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数学:新人教A版选修2-3 1.3二项式定理(同步练习)



1. 3 二 项 式 定 理
一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.在 x ? 3

?

?

10

的展开式中, x 的系数为

6



/>)

6 A. ? 27C10

4 B. 27 C10

6 C. ? 9C10

4 D. 9 C 10

2. 已知 a ? b ? 0, b ? 4a , ?a ? b ?n 的展开式按 a 的降幂排列,其中第 n 项与第 n+1 项相 等,那么正整数 n 等于 A.4 B.9 3.已知( a ? ( C.10 D.11 ) )

1
3

a

2

) n 的展开式的第三项与第二项的系数的比为 11∶2,则 n 是 (
D.13 ( D.7 ( D.1.34

A.10 B.11 C.12 10 4.53 被 8 除的余数是 A.1 B.2 C.3 6 5. (1.05) 的计算结果精确到 0.01 的近似值是 A.1.23 B.1.24 C.1.33

) )

1 ? 6.二项式 ? ?2 x ? 4 ? ? x?
式有理项的项数是 A.1
1 3 1 2
n

n

(n ? N)的展开式中,前三项的系数依次成等差数列,则此展开 ( )

B.2

C.3

D.4

7.设(3x +x ) 展开式的各项系数之和为 t,其二项式系数之和为 h,若 t+h=272,则展 开式的 x 项的系数是 ( A. 1
2
2 6
2

) C.2
5

B.1

D.3 ( )

8.在 (1 ? x ? x ) 的展开式中 x 的系数为 A.4 9. (3
1 x

B.5

C.6

D.7

n 展开式中所有奇数项系数之和等于 1024,则所有项的系数中最大的值是 ?5 1 x)

( A.330 B.462
4



C.680

D.790 ( )

10. ( x ? 1) 4 ( x ? 1) 5 的展开式中, x 的系数为

1

A.-40
n

B.10

C.40

D.45

11.二项式(1+sinx) 的展开式中,末尾两项的系数之和为 7,且系数最大的一项的值为 则 x 在[0,2π ]内的值为 A. ( C.
4

5 , 2


? ? 或 6 3
5 6

B.
7

? 5? 或 6 6

? 2? 或 3 3

D.

? 5? 或 6 3
( )

12.在(1+x) +(1+x) +(1+x) 的展开式中,含 x 项的系数是等差数列 an=3n-5 的 A.第 2 项 B.第 11 项 C.第 20 项 D.第 24 项

二、填空题:本大题满分 16 分,每小题 4 分,各题只要求直接写出结果. 13. ( x ?
2

1 9 ) 展开式中 x 9 的系数是 2x

.

14.若 2x ? 3 15 . 若 是

?

?

4

? a 0 ? a1x ? ? ? ? ? a 4 x 4 ,则 ?a 0 ? a 2 ? a 4 ?2 ? ?a 1 ? a 3 ?2 的值为__________.

( x3 ? x?2 )n 的 展 开 式 中 只 有 第 6 项 的 系 数 最 大 , 则 展 开 式 中 的 常 数 项
.
1999

16.对于二项式(1-x)

,有下列四个命题:
1000

①展开式中 T 1000 = -C 1999

x

999



②展开式中非常数项的系数和是 1; ③展开式中系数最大的项是第 1000 项和第 1001 项; ④当 x=2000 时,(1-x)
1999

除以 2000 的余数是 1.

其中正确命题的序号是__________. (把你认为正确的命题序号都填上)

三、解答题:本大题满分 74 分. 17. (12 分 )若 (6 x ?

1
6

x

) n 展开式中第二、三、四项的二项式系数成等差数列.

(1) 求 n 的值; (2)此展开式中是否有常数项,为什么?

2

18. (12 分)已知(

1 ? 2 x )n 的展开式中前三项的二项式系数的和等于 37,求展式中二项式 4

系数最大的项的系数.

1 2 n n 19. (12 分 )是否存在等差数列 ?a n ?,使 a 1C 0 n ? a 2 C n ? a 3 C n ? ? ? ? ? a n ?1C n ? n ? 2 对任

意 n ? N* 都成立?若存在,求出数列 ?a n ?的通项公式;若不存在,请说明理由.

20. (12 分)某地现有耕地 100000 亩,规划 10 年后粮食单产比现在增加 22%,人均粮食占 有量比现在提高 10%。如果人口年增加率为 1%,那 么耕地平均每年至多只能减少多少 亩(精确到 1 亩 )?

21. (12 分)设 f(x)=(1+x) +(1+x) (m、n ? N ),若其展开式中,关于 x 的一次项系数为 2 11,试问:m、n 取何值时,f(x)的展开式中含 x 项的系数取最小值,并求出这个最小 值.
m n

3

22. (14 分)规定 C x ?
m

x( x ? 1)? ( x ? m ? 1) 0 ,其中 x∈R,m 是正整数,且 Cx ? 1 ,这是 m!

m 组合数 Cn (n、m 是正整数,且 m≤n)的一种推广. 3 (1) 求 C? 15 的值;
3 Cx

(2) 设 x>0,当 x 为何值时, ( C 1 ) 2 取得最小值? x (3) 组合数的两个性质;
m n?m ① Cn . ? Cn m m ?1 m ② Cn ? Cn ? Cn ?1 . m 是否都能推广到 C x (x∈R,m 是正整数)的情形?若能推广,则写出推广的形式

并给出证明;若不能,则说明理由.

参考答案 一、选择题 1.D 2.A 3.C 4.A 5.D 6.C 7.B 8.C 9.B 10.D 11.B 12.C
2 1 3.解: Cn / Cn ? 11/ 2 , n ? 12 .

1 2 2 3 3 5.解:(1.05) = ?1 ? 0.05?6 ? C 0 6 ? C 6 ? 0.05 ? C 6 ? 0.05 ? C 6 ? 0.05 ? ? ? ?
6

=1+0.3+0.0375+0.0025+… ? 1.34.
r 6 .解: Tr ?1 ? 28?r C8 x
16 ?3 r 4

, r=0,1,…,8. 设 16 ? 3r ? k ,得满足条件的整数对 (r,k) 只有 4
8? r 6

(0,4),(4,1),(8,-2). 7.解:由 4 n ? 2 n ? 272, 得 2n ? 16 ,n=4, Tr ?1 ? 34?r C r 4x
2 6

, 取 r=4.

8.解:设 (1 ? x ? x ) = 1 ? ( x ? x 2 ) 2 的展开式的通项为 Tr ?1 , 则
r Tr ?1 ? C6 ( x ? x 2 ) r (r=0,1,2,…,6). 二项式 ( x ? x ) 展开式的通项

?

?

6

2 r



4

t n?1 ? (?1) n Crn x r ?n ( x 2 ) n ? (?1) n Crn x r ?n (n=0,1,2,…,r)
r r (1 ? x ? x 2 ) 6 的展开式的通项公式为 Tr ?1 ? ? (?1) n C6 C rn x r ? n , n ?0

令 r+n=5,则 n=5-r ? 0,0 ? r ? 6,0 ? n ? r. r=3,4,5,n=2,1,0.
3 2 4 1 5 0 (1 ? x ? x 2 ) 6 展开式中含 x 5 项的系数为: (?1) 2 C6 C3 ? (?1)C6 C4 ? (?1) 0 C6 C5 ? 6.

9 .解:显然奇数项之和是所有项系数之和的一半,令 x =1 即得所有项系数之和,
6 5 或 C11 , 2 n?1 ? 1024? 210 ,? n ? 11. 各项的系数为二项式系数,故系统最大值为 C11

为 462. 10.解: ( x ? 1) 4 ( x ? 1) 5 = ( x ? 1) 4 ( x ? 1) 4 ( x ? 1) 4 ( x ? 1) ? ( x ? 1)5 ( x ? 1) 4 = ( x ? 1)5 ( x ? 2 x ? 1) 2 = ( x ? 1) 5 ( x 2 ? 4x x ? 6x ? 4 x ? 1)
1 x 4 的系数为 C53 (?1)3 ? C52 ? 6 ? C5 (?1) ? 45.

二、填空题 13. ?

21 ; 14.1; 2

6 4 15. T7 ? C10 =210; ? C10

16.①④.

三、解答题 17.解: (1)n = 7 (6 分) (2)无常数项(6 分)
0 1 2 18 . 解 : 由 Cn ,得 n ? 8 . (8 分) ? Cn ? Cn ? 37, (3 分 ) 得 1 ? n ? 1 n(n ? 1) ? 37 ( 5 分 )

2

T5 ? C84

1 35 5,该项的系数最大,为 . 35 (12 分) (2 x) 5 ? x 5 4 16 16

19.解:假设存 在等差数列

a n ? a1 ? (n ? 1)d 满足要求(2 分)

1 n 1 2 n 1 2 n (4 分) a C0 a 1C 0 n ? C n ? ? ? ? ? C n ? d C n ? 2C n ? ? ? ? ? nC n n ? a 2 C n ? a 3 C n ? ? ? ? ? a n ?1C n ? 1

?

? ?

?

1 n ?1 n n ?1 = a 1 ? 2 n ? nd C 0 (8 分 ) n ?1 ? C n ?1 ? ? ? ? ? C n ?1 ? a 1 ? 2 ? nd ? 2

?

?

依题意 a 1 ? 2 n ? nd ? 2 n ?1 ? n ? 2 n ,2a1 ? n?d ? 2? ? 0 对 n ? N* 恒成立, (10 分) ?a1 ? 0, d ? 2 , 所求的等差数列存在,其通项公式为 a n ? 2(n ? 1) . (12 分) 20.解:设耕地平均每年减少 x 亩,现有人口为 p 人,粮食单产为 m 吨/亩, (2 分)依题意

m ? ?1 ? 22%? ? 10 4 ? 10 x
10 p ? ?1 ? 1%?

?

? ? m ? 10
p

4

?1 ? 10%?, (6 分)

化简:

? 1.1 ? ?1 ? 0.01?10 ? (8 分) x ? 103 ? ?1 ? ? 1.22 ? ?

5

1.1 ? ? (10 分) 2 2 ? 10 3 ?1 ? 1 ? C1 10 ? 0.01 ? C10 ? 0.01 ? ? ? ? ? ? 1.22 ?
? 1.1 ? ? 103 ?1 ? ? 1.1045 ? ? 4.1, ? 1.22 ?

?

?

? x ? 4 (亩) 答:耕地平均每年至多只能减少 4 亩. (12 分)
1 21.解:展开式中,关于 x 的一次项系数为 C1 (3 分)关于 x 的二次项系数 m ? C n ? m ? n ? 11,

2 2 1 为 C2 , (8 分)当 n=5 或 6 时,含 x 项的系数 m ? C n ? 2 ?m?m ? 1? ? n ?n ? 1?? ? n ? 11n ? 55
2

取最小值 25,此时 m=6,n=5 或 m=5,n=6. (12 分)
(?15)( ?16)( ?17 ) 3 22.解:(1) C? ? ?680 . (4 分) 15 ? 3!

(2)

3 Cx x( x ? 1)(x ? 2) 1 2 ? ? ( x ? ? 3) 1 2 (Cx ) 6x2 6 x

. (6 分)

∵ x > 0 , x? 2 ?2 2 . x

3 Cx 当且仅当 x ? 2 时,等号成立. ∴ 当 x ? 2 时, 1 2 取得最小值. (8 分) (Cx )

(3)性质①不能推广,例如当 x ?

2 时, C1 2 有定义,但 C

2 ?1 无意义; 2

(10 分)

性质②能推广,它的推广形式是 Cxm ? Cxm?1 ? Cxm?1 ,x?R , m 是正整数. (12 分)

0 1 事实上,当 m=1时,有 C1 . x ? Cx ? x ? 1 ? Cx ?1

当 m≥2时. C m ? C m ?1 ? x( x ? 1)?( x ? m ? 1) ? x( x ? 1)?( x ? m ? 2)
x x

m!

(m ? 1)!

?

x( x ? 1)?( x ? m ? 2) ? x ? m ? 1 ? x( x ? 1)?( x ? m ? 2)(x ? 1) ? 1? ? ? (m ? 1)! m! ? m ?

m (14 分) ? Cx ?1 .

6



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