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山东省威海市2013届高三5月模拟考试数学(文)试题 Word版含答案



高三文科数学试题
本试卷分第Ⅰ (选择题) 卷 和第Ⅱ (非选择题) 卷 两部分, 5 页. 共 考试时间 120 分钟. 满 分 150 分.答题前,考生务必用 0.5 毫米的黑色签字笔将自己的姓名、座号、考号填写在答 题纸规定的位置.

第Ⅰ (选择题 共 60 分) 卷 注意事项:每小题选出答案后,用铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑,如需改

动,用 橡皮擦干净后,再选涂其它答案,不能答在试题卷上.
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. ) 1.若 i 为虚数单位,则复数 (A) 1 ? i

1? i ? i3
(C) ?1 ? i (D) ?1 ? i

(B) 1 ? i

2.已知全集 U ? ?? 2,?1,0,1,2,3?, M ? ?? 1,0,1,3,?, N ? ?? 2,0,2,3? ,则(?U M ) ? N 为 (A) ?? 1,1,? (B) ?? 2? (C) ?? 2,2? (D) ?? 2,0,2?

3.试验测得 x , y 的四组数据如下表, 已知 x , y 线性相关,且

? ? 0.95x ? 2.8 ,则 m ? y
(A) 5.2 (B) 5.4 (C) 5.6 (D) 5.8

x
y

0 2. 2
开始

1 4. 3

3

4 6. 7

m

x 4.“函数 y ? a 单调递增”是“ ln a ? 1 ”的什么条件

(A)充分不必要 (C)充分必要

(B)必要不充分 (D)既不充分也不必要

输入整数 x

x?2

y ? sin(



5.在等比数列 {an } 中,已知 a1a5 a12 ? 27 ,那么 a 4 a8 ? (A) 3 (B) 6 (C) 9 (D) 18

?
6

x)

y ? 2x

6.一算法的程序框图如右图所示,若输出的 y ? 可能为 (A) -1

1 ,则输入的 x 2

输出 y 结束 结束

(B) 1

(C) 1 或 5

(D) -1 或 1

第 6 题图

7.函数 f ( x) ? sin( x ? ? ) ? cos( x ? (A)

?
2

) 的最小正周期是
(D) 3?

? 2

(B) ?

(C) 2?

8.奇函数 y ? f (x) 满足 f (3) ? 1 ,且 f ( x ? 4) ? f ( x) ? f (3) ,则 f ( 2) 等于

(A) 0

(B) 1

(C) -

1 2

(D)

1 2
主视图 2 4 俯视图

2 左视图

9.已知某几何体的三视图如右图所示,则该几何体的体积为 (A)

16 3

(B)

8 3 3

(C) 16

(D) 8 3

,- 2) ,若点 M ( x, y) 为平面区域 10.设 O 为坐标原点,点 A(1

? x ? ?1 ??? ???? ? ? ? ? x ? 2 y ? 3 上的一个动点,则 OA ? OM 的取值范围为 ?2 x ? y ? 3 ?
(A) ?1,5? (B) ? ?11, ?1? (C) ? ?11,1? (D) ? ?6,0?

第 9 题图

11.已知焦点在 x 轴的椭圆方程为

x2 y 2 ? ? 1 ,过椭圆长轴的两顶点做圆 x2 ? y 2 ? b2 的 3 b2

切线,若切线围成的四边形的面积为 2 3 ,则椭圆的离心率为 (A)

3 2

(B)

1 2

(C)

3 3

(D)

3 6

12.函数 f ( x) ?
y

sin x 的图象可能是 ln(x ? 2) y

y

y

1 -2 -1 O1 x

1 -1 O 1 x -2 -1 O

1 -1 x

1 -1 O 1 x

(A)

(B)

(C) 共 90 分)

(D)

第Ⅱ (非选择题 卷
注意事项:

1. 请用 0.5 毫米的黑色签字笔将每题的答案填写在答题纸的指定位置.书写的答案如 需改动,要先划掉原来的答案,然后再写上新答案. 2. 不在指定答题位置答题或超出答题区域书写的答案无效.在试题卷上答题无效. 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分) 13.函数 y ?

ln x 的定义域为_______________. 1? 2x

14.已知曲线 y 2 ? 2 x 的一条切线的斜率为 1,则切点纵坐标为_______________. 15.函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ),( A ? 0, ? ? 0) 的部分图像如图所示,则

f (1) ? f (2) ? ? ? f (2013) ? _______________.
16.已知数列 {an } 的通项公式为 an ? (?1) ? 2n ? 1,
n

将该数列的项按如下规律排成一个数阵:

a1 a2 a4 a5 a3 a6

………… 则该数阵中的第 10 行,第 3 个数为_______________. 三、解答题(本大题共6小题,共 74 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. ) 17.(本小题满分 12 分) 已知 ?an ? 为等差数列, Sn 为其前 n 项和,且 2Sn ? an ? 2n2 . (Ⅰ)求 an , S n ; (Ⅱ)若 ak , a2k ?2 , a2 k ?1 成等比数列,求 k 的值及公比.

18.(本小题满分 12 分)

??? ??? 2 ? ? ?ABC 中, ? B 是锐角 , BC ? 2,AB ? 3 ,已知函数 f ( x) ? BC ? BA ? 2cos x .
(Ⅰ )若 f (2 B) ? 14 ,求 AC 边的长; (Ⅱ )若 f ( B ?

?
2

) ? 1 ,求 tan B 的值.

19.(本小题满分 12 分)

2,3, 在一只黑色的布袋中装有 4 个大小、颜色、质地完全相同的小球,标号分别为 1, 4 ,
现在从布袋中随机摸取 2 个小球,每次摸取一个,不放回,其标号依次记为 x , y ,设

? ? sin ? .
(Ⅰ)若 ? 的取值组成集合 A ,求集合 A ; (Ⅱ)求使关于 x 的方程 x ? 3? x ? 1 ? 0 有实数根的概率.
2

y x

20.(本小题满分 12 分)

如图 1,在梯形 ABCD 中, BC ∥ DA , BE ? DA, EA ? EB ? BC ? 2,DE ? 1 , 将四边形 DEBC 沿 BE 折起, 使平面 DEBC 垂直平面 ABE , 如图 2, 连结 AD, AC .设 M 是 AB 上的动点. (Ⅰ)若 M 为 AB 中点,求证: ME ∥平面 ADC ; (Ⅱ)若 AM ?

1 AB ,求三棱锥 M ? ADC 的体积. 3

21.(本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? ax ? ln x

x ??1, e?

(Ⅰ)若 a ? 1 ,求 f ( x ) 的最大值; (Ⅱ)若 f ( x) ? 0 恒成立,求 a 的取值范围. 22.(本小题满分 13 分) 已知椭圆

x2 y 2 6 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 e ? , 过右焦点做垂直于 x 轴的直线与 2 a b 3

椭圆相交于两点,且两交点与椭圆的左焦点及右顶点构成的四边形面积为 (Ⅰ)求椭圆的标准方程;

2 6 ? 2. 3

(Ⅱ )设点 M (0, 2) ,直线 l : y ? 1 ,过 M 任作一条不与 y 轴重合的直线与椭圆相交于

A、B 两点, N 为 AB 的中点,D 为 N 在直线 l 上的射影,AB 的中垂线与 y 轴交于点 P . 若

???? ???? ND ? MP 求证: ??? 2 为定值. ? AB
y
M

A
D P N

l

x
B

高三文科数学试题参考答案
一、选择题

CCCBC
二、填空题

BBDAB AA
1? ? 14. 1 2?

13. ? x | 0 ? x ?

? ?

15. 2 3

16. 97

三、解答题 17.(本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)∵ ?an ? 为其等差数列,设公差为 d

n ? 1 ,则有 a1 ?

1 a1 ? 1 ,∴ a1 ? 2 ----------------------1 分 2 1 n ? 2 ,有 a1 ? a2 ? a2 ? 4 ,∴ a2 ? 4 ,∴ d ? a2 ? a1 ? 4 ? 2 ? 2 -----------------3 分 2
---------------------4 分 ------------------------6 分 --------------------7 分 --------------------8 分 --------------------10 分

∴ an ? 2+2(n ?1) ? 2n ,

Sn ?

n(2 ? 2n) ? n(n ? 1) 2

(Ⅱ)若 ak , a2k ?2 , a2 k ?1 成等比数列,则有 a2k ?22 ? ak a2k ?1
2 即 4(2k ? 2) ? 2k ? 2(2k ? 1) ,整理得 2k ? 9k ? 4 ? 0 ,
2

解得 k ? 4 或 k ?

1 (舍). 2

∴ a4 , a6 , a9 成等比数列, q ? 18. (本小题满分 12 分)

a6 3 ? a4 2

--------------------12 分

解: (Ⅰ) f ( x) ? BC ? BA ? 2cos 2B ? 4 ? 3 ? 2 ? 2 ? 3 cos B ? 2cos x

??? ??? 2 ? ?

f ( x) ? 7 ? 4 3 cos B ? 2cos x f (2B) ? 7 ? 4 3 cos B ? 2cos 2B ? 14
整理得: 4cos B ? 4 3 cos B ? 9 ? 0
2

--------------------------2 分

--------------------------4 分

cos B ?

3 ?3 3 或 cos B ? (舍) 2 2

∴ AC ? BC ? BA ? 2BC ? BA cos B ? 4 ? 3 ? 4 3 ?
2 2 2

3 ?1 2
--------------------------6 分

∴ AC ? 1 (Ⅱ) f ( B ?

?
2

) ? 7 ? 4 3 cos B ? 2sin B ? 1
--------------------------8 分
2

整理得: sin B ? 2 3 cos B ? 3 将上式平方得: sin B ? 4 3 sin B cos B ? 12cos B ? 9
2

sin 2 B ? 4 3 sin B cos B ? 12cos 2 B ∴ ? 9 ,同除 cos 2 B 2 2 sin B ? cos B tan 2 B ? 4 3 tan B ? 12 ?9 tan 2 B ? 1
整理得: 8tan B ? 4 3 tan B ? 3 ? 0
2

--------------------------10 分

∴ tan B ?

? 3 ?3 3? 3 ,∵ ? B 是锐角, ∴ tan B ? .--------------------------12 分 4 4

19.(本小题满分 12 分) 解 : Ⅰ ) 设 取 出 的 2 个 小 球 的 标 号 对 应 数 对 ( x, y ) , 则 ( x , y )的 所 有 情 况 为 : (

(1, 2),(1,3),(1, 4),(2,1), (2,3),(2, 4),(3,1),(3, 2),(3, 4),(4,1),(4, 2),(4,3) 共 12 种,----2 分当
y x ? 1 时 ? ? sin ? 的值为 0,0,0 ; x y 当 x ? 2 时 ? ? sin ? 的值为 1,-1,0 ; x
当 x ? 3 时 ? ? sin -----------------3 分 -----------------4 分

y 3 3 3 ? 的值为 , ,? ; x 2 2 2 y 2 2 ? 的值为 ,1, , x 2 2

-----------------5 分

当 x ? 4 时 ? ? sin

-----------------6 分

所以集合 A ? {0,1, ?1,

2 3 3 , ,? } 2 2 2
2

-----------------7 分

(Ⅱ)若关于 x 的方程 x ? 3? x ? 1 ? 0 有实数根, 则有 ? ? (3? ) ? 4 ? 0,?? ?
2

2 2 或? ? ? 3 3

-----------------8 分

由(Ⅰ)知, ? ? ?1, ?

3 2 , 2 2

-----------------9 分

其中 ? ? ?1 有 3 种情况,

? ??

3 2 有 3 种情况, ? = 有两种情况 ----------------10 分 2 2 3 2 3 3 2 2 )+P(? ? )? ? + ? . 2 2 12 12 12 3
2 . 3
----------------12 分

所以 P(? ? 0) ? P(? ? ?1) ? P(? ? ?

∴关于 x 的方程 x2 ? 3? x ? 1 ? 0 有实数根的概率为 20. (本小题满分 12 分) 证明: (Ⅰ)取 AC 中点 N ,连接 MN,DN , ME , ∵ M , N 分别是 AB, AC 的中点,

--------------------1 分

? MN ∥ BC 且 MN ?

1 BC 2 1 又 DE ∥ BC 且 DE ? 1= BC , 2

--------------------2 分

? MN ∥ DE 且 MN ? DE,? 四边形 MNDE 为平行四边形.

--------------------4 分 -----------6 分

? ME ∥ ND ,又 ME ? 平面 ACD, DN ? 平面 ACD,? ME ∥平面 ADC
(Ⅱ)? AM ?

1 1 1 AB,?VM ? ADC ? VB ? ADC ? VA? BCD . 3 3 3

-----------------8 分

? 平面 DEBC ? 平面 ABE 且交于 BE, AE ? EB,
? AE ? 平面 DEBC,? AE ? 2 是 A 点到平面 DEBC 的距离,
又 S ?BCD ?

?VA? BCD

1 1 ? EB ? BC ? ? 2 ? 2 ? 2 2 2 1 1 4 4 ? ? AE ? S?BCD ? ? 2 ? 2 ? ,?VM ? ADC ? . 3 3 3 9
/

------------10 分 -----------------12 分

21.(本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)若 a ? 1 ,则 f ( x) ? x ? ln x , f ( x) ? 1 ?

1 x ?1 ? , x x

-----------1 分 -----------3 分 -----------5 分

/ ∵ x ??1, e? ∴ f ( x) ? 0 ,∴ f ( x ) 在 ?1,e? 上为增函数,

∴ f ( x)max ? f (e) ? e ? 1 (Ⅱ)要使 x ??1, e? , f ( x) ? 0 恒成立,只需 x ??1, e? 时, f ( x)max ? 0

显然当 a ? 0 时, f ( x) ? ax ? ln x 在 ?1,e? 上单增, ∴ f ( x)max ? f (e) ? ae ? 1 ? 0 ,不合题意; -----------7 分

1 1 ax ? 1 ? ,令 f / ( x) ? 0 , x ? ? a x x 1 1 当 x ? ? 时, f / ( x) ? 0 ,当 x ? ? 时, f / ( x) ? 0 a a 1 ①当 ? ? 1 时,即 a ? ?1 时, f ( x ) 在 ?1,e? 上为减函数 a
当 a ? 0 时, f ( x) ? a ?
/

-----------8 分

∴ f ( x)max ? f (1) ? a ? 0 ,∴ a ? ?1 ; ②当 ?

-----------9 分

1 1 ? e 时,即 ? ? a ? 0 时, f ( x) 在 ?1,e? 上为增函数 e a
1 1 ,∴ a ? ? ; e e
-----------10 分

∴ f ( x) max ? f (e) ? ae ? 1 ? 0, a ? ?

③当 1 ? ?

1 1 ? e 时,即 ?1 ? a ? ? 时, e a

? 1? ? 1 ? f ( x) 在 ?1, ? ? 上单增, f ( x) 在 ? ? , e ? 上单减 ? a? ? a ?
∴ f ( x) max ? f ( ? ) ? ?1 ? ln(? ) ∵1 ? ?

1 a

1 a

1 1 1 ? e ,∴ 0 ? ln( ? ) ? 1 ,∴ f ( ? ) ? 0 成立; a a a
1 e

-----------11 分

由①②③可得 a ? ?

----------13 分

22.(本小题满分 13 分) (Ⅰ)解:由题意可得

?c 6 ? ? ?a ? 6 ? ?a 3 ,解得 ? ? 2 ?b ? 2 ?( a ? c ) ? b ? 2 6 ? 2 ? ? a 3 ?
x2 y 2 ? ? 1. ∴椭圆的标准方程为 6 2

-----------------2 分

-----------------4 分

(Ⅱ)设直线 AB 的方程为 y ? kx ? 2 , A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ), 联立直线与椭圆的方程

? x2 y 2 ?1 ? ? ,整理得 (3k 2 ? 1) x2 ? 12kx ? 6 ? 0 -----------------6 分 2 ?6 ? y ? kx ? 2 ?
∵直线 AB 与椭圆有两个公共点,∴ ? ? (12k )2 ? 4(3k 2 ? 1) ? 6 ? 0 ? 3k 2 ?1 ? 0 ∴k ?

3 3 或k ? ? . 3 3
?12k 6 , x1 x2 ? 2 . 2 3k ? 1 3k ? 1

-----------------7 分

由 x1 ? x2 ?
2

得 AB ? (1 ? k 2 )[( x1 ? x2 )2 ? 4 x1 x2 ] ? (1 ? k 2 )[

144k 2 24 ? ] 2 2 (3k ? 1) 1 ? 3k 2
-----------------9 分

?

24(1 ? k 2 )(3k 2 ? 1) (1 ? 3k 2 )2
x1 ? x2 ?6k 2 ? 2 , y? ? kx? ? 2 ? 2 2 3k ? 1 3k ? 1

设 N ( x?, y ?), 则 x? ?

∴直线 NP 的方程 y ?

2 1 6k ?4 ? ? (x ? ) ,令 x ? 0 ,得 yP ? , 2 2 1 ? 3k k 1 ? 3k 1 ? 3k 2
-----------------11 分

∴ ND ? (0,

????

3k 2 ? 1 ) 1 ? 3k 2

???? ?6k 2 ? 6 MP ? (0, ) 1 ? 3k 2

-----------------12 分

???? ???? ?6(1 ? k 2 )(3k 2 ? 1) 1 ND ? MP ∴ ??? 2 = ? ?? . ? 2 2 24(1 ? k )(3k ? 1) 4 AB

-----------------13 分



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