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高中趣味数学:有趣的位置几何


高中趣味数学:有趣的位置几何
发布时间:2011-08-02 14:42 来源:武汉巨人学校 作者:高中 数学部
高中趣味数学:有趣的位置几何 有一种只研究图形各部分位置的相对次序,而不考虑他们尺寸大小的新几何学,叫做拓扑学。 有时人们也称它是橡皮膜上的几何学。因为橡皮膜上的图形,随着橡皮膜的拉动,其长度、曲 直、面积等等都将发生变化,但也有一些图形的性质保持不变。例如点变化后还是点,线变化 后依旧是线;相交的图形决不因橡皮的拉伸和弯曲而变得不相交!拓扑学正是研究诸如此类, 使图形在橡皮膜上保持不变的性质。在这种几何中,扭曲和拉长(但不包括撕开和接合)称为 拓扑变换。图形在拓扑变换下保持不变的性质,称为图形的拓扑性质。 三角形和圆使两种截然不同的图形,但他们都是简单的封闭曲线。在拓扑变换下,三角形能变 成圆,三角形的内部变成了圆的内部,三角形的外部变成了圆的外部。这就是说,简单封闭曲 线的内部和外部具有拓扑性质。 图1显出了画在一块矩形橡皮膜上的三角形,被拉成了圆的情形。

从图2的三个图形可以想象出他们各自表示什么东西。在拓扑变换下,他们中的每一个图形 都能变成另一个图形。

传说古波斯穆罕默德的继承人哈立发,为了挑女婿曾经给络绎不绝的求婚者出过这样一个题 目:请用线把图3中写有相同数字的小圆圈连接起来,但所连的线不许相交。

这个问题似乎很简单,但实际上没有一个求婚者能够如愿以偿。事实上,如图4,我们很容易 把① 、② 连起来,从而得到一条简单的封闭曲线,这条曲线把整个平面分为内部(阴影部分) -① -② 和外部这两个区域。其中一个③ 在内部区域,而另一个③ 却在外部区域。要想从闭曲线内部的 ③ ,画一条线与外部的③ 相连,而与已画的闭曲线不相交,这是不可能的! 用一个正方体做游戏:如图5,假设正方体的八个顶点表示均匀分布在地球上的八个城市,而 每个城市都有三条路线与毗邻城市相连。某学者从 A 城出发,要到 C′城去考察,途中顺便到 其他的六个城市旅游。要求这六个城市都只经过一次而最后到达 C′城。请画出他的旅行路线。


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