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【五佳教育】2014福建高职统考数学第一轮教材三角函数基础教师版



【五佳教育】2014 福建高职统考数学第一轮教材

三角函数
§1.1.1、任意角 1、 正角、负角、零角、象限角的概念. 2、 与角 ? 终边相同的角的集合: S ? ? | ? ? ? ? k ? 360 , k ? Z .
?

?

?

§1.1.2、弧度制 1、 把长度

等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角.2、 ? ? 3、弧长公式:. L= ? R 4、扇形面积公式: S=

l . r

1 1 lr= ? r 2 . 2 2

§1.2.1、任意角的三角函数 1、 设 ? 是一个任意角,它的终边与单位圆交于点 P?x, y ? ,那么:

sin ? ? y, cos? ? x, tan? ?

y . x
2 2 x0 ? y 0 )

2、 设点 A?x0 , y 0 ? 为角 ? 终边上任意一点,那么: (设 r ?

y y x sin ? ? ___ ____ , cos? ? ___ _____, tan? ? _ ____. x r r 3、 sin ? , cos? , tan? 在四个象限的符号一正二正弦三切四余
和三角函数线的画法. 4、 诱导公式一:

sin?? ? 2k? ? ? _ sin? _ cos?? ? 2k? ? ? _ cos? _ tan?? ? 2k? ? ? _ tan? _ ( k ? Z )
5、 特殊角 0°,30°,45°,60°, 90°,180°,270°的三角函数值. §1.2.2、同角三角函数的基本关系式 1、 平方关系: sin ? ? cos ? ? 1 .2、 商数关系:
2 2

sin ? ? tan ? . cos ?

§1.3、三角函数的诱导公式 1、 诱导公式二: sin?? ? ? ? ? _ ? sin? _, cos?? ? ? ? ? _ ? cos? _, tan?? ? ? ? ? _ tan? _ . 2、诱导公式三: sin?? ? ? ? _ ? sin ? _, cos?? ? ? ? _ cos? _____,tan?? ? ? ? _ ? tan? _ . 3、诱导公式四: sin?? ? ? ? ? _ sin? _, cos?? ? ? ? ? _ ? cos? _, tan?? ? ? ? ? _ ? tan? _ . 4、诱导公式五: sin?

?? ? ?? ? ? ? ? ? _ cos? _, cos? ? ? ? ? _ sin ? _ . ?2 ? ?2 ?
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5、诱导公式六: sin?

?? ? ?? ? ? ? ? ? _ cos? _, cos? ? ? ? ? _ ? sin ? _ . ?2 ? ?2 ?

§1.4.1、正弦、余弦函数的图象 1、记住正弦、余弦函数图象: 2、 能够对照图象讲出正弦、余弦函数的相关性质: 域、值域、最大最小值、对称轴、对称中心、 性、单调性、周期性. 3、 会用五点法作图. §1.4.2、正弦、余弦函数的性质 1、 周期函数定义:对于函数 f ? x ? ,如果存在一个 数 T, 使得当 x 取定义域内的每一个值时, 都有

定 奇

义 偶

非零常

f ?x ? T ? ? f ?x ? ,那么函数 f ? x ? 就叫做周期函数,非零常数 T 叫做这个函数的周期.
§1.4.3、正切函数的图象与性质 1、记住正切函数的图象: 2、 能够对照图象讲出正切函数的相关性质:定义域、值域、对称中 性、单调性、周期性. §1.5、函数 y ? A sin??x ? ? ? 的图象 1、 能够讲出函数 y ? sin x 的图象和函数 y ? A sin??x ? ? ? ? b 的图 平移伸缩变换关系. 2、 对于函数: y ? A sin??x ? ? ? ? b? A ? 0, ? ? 0? 有:振幅 A,周期 T ? 频率 f ?
1 T

心、奇偶

象之间的

2?

?

,初相 ? ,相位 ?x ? ? ,

?

2?

?

.

第三章、三角恒等变换 两角和与差的正弦、余弦、正切公式

cos(? ? ? ) ? cos? cos ? ? sin ? sin ? cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin? sin ?

sin(? ? ? ) ?

sin ? cos ? ? cos ? sin ?

sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos ? sin ?

tan(? ? ? ) ?

tan ? ? tan ? 1 ? tan ? tan ?

.

tan(? ? ? ) ?

tan ? ? tan ? 1 ? tan ? tan ?

二倍角的正弦、余弦、正切公式 1、 sin 2? ? _ 2 sin? cos? _ ,变形:cos ? =
2 2

sin 2? . 2 sin?
2

2、 cos 2? ? cos ? ? sin ? ? 2cos ? ? 1 ? 1 ? 2sin ?
2

变形 1: cos ? ?
2

1 ? cos 2? 1 ? cos 2? 2 ,变形 2: sin ? ? . 2 2
第 2 页 共 6 页

3、 tan 2? ?

2 tan ? 1 ? tan 2 ?

1、注意正切化弦、平方降次. 解三角形 1、正弦定理

a b c ? ? ? 2R sin A sin B sin C
b2 ? c2 ? a2 2bc

2、余弦定理 a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A 变形 cosA=

a2 ? c2 ? b2 b ? a ? c ? 2ac cos B 变形 cosB= 2ac
2 2 2

c ? a ? b ? 2ab cosC 变形 cosC=
2 2 2

a2 ? b2 ? c2 2ab

3、三角形面积公式: S ? = 课本题(必修 4)

1 1 1 absinC= bcsinA= acsinB 2 2 2

1.(P11 习题 13)若扇形的周长为定值 l,则该扇形的圆心角为多大时,扇形的面积最大?2 2.(P23 练习 4)已知 sin(

2 6 1 ? ? ? -x)=- ,且 0<x< ,求 sin( +x)的值。 5 5 4 2 4

1 1 ,计算 。-1 2 2 sin ? ? sin ? cos? ? 2 cos2 ? 1 ? 2 sin x cos x 1 ? tan x 4.(10(2)) ? cos2 x ? sin 2 x 1 ? tan x
3.( P24 习题 9(2))设 tan ? =5.(14(1)) 、化简,sin(-1071 )sin99 +sin(-171 )sin(-261 ) 6.(17(2)) 、利用单位圆写出符合条件的角的集合 sin ? >0 0 0 0

0

1 ? 7? ( 2k? ? ,2k? ? ) ?k ? Z ? 2 6 6

7.(19)当角 ? , ? 满足什么条件时,有 sin ? =sin ? ? ? ? ? ? 2k?或, ? ? ? ? ? ? 2k? ?k ? Z ? 8.( P41 练习 6)y=sin(

9.(P47 习题 13(2))求 y=cos(

? -2x)的单调区间。 5 2? ? ? 3? 增[k ? ? ]k ? Z , k? ? ]减[ k ? ? , k? ? 5 10 10 5

x ? ? )的图像可由 y=sinx 作怎样的变换得到? 2 4

(P49 习题 12(3))求 y=tan(1-x)的单调区间。减( k? ?

?
2

? 1, k? ?

?
2

? 1 )k? Z

2 cos10 0 ? sin 20 0 10.( P99 例 5)求 的值。 3 cos 20 0
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? 1 7 1 ), ? ? ( , ? ), cos ? ? ? , sin(? ? ? ) ? , 求 sin ? 的值 3 2 2 3 9 3 5 16 12.(习题 11(2))在Δ ABC 中,已知 sinA= ,cosB= ,求 cosC. 5 13 65
11.(P101 习题 10)已知 ? ? (0, 13.( P109 例 4)求证:sin50 0 (1+ 3 tan10 0 )=1

?

14.(P110 练习 3)已知 tan ? ?

1 1 ? , tan ? ? 且 ? , ? 都是锐角,求 ? ? 2 ? 的值 7 3 4

15.(P111 习题 8)求值:sin10 0 cos20 0 cos40 0 =1/8

16.(P117 习题 6)求值:

sin 15 0 cos 50 ? sin 20 0 =-2- 3 cos15 0 cos 50 ? cos 20 0

17.(10(1))在Δ ABC 中,求:tan

A B B C A C tan +tan tan + tan tan =1 2 2 2 2 2 2 AB BD ? AC DC
2

(必修 5) 18.(P10 例 5)在Δ ABC 中,AD 是 ? BAC 的平分线,用正弦定理证明

19(P10 练习 3) 在Δ ABC 中,若 A=60 0 ,a= 3 ,则

a?b?c ? sin A ? sin B ? sin C

20(P12 习题 10)在已知两边 a,b 和一边的对角 A,求角 B 时,如果 A 是锐角,那么可能出现哪几种情 况?如果 A 为钝角呢? 21(P17 习题 10)在Δ ABC 中,已知 2a=b+c,sin A=sinBsinC,试判断Δ ABC 的形状。 正三角形 22(P24 习题 5) 、已知向量 a,b,c 满足 a+b+c=0,且 a,b 的夹角等于 135 , b,c 的夹角等于 120 , | c |=2,求|a| ,|b|。 |a|= 6 ,|b|= 3 +1
0 0
2

23.(习题 6)如图,已知 ? A 为定角,P,Q 分别在 ? A 的两边上,PQ 为定长。当 PQ 处于什么位置时,

a 2 sin ? Δ APQ 的面积最大?当 x= 时 S max = ? 4(1 ? cos? ) 2 sin 2

a

高考题

π? 5π ? 1.为得到函数 y ? cos ? 2 x ? ? 的图像,只需将函数 y ? sin 2 x 的图像向左平移 个长度单位 3? 12 ?

2.(若动直线 x ? a 与函数 f ( x) ? sin x 和 g ( x) ? cos x 的图像分别交于 M,N 两点,则 MN 的
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最大值为

2

? ? 4? ? 3.若 0 ? ? ? 2? ,sin ? ? 3 cos ? ,则 ? 的取值范围是: ? , ? ?3 3 ?

4.把函数 y ? sin x ( x ? R )的图象上所有点向左平行移动 有点的横坐标缩短到原来的

? 个单位长度,再把所得图象上所 3

1 ? 倍(纵坐标不变) ,得到的图象所表示的函数是 y ? sin(2 x ? ) 2 3

? ? 5. 将函数 y ? sin(2 x ? ) 的图象按向量 ? 平移后所得的图象关于点 (? , 0) 中心对称, 则向量 12 3

? 的坐标可能为
6.已知 cos(α -

( , 0) 12 π 4 7π )+sinα = 3, 则 sin(α ? )的值是 5 6 6

?

-

4 5 3 2

?? ? ? 7.函数 f ( x) ? sin 2 x ? 3 sin x cos x 在区间 ? , ? 上的最大值是 ?4 2?

8.函数 f(x)=

sin x ? 1 ( 0 ? x ? 2? ) 的值域是 3 ? 2 cos x ? 2sin x

[-1,0]

x 3? 1 9.在同一平面直角坐标系中,函数 y ? cos( ? )( x ? [0, ]) 的图象和直线 y ? 的交点个数 2? 2 2 2 是 2

10.若 cos a ? 2 sin a ? ? 5 , 则 tan a = 11.
3 ? sin 700 = 2 ? cos 2 100

2

2

? 12.函数 f(x)= 3sin x +sin( +x)的最大值是 2

2

13.已知 a,b,c 为△ABC 的三个内角 A,B,C 的对边,向量 m=( 3 ,?1 ) n=(cosA,sinA). , 若 m⊥n,且 acosB+bcosA=csinC,则角 B=
π 6

. 10 .

?? ? ? 14. f ? x ? ? cos ? ? x ? ? 的最小正周期为 ,其中 ? ? 0 ,则 ? = 6? 5 ?

15.已知函数 f ( x) ? (sin x ? cos x)sin x , x ?R ,则 f ( x) 的最小正周期是
16.设 △ABC 的内角 A B,C 所对的边长分别为 a,b,c ,且 a cos B ? b cos A ? ,
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?
3 c. 5



(Ⅰ)求 tan A cot B 的值; (Ⅱ)求 tan( A ? B) 的最大值. 解:解析: (Ⅰ)在 △ABC 中,由正弦定理及 a cos B ? b cos A ? 可得 sin A cos B ? sin B cos A ?

3 c 5

3 3 3 3 sin C ? sin( A ? B) ? sin A cos B ? cos A sin B 5 5 5 5 即 sin A cos B ? 4cos Asin B ,则 tan A cot B ? 4 ; (Ⅱ)由 tan Acot B ? 4 得 tan A ? 4 tan B ? 0 tan A ? tan B 3tan B 3 3 tan( A ? B) ? ? ? ≤ 2 1 ? tan A tan B 1 ? 4 tan B cot B ? 4 tan B 4 1 当且仅当 4 tan B ? cot B, tan B ? , tan A ? 2 时,等号成立, 2 1 3 故当 tan A ? 2, tan B ? 时, tan( A ? B) 的最大值为 . 4 2 5 4 17.在 △ABC 中, cos B ? ? , cos C ? . 13 5 (Ⅰ)求 sin A 的值; 33 (Ⅱ)设 △ABC 的面积 S△ ABC ? ,求 BC 的长. 2 5 12 (Ⅰ)由 cos B ? ? ,得 sin B ? , 13 13 4 3 由 cos C ? ,得 sin C ? . 5 5 33 所以 sin A ? sin( B ? C ) ? sin B cos C ? cos B sin C ? . 65 33 1 33 (Ⅱ)由 S△ ABC ? 得 ? AB ? AC ? sin A ? , 2 2 2 33 由(Ⅰ)知 sin A ? , 65 AB ? sin B 20 故 AB ? AC ? 65 ,又 AC ? ? AB , sin C 13 20 13 AB ? sin A 11 故 AB 2 ? 65 , AB ? .所以 BC ? ? . 2 13 sin C 2
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