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高中数学 3.1.2 用二分法求方程的近似解学案 新人教A版必修1



3.1.2

用二分法求方程的近似解

[学习目标] 1.能用二分法求出方程的近似解.2.知道二分法是求方程近似解的一种常用方 法,体会“逐步逼近”的思想.

[知识链接] 现有一款手机,目前知道它的价格在 500~1 000 元之间,你能在最短的时间内猜出与它最 近的价格吗?(误差不超过 20 元),猜价格方案:(1)

随机;(2)每次增加 20 元;(3)每次取 价格范围内的中间价,采取哪一种方案好呢? [预习导引] 1.二分法的定义 对于在区间[a,b]上连续不断且 f(a)·f(b)<0 的函数 y=f(x),通过不断地把函数 f(x) 的零点所在的区间一分为二, 使区间的两个端点逐步逼近零点, 进而得到零点近似值的方法 叫做二分法. 2.二分法的步骤 给定精确度 ε ,用二分法求函数 f(x)零点近似值的步骤如下: (1)确定区间[a,b],验证 f(a)·f(b)<0,给定精确度 ε ; (2)求区间(a,b)的中点 c; (3)计算 f(c); ①若 f(c)=0,则 c 就是函数的零点; ②若 f(a)·f(c)<0,则令 b=c(此时零点 x0∈(a,c)). ③若 f(c)·f(b)<0,则令 a=c(此时零点 x0∈(c,b)). (4)判断是否达到精确度 ε :即若|a-b|<ε ,则得到零点近似值 a(或 b);否则重复(2)~ (4).

要点一 二分法概念的理解 例 1 下列图象与 x 轴均有交点,其中不能用二分法求函数零点的是( )

1

答案 跟踪演练 1 (1)下列函数中,能用二分法求零点的为( )

(2)用二分法求函数 f(x)在区间[a,b]内的零点时,需要的条件是(

)

①f(x)在区间[a,b]是连续不断;②f(a)·f(b)<0;③f(a)·f(b)>0;④f(a)·f(b)≥0. A.①② B.①③ C.①④ D.①②③

要点二 用二分法求方程的近似解 例 2 用二分法求方程 2x +3x-3=0 的一个正实数近似解(精确度 0.1). 解
3

2. 求形如 f(x)=g(x)的方程的近似解, 可以通过移项转化成求 F(x)=f(x)-g(x)的近似解 问题. 跟踪演练 2 用二分法求 2 + x=4 在[1,2]内的近似解(精确度为 0.2).参考数据:
x

x
2 解
x

1.125 2.18

1.25 2.38

1.375 2.59

1.5 2.83

1.625 3.08

1.75 3.36

1.875 3.67

1.用二分法求函数 f(x)=x +5 的零点可以取的初始区间是( A.[-2,1] B.[-1,0] C.[0,1] D.[1,2]

3

)

2.定义在 R 上的函数 f(x)的图象是连续不断的曲线,已知函数 f(x)在区间(a,b)上有一个 零点 x0, 且 f(a)·f(b)<0, 用二分法求 x0 时, 当 f?

?a+b?=0 时, 则函数 f(x)的零点是( ? ? 2 ?

)

2

A.(a,b)外的点 B.x=

a+b
2

C.区间?a,

? ?

a+b? ?a+b ? ,b
或? 2 ? ? ? 2

?内的任意一个实数 ?

D.x=a 或 x=b 3.函数 f(x)的图象是连续不断的曲线,在用二分法求方程 f(x)=0 在(1,2)内近似解的过 程中得 f(1)<0,f(1.5)>0,f(1.25)<0,则方程的解所在区间为( A.(1.25,1.5) B.(1,1.25) C.(1.5,2) D.不能确定 4.函数 f(x)=log2x+2x-1 的零点必落在区间( ) )

?1 1? A.? , ? ?8 4?

?1 1? B.? , ? ?4 2?
3

?1 ? C.? ,1? ?2 ?

D.(1,2)

5.用二分法求方程 x -2x-5=0 在区间(2,3)内的实根,取区间中点为 x0=2.5,那么下一 个有根的区间是________.

1.二分法就是通过不断地将所选区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,直至找 到零点附近足够小的区间, 根据所要求的精确度, 用此区间的某个数值近似地表示真正的零 点. 2.并非所有函数都可以用二分法求其零点,只有满足: (1)在区间[a,b]上连续不断; (2)f(a)·f(b)<0. 上述两条的函数,方可采用二分法求得零点的近似值.

一、基础达标 1.已知函数 f(x)的图象如图,其中零点的个数及可以用二分法求解的个数分别为( )

A.4,4 B.3,4 C.5,4 D.4,3 2.为了求函数 f(x)=2 -x 的一个零点,某同学利用计算器,得到自变量 x 和函数值 f(x)
x
2

3

的部分对应值[f(x)的值精确到 0.01]如下表如示:

x f(x)

0.6 1.16

1.0 1.00

1.4 0.68 )

1.8 0.24

2.2 -0.25

2.6 -0.70

3.0 -1.00

则函数 f(x)的一个零点所在的区间是( A.(0.6,1.0) B.(1.4,1.8) C.(1.8,2.2) D.(2.6,3.0)

3.用二分法研究函数 f(x)=x +3x-1 的零点时,第一次经计算 f(0)<0,f(0.5)>0,可 得其中一个零点 x0∈________,第二次应计算________,以上横线上应填的内容为( A.(0,0.5),f(0.25) B.(0,1),f(0.25) C.(0.5,1),f(0.75) D.(0,0.5),f(0.125) 4.设方程 2x+2 =10 的根为 β 则 β 属于( A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4) 答案 C
x

3

)

)

?1?x 5.函数 y=? ? 与函数 y=lg x 的图象的交点的横坐标(精确度 0.1)约是( ?2?
A.1.5 B.1.6

)

3 6.用二分法求方程 ln x-2+x=0 在区间[1,2]上零点的近似值,先取区间中点 c= ,则 2 下一个含根的区间是__________. 7.用二分法求函数 f(x)=3 -x-4 的一个零点,其参考数据如下:
x

f(1.600 0)=
0.200

f(1.587 5)=0.133 f(1.556 2)=-
0.029

f(1.575 0)=0.067

f(1.562 5)=
0.003

f(1.550 0)=-0.060

据此数据,求 f(x)=3 -x-4 的一个零点的近似值(精确度 0.01). 二、能力提升 8.在用“二分法”求函数 f(x)零点近似值时,第一次所取的区间是[-2,4],则第三次所 取的区间可能是( )

x

A.[1,4] B.[-2,1] 5? ? C.?-2, ? 2? ?

? 1 ? D.?- ,1? ? 2 ?
4

9.用二分法求方程 x -8=0 在区间(2,3)内的近似解经过________次“二分”后精确度能 达到 0.01? 答案 7 10.已知图象连续不断的函数 y=f(x)在区间(0,0.1)上有唯一零点,如果用二分法求这个 零点(精确度为 0.01)的近似值,则应将区间(0,0.1)等分的次数至少为________. 11.画出函数 f(x)=x -x-1 的图象,并利用二分法说明方程 x -x-1=0 在[0,2]内的根 的情况. 三、探究与创新 12.求方程 ln x+x-3=0 在(2,3)内的近似解(精确度为 0.1). 13.用二分法求 5的近似值(精确度 0.1).
2 2

3

5



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