ? a ,所以 f ' ( x), f ( x) 随 x 的变化情况如下表:

x
f ' ( x)

(? ?,a)
+ Z

a
0 极大值

(a, a ? 1)


a ?1
0 极小值

(a ? 1,??)
+ Z ????????4 分

f (x)
所以 a ? 1

??????????5 分

(由 f ' (1) ? 0 得出 a ? 0 ,或 a ? 1 ,在有单调性验证也可以(标准略) ) (Ⅱ)因为 f ' ( x) ? ( x ?

2a ? 1 2 1 ) ? 2 4

????????6 分

因为 ?m ? R ,直线 y ? kx ? m 都不是曲线 y ? f (x) 的切线, 所以 f ' ( x ) ? ( x ?

2a ? 1 2 1 ) ? ? k 无实数解 ????????7 分 2 4

只要 f ' ( x) 的最小值大于 k

1 ????????8 分 4 (Ⅲ)因为 a ? ?1 ,所以 a ? 1 ? 0 ,
所以 k ? ? 当 a ? 1 时, f ' ( x) ? 0 对 x ?[0,1] 成立 所以当 x ? 1 时, f (x) 取得最大值 f (1) ? a ?
2

1 6

????????9 分

当 0 ? a ? 1 时,在 x ? (0, a) 时, f ' ( x) ? 0 , f (x) 单调递增 在 x ? (a,1)时, f ' ( x) ? 0, f ( x) 单调递减 所以当 x ? a 时, f (x) 取得最大值 f (a ) ?

1 3 1 2 a ? a ??????10 分 3 2

当 a ? 0 时,在 x ? (0,1) 时, f ' ( x) ? 0 , f (x) 单调递减 所以当 x ? 0 , f (x) 取得最大值 f (0) ? 0 ????????11 分

- 11 -

当 ? 1 ? a ? 0 时,在 x ? (0, a ? 1) 时, f ' ( x) ? 0, f ( x) 单调递减 在 x ? (a ? 1,1) 时, f ' ( x) ? 0 , f (x) 单调递增 又 f (0) ? 0, f (1) ? a ?
2

1 , 6

当 ?1 ? a ?

1 6 2 时, f (x) 在 x ? 1 取得最大值 f (1) ? a ? 6 6

当?

6 ? a ? 0 时, f (x) 在 x ? 0 取得最大值 f (0) ? 0 6 6 时, f (x) 在 x ? 0 , x ? 1 处都取得最大值 0.????14 分 6

当a ? ?

综上所述, 当 a ? 1或 ? 1 ? a ? ?

1 6 2 时, f (x) 取得最大值 f (1) ? a ? 6 6

当 0 ? a ? 1 时, f (x) 取得最大值 f (a ) ? 当a ? ?

1 3 1 2 a ? a 3 2

6 时, f (x) 在 x ? 0 , x ? 1 处都取得最大值 0 6

当?

6 ? a ? 0 时, f (x) 在 x ? 0 取得最大值 f (0) ? 0 . 6

- 12 -



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