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1[1].3.2 球的体积和表面积课件(人教A版必修2)



1.3.2 球 的 体 积 和 表 面 积

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1.3.2 球的体积和表面积

球的体积和表面积公式 4 3 设球的半径为 R,则它的体积 V= πR ,它的表面积 S 3 =4πR2.

如果一个球的表面积变为原来的2倍,那么它的

半径变为 原来的__________倍,体积变为原来的________倍.
提示:根据表面积和体积公式容易知道,当表面积变为原来的 2 倍时,球的半径变为原来的 2倍,体积变为原来的 2 2倍.

探究点一

球的体积和表面积的计算

1.球的体积是球体所占空间的大小的度量,设球的半径为R,
它的体积只与半径R有关,是以R为自变量的函数即
4 V= 3 πR3.

2.球的表面积是对球的表面大小的度量,它也是球半径的 函数即S=4πR2. 3.求球的表面积和体积关键是求出球的半径,为此常考虑 球的轴截面.

一个球内有相距9 cm 的两个平行截面,它们的面
积分别为49π cm2和400π cm2,求球的表面积和体积.

[提示]

因为题中并没有说明两个平行截面是在球心的

两侧,还是同侧,因此解题时应分类讨论.

[解] (1)当截面在球心的同侧时,如图所 示为球的轴截面.由球的截面性质,知 AO1∥BO2,且O1、O2分别为两截

面圆的圆心,则OO1⊥AO1,
OO2⊥BO2. 设球的半径为R. ∵π·O2B2=49π,∴O2B=7. 同理,π·O1A2=400π,∴O1A=20.

设 OO1=x,则 OO2=x+9. 在 Rt△OO1A 中,R2=x2+202, 在 Rt△OO2B 中,R2=(x+9)2+72, ∴x2+202=72+(x+9)2.解得 x=15. ∴R2=x2+202=252,∴R=25. ∴S 球=4πR2=2 500π(cm2), 4 62 500 V 球= πR3= π(cm3), 3 3 62 500 ∴球的表面积为 2 500π cm ,体积为 π cm3. 3
2

(2)当截面位于球心 O 的两侧时,如图所示为球的轴截面.由球的 截面性质,知 O1A∥O2B,且 O1、O2 分别为两截面圆的圆心,则 OO1⊥AO1,OO2⊥O2B.设球的半径为 R. ∵π·O2B2=49π,∴O2B=7. 同理,π·O1A2=400π,∴O1A=20. 设 O1O=x,则 OO2=9-x. 在 Rt△OO1A 中,R2=x2+400. 在 Rt△OO2B 中,R2=(9-x)2+49, ∴x2+400=(9-x)2+49, 解得 x=-15,不合题意,舍去. 62 500 综上所述,球的表面积为 2 500π cm ,体积为 π cm3. 3
2

1.(1)已知球的直径为 6 cm,求它的表面积和体积. (2)已知球的表面积为 64π,求它的体积. 500 (3)已知球的体积为 π,求它的表面积. 3

解:(1)∵直径为 6 cm, ∴半径 R=3 cm, ∴表面积 S 球=4πR2=36π(cm2), 4 体积 V 球= πR3=36π(cm3). 3 (2)∵S 球=4πR2=64π, ∴R2=16,即 R=4, 4 4 256 ∴V 球= πR3= π×43= π. 3 3 3

4 3 500 (3)∵V 球= πR = π 3 3 ∴R3=125,R=5, ∴S 球=4πR2=100π.

探究点二

球的接切问题

球通常可以与其他空间几何体构成一个组合体,主 要包括“内切”和“外接”等有关的问题,像长方体内 接于球,正方体内接于球,正四面体内接于球,球内切 于正方体,球内切于正四面体,球内切于圆台等组合 体.解决这类问题的关键是根据“切点”和“接点”,

作出轴截面图,把空间问题转化为平面问题来计算.

如图所示,直角梯形O2BAO1 内有一个内切半圆O,把这个平面

图形绕O1O2旋转一周得到圆台内有
一个内切球,已知圆台全面积与球 面积的比是k(k>1),求它们的体积比. [提示] 本题求解需要的量比较多,可采用设而不 求的方法,即先设出有关量,通过已知建立关系, 作比约去参数,即得结果.

[解]

设 O1A=r,O2B=R(R>r),则圆台母线 AB=BM+AM

=R+r,球 O 的直径 O1O2= ?R+r?2-?R-r?2=2 Rr, ∴S 圆台全=π(R+r)2+πR2+πr2=2π(R2+r2+Rr), S 球=4πRr, S圆台全 R2+r2+Rr ∴ = =k. 2Rr S球 1 ·2π Rr?R2+Rr+r2? R2+Rr+r2 V圆台 3 故 = = =k. 4 2Rr V球 π? Rr?3 3

2.若半球内有一内接正方体,则这个半球的表面积与正 方体的表面积之比是 A.5π∶12 C.2π∶3 B.5π∶6 D.3π∶4 ( )

解析:正方体内接于半球, 即正方体的四个顶点在半球 面上,另外四个顶点在半球 的底面圆上.如图所示的是

内接正方体的对角面,

设正方体的棱长为 a, 则 O1B= 2 a, 2 2 a, BE=a, 2

在 Rt△OEB 中, OB=R(球的半径), OE= 2 2 3 2 2 ∴R =( a) +a = a , 2 2
2

1 9πa2 2 2 而 S 正方体表=6a ,S 半球表= ×4πR +πR = , 2 2
2

9π 2 ∴S 半球表∶S 正方体表= a ∶6a2=3π∶4. 2

答案:D

探究点三

球的表面积和体积的实际应用

球是非常常见的空间几何体,应用比较广泛,
特别在实际生活中,应用球的表面积和体积公式解

决问题的例子更是普遍.

如图所示,一个圆锥形的空杯 子上放着一个直径为8 cm的半球形的

冰淇淋,请你设计一种这样的圆锥形
杯子(杯口直径等于半球形的冰淇淋的 直径,杯子壁厚忽略不计),使冰淇淋 融化后不会溢出杯子,怎样设计最省 材料? [提示] 应使半球的体积小于或等于圆锥的体积.可 先设出圆锥的高,再求其侧面积.

[解]

要使冰淇淋融化后不会溢出杯子, 则必须 V 圆锥≥V 半球, 半 V

1 4 1 4 = × πr3= × π×43, 球 2 3 2 3 1 1 1 V 圆锥= Sh= πr2h= π×42×h. 3 3 3 1 1 4 依题意: π×42×h≥ × π×43,解得 h≥8. 3 2 3 即当圆锥形杯子杯口直径为 8 cm,高大于或等于 8 cm 时,冰淇 淋融化后不会溢出杯子. 又因为 S 圆锥侧=πrl=πr h2+r2, 当圆锥高取最小值 8 时,S 圆锥侧最小,所以高为 8 cm 时,制造的 杯子最省材料.

3.一个圆柱形的玻璃瓶的内半径为3 cm,瓶里所装的
水深为8 cm,将一个钢球完全浸入水中,瓶中水的 高度上升到8.5 cm.求钢球的半径.

解:由题意可知,球的体积就是水面上升部分的水的体积, 设钢球的半径为 R,则有 4 3 π×3 ×(8.5-8)= πR , 3
2

解得 R=1.5 (cm). 故钢球的半径为 1.5 cm.

设球O的半径为5,一个内接圆台的两底
面半径分别是3和4,求圆台的体积.

[错解]

如图,由球的截面的性质知,

球心到圆台的上、下底面的距离分别为 d1= 52-32=4,d2= 52-42=3. ∴圆台的高为 d1-d2=h=4-3=1. ∴圆台的体积为 1 V= πh(r2+r2+r1r2) 1 2 3 1 37 = ×π×1×(32+42+3×4)= π. 3 3

[错因] 题目没有给出圆台的两底面及球心的具体位
置,上面解法只是一种情况,另一种情况是两底面 在球心的两侧.

[正解]

如图两种情况

球心到圆台的上下底面的距离分别为 d1= 52-32=4,d2= 52-42=3, 所以图①中,圆台的高为 1,图②中,圆台的高为 7.

所以圆台的体积是 1 V 圆台= πh(r2+r2+r1r2) 1 2 3 1 37 = ×1×π×(32+42+3×4)= π. 3 3 1 或 V 圆台= πh(r2+r2+r1r2) 1 2 3 1 259 = ×π×7×(32+42+3×4)= π. 3 3



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