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向量的概念及表示学案1 高中数学 必修四 苏教版 Word版


课堂导学 三点剖析 1.向量、相等向量、共线向量的概念 【例 1】 判断下列各命题的真假. (1)向量 AB 的长度与向量 BA 的长度相等; (2)向量 a 与向量 b 平行,且 a 与 b 方向相同或相反; (3)两个有共同起点而且相等的向量,终点相同; (4)两个有共同终点的向量,一定是共线向量; (5) AB 与 CD 共线,则点 A、B、C、D 必在同一条直线上; (6)有向线段就是向量,向量就是有向线段. 思路分析:考查向量的基本概念及表示. 解: (1)真命题. AB 与 BA 互为相反向量. (2)假命题.若 a、b 中有一个为零向量时,其方向是不确定的. (3)真命题. (4)假命题.终点相同并不能说明这两个向量的方向相同或相反. (5)假命题.共线向量所在的直线可以重合也可以平行. (6)假命题.向量是用有向线段来表示的,但并不是有向线段. 温馨提示 对于零向量它比较特殊,它与任一向量平行.解题时加以注意. 2.共线向量(平行向量)的概念理解 【例 2】 如右图 D、E、F 分别是等腰 Rt△ABC 各边中点,∠BAC=90° . (1)写出图中与 DE 、 FD 长度相等的向量; (2)分别写出图中与向量 DE 、 FD 共线的向量. 思路分析:长度相等的向量包括相等向量、相反向量以及模相等的所有向量.共线与否只看 方向不看大小. 解: (1)与 DE 长度相等的向量有 EF 、 FC 、 AF 、 AD 、.与 FD 长度相等的向量有 CE 、 EB . (2)与 DE 共线的向量有 FC 、 AF 、 AC .与 FD 共线的向量有 CE , EB , CB . 温馨提示 共线向量有以下四种情况: 方向相同且模相等; 方向相同且模不等; 方向相反且模相等; 方向相反且模不等.这样,也就找到了共线向量与相等向量的关系,即共线向量不一定是相 等向量,而相等向量一定是共线向量. 3.向量的模与零向量 【例 3】下列四个命题,其中正确命题的个数是( ) ①若|a|=0,则 a=0 ②若|a|=|b|,则 a=b 或 a=-b ③若 a∥b,则|a|=|b| ④若 a=0,则-a=0 A.1 B.2 C.3 D.4 思路分析:考查零向量与向量的模的概念. 解:分清 0 与 0 的区别, 知①错误;两个向量模相等, 它们有无数种位置关系, 故②不正确; 两向量平行模不一定相等,故③错误.④正确. 答案:A 温馨提示 ①容易忽略 0 与 0 的区别; ②误认为模相等时向量相等, 把向量的模同实数的绝对值等 同起来. 【例 4】 给出下列命题,其中正确命题的个数是( ) ①零向量是唯一没有方向的向量 ②平面内的单位向量有且仅有一个 ③a 与 b 共线,b 与 c 是平行向量,则 a 与 c 是方向相同的向量 ④相等的向量必是共线向量 A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 解析:①零向量方向任意.②平面内的单位向量有无数个.③a 与 c 方向可能相反. 答案:A 各个击破 类题演练 1 如图 B、C 是线段 AD 的三等分点,分别以图中各点为起点和终点最多可以写出多少个互不 相等的非零向量? 思路分析:大小相等、方向相同的向量是相等的.只需从大小和方向两方面思考即可. 解: 可设 AD 的长度为 3, 那么长度为 1 的向量有 6 个, 其中 AB = BC = CD , BA = CB = DC ; 长度为 2 的向量有 4 个,其中 AC = BD ,CA ? DB ;长度为 3 的向量有 2 个,所以最多可 以写出

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