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2015年最新高考总复习高三文科数学作业第2篇 第6讲对数与对数函数



第6讲

对数与对数函数

基础巩固题组 (建议用时:40 分钟) 一、选择题 1.如果 log1x<log1y<0,那么
2 2

( B.x<y<1 D.1<y<x

).

A.y<x<1 C.1<x<y 解析 1. 答案 D
2 2 2

/>∵log1x<log1y<log11,又 y=log1x 是(0,+∞)上的减函数,∴x>y>
2

2.(2014· 深圳调研)设 f(x)为定义在 R 上的奇函数,当 x>0 时,f(x)=log3(1+x), 则 f(-2)= A.-1 C.1 解析 答案 f(-2)=-f(2)=-log33=-1. A B.-3 D.3 ( ).

3.(2012· 重庆卷)已知 a=log23+log2 3,b=log29-log2 3,c=log32,则 a,b, c 的大小关系是 A.a=b<c C.a<b<c 解析 B.a=b>c D.a>b>c ( ).

a=log23+log2 3=log23 3>log22=1,b=log29-log2 3=log23 3=

a>1,c=log32<log33=1,所以 a=b>c. 答案 B ( ).

4.(2014· 池州一模)函数 y=log2|x|的图象大致是

解析 答案

?log2x,x>0, 函数 y=log2|x|=? 所以函数图象为 A. ?log2?-x?,x<0, A

ln26 ln2π 5.(2013· 宣城二模)若 a= 4 ,b=ln 2×ln 3,c= 4 ,则 a,b,c 的大小关系 是 A.a>b>c C.c>b>a 解析 B.c>a>b D.b>a>c ( ).

2 ?ln 2+ln 3?2 ln 6 ?= ∵ln 6>ln π>1,∴a>c,排除 B,C;b=ln 2· ln 3<? 4 2 ? ?

=a,排除 D. 答案 A

二、填空题 ?2 ? 6.函数 y=log1 (3x-a)的定义域是?3,+∞?,则 a=______. ? ?
2

解析

a 要使函数有意义,则 3x-a>0,即 x>3,

a 2 ∴3=3,∴a=2. 答案 2

2 ?2a ,x<2, 7.已知 f(x)=? 且 f(2)=1,则 f(1)=________. 2 ?loga?x -1?,x≥2,

解析

∵f(2)=loga(22-1)=loga3=1,

∴a=3,∴f(1)=2×32=18. 答案 18

8.函数 y=loga(x-1)+2(a>0,a≠1)的图象恒过一定点是________.

解析 答案

当 x=2 时 y=2. (2,2)

三、解答题 9.已知 f(x)=log4(4x-1). (1)求 f(x)的定义域; (2)讨论 f(x)的单调性; ?1 ? (3)求 f(x)在区间?2,2?上的值域. ? ? 解 (1)由 4x-1>0 解得 x>0,

因此 f(x)的定义域为(0,+∞). (2)设 0<x1<x2,则 0<4x1-1<4x2-1, 因此 log4(4x1-1)<log4(4x2-1),即 f(x1)<f(x2),f(x)在(0,+∞)上递增. ?1 ? (3)f(x)在区间?2,2?上递增, ? ? ?1? 又 f?2?=0,f(2)=log415, ? ? ?1 ? 因此 f(x)在?2,2?上的值域为[0,log415]. ? ? 10.已知函数 f(x)=log1
2

ax-2 (a 为常数). x-1

(1)若常数 a<2 且 a≠0,求 f(x)的定义域; (2)若 f(x)在区间(2,4)上是减函数,求 a 的取值范围. 解 (1)由题意知 ax-2 >0,当 0<a<2 时, x-1

2 2 解得 x<1 或 x>a;当 a<0 时,解得a<x<1.
? ? ? ? 2 ? 故当 0<a<2 时,f(x)的定义域为?x?x<1,或x>a ?; ? ? ? ? ? ? ?2 ? ? ? 当 a<0 时,f(x)的定义域为?x?a<x<1 ?. ? ? ? ? ?

(2)令 u=

ax-2 ,因为 f(x)=log1u 为减函数,故要使 f(x)在(2,4)上是减函数, x-1 2

只需 u(x)=

ax-2 a-2 =a+ 在(2,4)上单调递增且为正. x-1 x-1

?a-2<0, 故由? 2a-2 u?2?= ≥0, 2-1 ?
得 1≤a<2.故 a∈[1,2).

能力提升题组 (建议用时:25 分钟) 一、选择题 1.(2013· 西安三模)两个函数的图象经过平移后能够重合,称这两个函数为“同 形”函数,给出下列四个函数: f1(x)=2log2(x+1),f2(x)=log2(x+2), f3(x)=log2x2,f4(x)=log2(2x), 则是“同形”函数的是 A.f2(x)与 f4(x) C.f1(x)与 f4(x) 解析 ( ).

B.f1(x)与 f3(x) D.f3(x)与 f4(x)

因为 f4(x)=log2(2x)=1+log2x,所以 f2(x)=log2(x+2),沿着 x 轴先向

右平移 2 个单位得到 y=log2x 的图象,然后再沿着 y 轴向上平移 1 个单位可 得到 f4(x)=log2(2x)=1+log2x,根据“同形”函数的定义,f2(x)与 f4(x)为“同 形”函数.f3(x)=log2x2=2log2|x|与 f1(x)=2log2(x+1)不“同形”,故选 A. 答案 A

2.定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(-x)=-f(x),f(x-2)=f(x+2),且 x∈(-1,0) 1 时,f(x)=2x+5,则 f(log220)= A.1 C.-1 解析 ( 4 B.5 4 D.-5 ).

由 f(x-2)=f(x+2), 得 f(x)=f(x+4), 因为 4<log220<5, 所以 f(log220) 1 +5)=-1.

4 =f(log220-4)=-f(4-log220)=-f(log25)=-(2

答案

C

二、填空题 3.(2014· 湘潭模拟)已知函数 f(x)=ln ab 的取值范围是________. 解析 a b 由题意可知 ln +ln =0, 1-a 1-b x ,若 f(a)+f(b)=0,且 0<a<b<1,则 1-x

b ? a b ? a 即 ln?1-a×1-b?=0,从而 × =1,化简得 a+b=1,故 ab=a(1- 1-a 1-b ? ? 1? 1 ? a)=-a2+a=-?a-2?2+4, ? ? 1 又 0<a<b<1,∴0<a<2, 1? 1 1 ? 故 0<-?a-2?2+4<4. ? ? 答案 1? ? ?0,4? ? ?

三、解答题 4.已知函数 f(x)=-x+log2 1-x . 1+x

1 ? ? 1 ? ? (1)求 f?2 014?+f?-2 014?的值; ? ? ? ? (2)当 x∈(-a,a],其中 a∈(0,1),a 是常数时,函数 f(x)是否存在最小值?若 存在,求出 f(x)的最小值;若不存在,请说明理由. 解 (1)由 f(x)+f(-x)=log2 1-x 1+x +log2 1+x 1-x

1 ? ? 1 ? ? =log21=0.∴f?2 014?+f?-2 014?=0. ? ? ? ? (2)f(x)的定义域为(-1,1), ∵f(x)=-x+log2(-1+ 2 ), x+1

当 x1<x2 且 x1,x2∈(-1,1)时,f(x)为减函数, ∴当 a∈(0,1),x∈(-a,a]时 f(x)单调递减, ∴当 x=a 时,f(x)min=-a+log2 1-a . 1+a



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