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高二数学竞赛试题2



2001 年锦州市“语数外”三科联赛高二数学

考生注意:本试卷满分 100 分,时间 90 分钟。 一、选择题:本大题共 9 小题,每小题 5 分,共 45 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的。 (1)不等式|2001-x|+|11+x|>25 的解集是( ) (A)φ (B)(-1,3) (C)(-3,1) (D)(-∞,+∞)

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(2)设 a,b 是满足 ab<0 的实数,则( ) (A)|a+b|<|a-b| (C)|a+b|>|a|-|b|
2 2

(B)|a+b|>|a-b| (D)|a-b|<|a|+|b|

(3)两曲线(x-1) +(y-1) =8 与 xy=1 的公共点的个数是( ) (A)4
2 2

(B)3

(C)2

(D)0

(4)已在 x +y =1,则 3x+4y 的最大值是( ) (A)5 (B)4 (C)3.5 (D)7 x+y=2 的倾斜角的一半,则 A、B 的

(5)直线 Ax+By+1=0 在 y 轴上的截距是-1,而它的倾斜角是直线 值分别是( ) (A) ,1 (B),1 (C),-1

(D)

,-1

(6)直线的倾斜角 θ 满足 sinθ +cosθ = (A)(B)-

,则直线的斜率为( ) 或(D)-4 或-3

(C)-

(7)两点 M(m+2,n+2)和 N(n-m,-n)关于直线 4x+3y=11 对称,则 m 与 n 的值分别是( ) (A)-4,2 (8)当函数 y=(A)(B)4,-2 (C)2,4 (D)4,2

(x<0)取得最小值时,x 的值等于( ) (B)-1 (C)(D)-

(9)一批货物随 17 列货车从 A 市以 vkm/h 的平均速度运往 B 市,已知两地铁路长为 400km,为了安全, 两列货车间距不得小于( (A)6 小时 ) km,那么这批货物全部运到 B 市最快需要( ) (C)10 小时 (D)12 小时
2

(B)8 小时

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在题中横线上。

(10)已知函数 f(n)=

(n∈N),则当 n=_________时,f(n)最大。

(11)如图,△ABC 的高 AO 在 y 轴正半轴上(O 为原点),已知|AB|=4,|AC|=3,则△ABC 的外接圆的 方程是____________。

(12)已知圆 x +y =25 内一点 P(1,-2),则被 P 点平分的弦所在的直线方程是 ___________。 (13)不等式|x|> 的解集是_________。

2

2

三、解答题:本大题共 3 小题,共 35 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 (14)(本小题满分 11 分) 已知圆的动弦 P1P2 垂直于直径 A1A2,建立适当的坐标系,求直线 P1A1 与 P2A2 的交点 M 的轨迹方程。 (15)(本小题满分 12 分) 设函数 f(x)=2x(x≥1)

(Ⅰ)解不等式 f(x)≥2; (Ⅱ)求 f(x)的最小值。 (16)(本小题满分 12 分) 某人上午 7 时,乘摩托艇以匀速 vnmihe/h(4≤v≤20)从 A 港出发到距 50nmihe 的 B 港去,然后乘汽 车以匀速 ukm/h(30≤u≤100)自 B 港向距 300km 的 C 市驶去,应该在同一天 16 至 21 时到达 C 市。设 汽车、摩托艇所需时间分别是 x,y 小时,如果已知所需经费 p=131-3x-2y 元,那么,v,u 分别是多少 时,走得最经济?此时需花费多少元?



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