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同步练习椭圆一



椭圆
一.知识点学习
1.椭圆的定义 自然语言 平面内与两个定点 F1、F2 的 距 离 之 和 等 于 一 个常 数(常数>|F1F2|)的点的 轨迹叫做椭圆
2 2

(3)点 P ( x 0 , y 0 ) 在椭圆内 ?

x0 a

2

2

r />?

y0 b

2

2

? 1。

二.题型解析
符号语言 。 | P F1 | ? | P F 2 | ? 2 a (常数) (2a
? | F1 F 2 | )

相关概念 焦点:两个定点 F1、F2 称 为椭圆的焦点; 焦距:两定点 F1、F2 之间 的距离称为焦距。
2 2 2 2

1.椭圆及其标准方程 (1)已知 F1、F2 为两定点,|F1F2|=4,动点 M 满足|MF1|+|MF2|=4,则动点 M 的轨迹是( A.椭圆 B.直线 C.圆 D.线段 (2)设 P 是椭圆 x A.4
2



?

y

2

? 1 上的点,若 F1、F2 是椭圆的两个焦点,则|PF1|+|PF2|等于(



16

25

B.5

C.8
3 2 ) 2

D.10 的椭圆的标准方程是( D. x
2

2.椭圆的标准方程和几何性质 标准方程
x a ? y b
2 2

(3)两个焦点的坐标是(-2,0)和(2,0) ,且经过点 P ( 5 , ?
y a ? x b ? 1( a ? b ? 0 )



? 1( a ? b ? 0 )

A. x

2

?

y

2

?1

B. x

2

?

y

2

?1
3)

C. x 、(0,

2

?
3)

y

2

?1

?

y

2

?1

10

6

6

10

9

6

6

9

图形

(4)在直角坐标系 x O y 中,点 P 到两点 ( 0 , ? (5)椭圆 2 x 2 ? 3 y 2 ? 6 的焦距是( ) A.2 B. 2 (
3 ? 2)

的距离之和等于 4,则点 P 的轨迹方程为



C. 2

5

D. 2 ( )
y
2

3 ?

2)

范围 对称性 顶点 性 质 轴 焦距 离心率
a 、 b、 c

?a ? x ? a ,?b ? y ? b

?b ? x ? b

,?a ? y ? a

(6)离心率为 3 ,长轴长为 10 的椭圆的标准方程时(
5

对称轴:坐标轴;对称中心:原点
A1 ( ? a , 0 ) A 2 ( a , 0 ) B1 ( 0 , ? b ) B 2 ( 0 , b )
A1 ( 0 , ? a ) A 2 ( 0 , a ) B1 ( ? b , 0 ) B 2 ( b , 0 )

A. x

2

?

y

2

?1

B. x

2

?

y

2

?1
2

或y
y
2

2

?

x

2

?1

C.

x

2

?

?1

D.

x

2

?

y

2

?1



y

2

?

x

2

?1

25

16

25

16

25

16

100

64

100

64

100

64

长轴 A1A2 的长为 2 a ;短轴 B1B2 的长为 2 b |F1F2|=2c
e ? c a ? ( 0 , 1)

(7)直线 y

? k x ? k ? 1 与椭圆

x

?

? 1 的位置关系为(



9

4

A.相交 B.相切 C.相离 D.不确定 (8)若△ABC 的两个顶点坐标为 A(-4,0) 、B(4,0) ,△ABC 的周长为 18,则顶点 C 的轨迹方程为( A. x
2



的关系

c ? a ?b
2 2

2

?
2

y

2

? 1( y ? 0 )
y
2

B. x

2

?

y

2

? 1( y ? 0 )

C.

x

2

?

y

2

? 1( y ? 0 )

D.

x

2

?

y

2

? 1( y ? 0 )

25

9
? ? 1 上一点

9

25

16

9

9

16

归纳: 1.椭圆定义的应用:椭圆的定义在解题中具有广泛的应用,在一些设计焦点距离的计算问题及轨迹的判断问题 中经常使用。 2.如何确定椭圆焦点的位置:给出椭圆方程 x
? m ? n ;椭圆的焦点在
2

(9)椭圆 x

P 与椭圆的两个焦点 F1、F2 的连线互相垂直,则△PF1F2 的面积为( C.28 3 , ? 2 ) 和 B (?2 D.24 3 , 1) 两点的椭圆方程为



49

24

A.20 B.22 (10)中心在原点,对称轴为坐标轴,且经过 A ( (11)已知 F1、F2 为椭圆 x
2



?

y

2

? 1 时,判断椭圆交点的位置的方法是:椭圆的焦点在 x 轴上

m

n

?

y

2

?1

的两个焦点,过 F1 的直线交椭圆与 A、B 两点,若|F2A|+|F2B|=12,

y 轴上 ? m ? n 。这是判断椭圆焦点所在坐标轴的重要方法;而求椭圆的标准方程若焦 点的位置不能确定时,要注意分情况讨论。 3.椭圆的范围问题:椭圆的范围是指就是椭圆上点的横坐标、纵坐标的取值范围,在求一些存在性、判断性问 题中,有着重要的作用。 4.椭圆对称性问题:椭圆既是一个轴对称图形,又是一个中心对称图形。椭圆的对称性在解决直线与椭圆的位 置关系以及一些有关面积的计算问题时,往往能起到化繁为简的作用。 5.点 P ( x 0 , y 0 ) 和椭圆 x
a
2 2

25

9

则|AB|= 。 (12)求适合下列条件的椭圆的标准方程: ①两个焦点的坐标分别是(-4,0)(4,0) 、 ,椭圆上的点到两个焦点的距离的和等于 10; ②两个焦点的坐标分别是(0,-2)(0,2) 、 ,并且椭圆经过点 ( ?
3 5 , ) 2 2



?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0 )
2 2

的关系: (2)点 P ( x 0 , y 0 ) 在椭圆上 ?
x0 a
2

(1)点 P ( x 0 , y 0 ) 在椭圆外 ?

x0 a

2

?

y0 b

2

? 1;

2

?

y0 b

2

2

? 1;

(13)已知方程

x

2

k ?5

?

y

2

3? k

? ? 1 表示椭圆,求

k 的取值范围。

A.4 (7)椭圆 x 2 A. 1
4

B.5
? my
2

C.8

D.7 )

? 1 的焦点在

y 轴上,长轴长是短轴长的 2 倍,则 m 的值为( C.2 为椭圆上一点,且 ? A F C. 7
2

B. 1
2
2

D.4
F 2 ? 4 5 ? ,则△AF1F2 的面积为(

(8)F1、F2 是椭圆 x (14)椭圆的中心在原点,焦点在 x 轴上,一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直,且这个焦点到长轴上较近顶 点的距离是 1 0 ? 5 ,求椭圆的方程。 A.7 (9)已知 c 是椭圆 x
a

?

y

2

? 1 的两个焦点,A

1



9

7

B. 7
4
2 2

D. 7
2

5

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0 )
2 , ?? )

的半焦距,则 b ? c 的取值范围是(
a



A. (1, ? ? ) (10)椭圆 2 5 x 2 (15)已知圆 A: ( x
? 3) ? y
2 2

B. (
? y
2

C. (1,

2)

D. (1,

2]

? 25

的长轴长为

,短轴长为

,焦点坐标为

。 。 。

? 100

,圆 A 内一定点 B(3,0) ,圆 P 过 B 且与圆 A 内切,求圆心 P 的轨迹方程。

(11)椭圆的短轴的一个端点到另一个焦点的距离为 5,焦点到椭圆中心的距离为 3,则椭圆的标准方程是 (12) 已知椭圆中心在原点, 一个焦点为 F ( ? 2 (13)已知椭圆 m x 2
? 3 y ? 6m ? 0
2

3, 0)

, 且长轴长是短轴长的 2 倍, 则该椭圆的标准方程是

的一个焦点为(0,2) ,求 m 的值。

2.椭圆的简单几何性质 (1)若椭圆 x A. 2 A. x
2

2

?

y b

2 2

? 1 过点 ( ? 2 ,

3)

,则其焦距为( C. 4
3

) D. 4
5

16

3

B. 2
2

5

(2)若椭圆的对称轴为坐标轴,长轴长与短轴长的和为 18,焦距为 6,则椭圆的方程为(
? y ?1



(14)已知点(3,4)是椭圆 x
a

2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0 )

上的一点,F1、F2 是椭圆的两个焦点,若 P F1 ?P F 2

???? ???? ?

? 0

,求椭圆的

B. x

2

?

y

2

?1

C. x
2

2

?

y

2

?1

或x

2

?

y

2

?1

D.以上都不对

方程。

9

16

25

16

25

16

16

25

(3)已知△ABC 的定点 B、C 在椭圆 x 则△ABC 的周长是( ) A. 2 3 B.6 (4)点 P 在椭圆 x 最大值是( A.6 (5)椭圆 x 2 A.4 (6)已知椭圆
x
2

? y

2

? 1 上,定点

A 是椭圆的一个焦点,且椭圆的另外一个焦点在 BC 边上,

3

C. 4

3

D.12
? 1) ? y
2 2

2

?

y

2

? 1 上运动,点

M、N 分别在圆 ( x

? 1 和 ( x ? 1) ? y
2

2

? 1 上运动,则|PM|+|PN|的

(15)已知椭圆 C 的方程为 x

2

?

y

2

? 1 ,F1、F2 是它的左、右两个焦点,点

A 的坐标为(3,1) ,试在椭圆上求一

4

3

16

12

) B. 2
? 4y
2

点 P,使得 | P A | ? | P F | 取最值。
2

7

C. )

5? 2

3

D.4

? 4

的长轴上为( B.2

C.8

D.16 )

10 ? m

?

y

2

m ? 2

? 1 ,长轴在

y 轴上,若焦距为 4,则 m 等于(



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