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定积分的简单应用2



1.7 定积分的简单应用
高二数学 编制:陈公明 审核:李善成 时间:2009.2.24

一 学习目标:
1.使学生在定积分几何意义的基础上, 通过自主探究, 应用定积分解决曲线围成的平面图 形的面积. 2.能应用定积分求变速直线运动的路程、变力所做的功.

二 重点难点:
重点:能够利用定积分解决实际问题,在解决问题的过程中体会定积分的价值. 难点:如何恰当选择积分变量和确定被积函数

三 知识链接
定积分的概念、定积分的计算、定积分的几何意义

四 学习指导
图形的面积为非负数,当图形在 x 轴的下方时的情况需要注意;当图形比较复杂时,将 图形分割成若干个比较简单的图形; 在物理中应用时,注意力或速度的方向,积分的上限、下限.

五 问题逻辑
(一)复习与思考
1.定积分的几何意义 热身训练:计算(1) .
?

?

2

?2

4 ? x 2 dx

(2) .计算

? ? sin x dx
2 ? 2

2.用定积分表示阴影部分的面积

y A B M O a

y ? f1 ( x)

D

y bN D
x ? f1 ( y)
aM

C

C
y ? f 2 ( x)

x ? f 2 ( y)
B

N b x

O

A

x

3.汽车变速直线运动行驶的路程 s ,等于其速度函数 v ? v(t ) 在时间区间[ a , b ]上的定积分, 即 . 4.如果物体在变力 F ( x) 的作用下做直线运动, 并且物体沿着与 F ( x) 相同的方向从 x ? a 移动 到 x ? b ( a ? b ),那么变力 F ( x) 所做的功为 .

(二)定积分在几何中的应用
例1.计算由曲线 y ? x 2 与 y ? x 所围图形的面积. 探究过程. 1.找到图形----画图得到曲边形. 2.曲边形面积解法----转化为曲边梯形,做出辅助线. 3.定积分表示曲边梯形面积----确定积分区间、被积函数. 4.计算定积分.
2

y
y ? x2

1

C

B D A 1

y2 ? x

-1

O -1

x

变式训练:求曲线 y ? x 2 与直线 x ? y ? 2 围成的图形的面积.

例 2. 计算由直线 y ? x ? 4 ,曲线 y ? 2x 以及 x 轴所围图形的面积. 讨论探究解法的过程 1.找到图形----画图得到曲边形. 2.曲边形面积解法----转化为曲边梯形,做出辅助线. 3.定积分表示曲边梯形面积----确定积分区间、被积函数.表示不到,那换成 Y 为积分变量 呢? 4.计算定积分. y y 探讨: y 为积分变量
4 2 O 4 2 2 4 8 x

S2 S1
2 4 8 x

O

变式训练:求曲线 y ?

1 与直线 y ? x , y ? 2 围成的图形的面积. x

反思:解由曲线所围的平面图形面积的解题步骤: 1.画草图,求出曲线的交点坐标. 2.将曲边形面积转化为曲边梯形面积. 3.根据图形特点选择适当的积分变量. (注意选择 y 型积分变量时,要把函数变形成用 y 表示 x 的函数) 4.确定被积函数和积分区间. 5.计算定积分,求出面积.

(三)定积分在物理中的应用(变速直线运动的路程)
例 3.(见课本例 3)

变式训练:一点在直线上从时刻 t ? 0( s) 开始以速度 v ? t 2 ? 4t ? 3(m / s) 运动,求 (1) 在 t ? 4s 时的位置; (2) 在 t ? 4s 时运动的路程.

(四)定积分在物理中的应用(变力做功)
例 4.(见课本例 4)

变式训练: 在底面积为 S 的圆柱容器中盛有一定量的气体, 在等温条件下, 由于气体的膨胀, 把容器中的一个活塞(面积为 S )从 a 处推到 b 处,计算在移动过程中,气体压力所做的功.

六 目标检测
1.抛物线 y ? x 2 ? x 与 x 轴所围成的图形的面积为( ) 1 1 1 A. B. 1 C. D. 2 6 8 2 2.由抛物线 y ? x ? x ,直线 x ? ?1及 x 轴所围成的图形的面积为( ) 2 4 5 A. B. 1 C. D. 3 3 3 3.质点做直线运动,其速度 v(t ) ? 3t 2 ? 2t ? 3 ,则它在第 2 秒内所走的路程为( A.1 B.3 C.5 D.7 4.如果 1N 力能拉长弹簧 1cm,为了将弹簧拉长 6cm,所耗费的功为( ) A.0.18J B.0.26J C.0.12J D.0.28J



5.抛物线 y ? ? x 2 ? 4 x ? 3 及其在点 A(1,0)和点 B(3,0)处的切线所围成的图形的面积 为 . 6.某质点作直线运动,其速度 V (t ) ? 3t ? 2t ? 3 ,则它在第 2 秒内所走的路程是 ____________。 ? 7.计算由曲线 y ? sin x 与 y ? cos x 及 x ? 0 、 x ? 所围平面图形的面积. 2
3

8.物体 A 以速度 v ? 3t ? 1 在一直线上运动,在此直线上与物体 A 出发的同时,物体 B 在物
2

体 A 的正前方 5m 处以 v ? 10t 的速度与 A 同向运动, 问两物体何时相遇?相遇时物体 A 的走 过的路程是多少?(时间单位为:s,速度单位为:m/s)

七 布置作业
习题 A 组 1.(2) 5. 6.

八 课后小结



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