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北京市西城区2009年高三4月一模数学(文科)试题(WORD解析版)



北京市西城区 2009 年抽样测试 高三数学试卷(文科)
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2009.4

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.共 150 分.考试时间 120 分钟.
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题号
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15 16 17


18 19 20

总分

分数
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第Ⅰ卷(选择题
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共 40 分)

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一、本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 在每小题列出的四个选项中,选出符合题 目要求的一项.
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1. 已知集合 A = {x |1 < x < 3}, B = {x || x | 2} ,那么集合 A ? B 等于( ) A. {x |1 ? x ? 2} C. {x |1<x ? 2} 2. 函数 f ( x) = sin x cos x 的最小正周期为( A. B. {x | 2 ? x ? 3} D. {x | 2 ? x ? 3}
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p 2

B. p

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C. 2p
a

D. 4p

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3. 若数列 {an } 是公差为 2 的等差数列,则数列 {2 n } 是( ) A. 公比为 4 的等比数列 C. 公比为

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B. 公比为 2 的等比数列 D. 公比为

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1 的等比数列 2

1 的等比数列 4

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4. 由 1、2、3、4、5 组成的无重复数字的五位数中奇数有( A. 48 个 C. 96 个 B. 72 个 D. 120 个
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?x ? y ? 5 ? 0 ? 5.设实数 x, y 满足 ? x ? y ? 0 ,则 z ? x ? 3y 的最小值为( ?x ? 3 ?
A. - 6 C. 5 B. ?3 D. 27
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6. 在平面直角坐标系中, A 为平面内一个动点, B(2,0) . 若 OA ?BA | OB | (O 为坐标原 点) ,则动点 A 的轨迹是( A. 椭圆 )
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uur uur

uur u

B.双曲线

C.抛物线
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D. 圆

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7.已知直线 a 和平面 a ,那么 a // a 的一个充分条件是( ) A. 存在一条直线 b, a // b, b ? a C. 存在一个平面 ? , a ? ? , ? // ?
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B. 存在一条直线 b, a ^ b, b ^ a

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D. 存在一个平面 ? , a ? ? , ? ? ?

8. 函数 f (x)的定义域为 D,若对于任意 x1 , x2 ? D ,当 x1 < x2 时,都有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,则 称函数 f ( x) 在 D 上为非减函数 . 设函数 f (x)在[0, 1]上为非减函数, 且满足以下三个条件:
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1 ○ f (0) = 0 ; 则 f ( ) + f ( ) 等于( A.

2 ○ f ( 3) = )
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x

1 f ( x) ; 2

3 ○ f (1-

x) = 1- f ( x) .

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1 3

1 8

3 4

B.

1 2
2 3

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C. 1

D.

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北京市西城区 2009 年抽样测试 高三数学试卷(文科)
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2009.4

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第Ⅱ卷(
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共 110 分)

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二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 把答案填在题中横线上 .

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9. 某单位有 27 名老年人,54 名中年人,81 名青年人. 为了调查他们的身体情况,用分层抽 样的方法从他们中抽取了 n 个人进行体检,其中有 6 名老年人,那么 n=_________. 10. ( x +
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2 5 ) 的展开式中 x 2 的系数是___________.(用数字作答) 2 x
2

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11. 设 a 为常数, f ( x) = x - 4 x + 3 .若函数 f ( x + a) 为偶函数,则 a =__________;

f ( f (a)) =_______.

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? 12. 设 O 为坐标原点,向量 OA ? (1, 2) .将 OA 绕着点 O 按逆时针方向旋转 90 得到向

??? ?

??? ?

量 OB , 则 2OA ? OB 的坐标为____________.

??? ?

??? ??? ? ?

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13. 已知一个正方体的八个顶点都在同一个球面上. 设此正方体的表面积为 S1 ,球的表面积

S 2 ,则

S1 =_____________. S2

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y

x2 y 2 14 . 如 图 , 从 双 曲 线 ? ? 1 的 左 焦 点 F1 引 圆 9 25
x 2 ? y 2 ? 9 的切线, 切点为 T, 延长 F1T 交双曲线右支于 P
点 . 设 M 为 线 段 F1P 的 中 点 , O 为 坐 标 原 点 , 则 F1 T O

P M

F2

x

| FT | =_____________; | MO | ? | MT | =__________. 1
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三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分. 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分 12 分)
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设 VABC 的内角 A、B、C 的对边分别是 a、b、c,且 a = 3, b = 5, c = (Ⅰ)求 cosC 的值;
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14 .

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5 ? 6sin(C ? ) 3 的值. (Ⅱ)求 cos 2C

?

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16.(本小题满分 12 分)

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某个高中研究性学习小组共有 9 名学生,其中有 3 名男生和 6 名女生. 在研究学习过程 中,要进行两次汇报活动(即开题汇报和结题汇报) ,每次汇报都从这 9 名学生中随机选 1 人作为代表发言. 设每人每次被选中与否均互不影响.
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(Ⅰ)求两次汇报活动都是由小组成员甲发言的概率; (Ⅱ)求男生发言次数不少于女生发言次数的概率.
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17.(本小题满分 14 分)

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如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是直角梯形, ? BCD

90o , AB // CD, 又

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AB = BC = PC = 1, PB =

2, CD = 2, AB ^ PC .
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(Ⅰ) 求证: PC ^ 平面 ABCD ;

P
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(Ⅱ) 求 PA 与平面 ABCD 所成角的大小; (Ⅲ) 求二面角 B-PD-C 的大小.
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D A B

C

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18.(本小题满分 14 分) 设等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n , Sn ? 且 (Ⅰ)求 c 的值及 {an } 的通项公式; (Ⅱ)证明:

1 , nan ? an ? c(c 是常数,n ? N*) a2 = 6 . 2

1 1 1 1 + +L + < . a1a2 a2 a3 an an+ 1 8

19.(本小题满分 14 分)

y2 已知椭圆 C : x ? ? 1 ,过点 M(0, 1)的直线 l 与椭圆 C 相交于两点 A、B. 4
2

(Ⅰ)若 l 与 x 轴相交于点 P,且 P 为 AM 的中点,求直线 l 的方程; (Ⅱ)设点 N (0, ) ,求 | NA ? NB | 的最大值.

1 2

??? ??? ? ?

20.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? ? x ? ax ? b(a, b ? R).
3 2

(Ⅰ)若 a=1,函数 f ( x) 的图象能否总在直线 y ? b 的下方?说明理由; (Ⅱ)若函数 f ( x) 在(0,2)上是增函数,求 a 的取值范围; ( Ⅲ ) 设 x1 , x 2, x 3为 方 程 f ( x) ? 0 的 三 个 根 , 且 x1 ? (?1, 0) , x2 ? (0,1) ,

x3 ? (??, ?1) ? (1, ??) ,求证: | a |? 1 .

北京市西城区 2009 年抽样测试参考答案 高三数学试卷(文科)
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 题号 答案 1 C 2 B 3 A 4 B 5 A 6 D 7 C 8 A 2009.4

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9. 36 10. 10 11. 2, 8 12. (0,5) 13.

2 p

14. 5, 2

注:两空的题目,第一个空 3 分,第二个空 2 分. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分. 15.(本小题满分 12 分) (Ⅰ)解:由余弦定理 cos C = ----------------------------3 分 得 ---------------------------5 分 (Ⅱ)解:由(Ⅰ)知 cos C > 0 , 所 以 角

a 2 + b2 - c 2 , 2ab

cos C =

9 + 25 - 14 2 = 2创 5 3 3

.

C













sin C = 1- cos 2 C =

5 3



----------------------------7 分

则 --------------------------10 分

5 ? 6sin(C ? ) 5 ? 6(sin C ? cos ? cos C ? sin ) 3 ? 3 3 cos 2C 2cos 2 C ? 1

?

?

?

?

5 ? 6(

5 1 2 3 ? ? ? ) 3 2 3 2 4 2 ? ?1 9

?1 8 3 .

5?
所 ---------------------------12 分 16.(本小题满分 12 分) (Ⅰ)解:记 以

C? c C

?
3 ?1

6 o 8

s s
.

i 3 2

“2 次汇报活动都是由小组成员甲发言”

为 事 件 A.

-----------------------------1 分 由题意,得事件 A 的概率 P( A) = 即 2

1 1 ? 9 9

1 , 81 1 . 81

次 汇 报 活 动 都 是 由 小 组 成 员 甲 发 言 的 概 率 为

---------------------------5 分 (Ⅱ)解:由题意,每次汇报时,男生被选为代表的概率为 率为 1-

3 1 = ,女生被选为代表的概 9 3

1 2 = . 3 3

----------------------------6 分 记“男生发言次数不少于女生发言次数”为事件 B, 由题意,事件 B 包括以下两个互斥事件: 1 ○事件 B1:男生发言 2 次女生发言 0 次,其概率为

1 1 1 P( B1 ) = C0 ( )2 (1- )0 = 2 3 3 9
----------------------------8 分 2 ○事件 B2:男生发言 1 次女生发言 1 次,其概率为



1 1 4 P( B2 ) = C1 ( )1 (1- )1 = 2 3 3 9
----------------------------10 分 所以,男生发言次数不少于女生发言次数的概率为 P( B) = P( B1 ) + P( B2 ) =



5 . 9

---------------------------12 分 17.(本小题满分 14 分) 方法一: (Ⅰ)证明:在 VPBC 中, BC = PC = 1, PB =

2,

\ BC 2 + PC 2 = PB2 , \ ? PCB 90o
, 即

P ^

C



B

C

---------------------------1 分

Q AB ^ PC , AB I BC = B ,

\ PC ^
---------------------------4 分





A

B

.

C

(Ⅱ)如图,连接 AC,由(Ⅰ)知 PC ^ 平面 ABCD ,

\ AC 为 PA 在平面 ABCD 内的射影,
\ PAC 为 PA 与平面 ABCD 所成的角.
--------------6 分

P M

在 VABC 中, ? ABC

90o , AB = BC = 1 ,
D C

\ AC =

AB 2 + BC 2 =

2, 2,
A B

在 VPAC 中, ? PCA

90o , PC = 1, AC =

\ t a n PAC ?

PC 2 , = AC 2
平 面 ABCD 所 成 角 的 大 小 为

\

PA



arctan

2 2

.

---------------------------8 分 (Ⅲ)由(Ⅰ)知 PC ^ BC , 又 BC ^ CD, PC I CD = C ,

\ BC ^
---------------------------9 分





P

C

.

D

如图,过 C 作 CM ^ PD 于 M,连接 BM,

\ CM 是 BM 在平面 PCD 内的射影, \ BM ^ PD , \ CMB
为 二 面 角 B-PD-C 的 平 面 角 .

---------------------------11 分 在 VPCD 中, ? PCD
\ PD = PC 2 + CD 2 =

90o , PC=1, CD = 2 ,
5,

又 CM ^ PD , \ PD ?CM

PC CD ,

\ CM =

PC × CD 2 5 , = PD 5
90o , BC=1, CM =

在 VCMB 中, ? BCM
\ tan ? CMB

2 5 , 5

BC 5, = CM 2

\







B-PD-C









a

r

5 c 2

. t

a

n

--------------------------14 分 方 法 二 : ( Ⅰ ) 同 方 法 一 .

---------------------------4 分 (Ⅱ)解:连接 AC,由(Ⅰ)知 PC ^ 平面 ABCD ,

\ AC 为 PA 在平面 ABCD 内的射影,
\ PAC
为 PA 与 平 面 ABCD 所 成 的 角 .

---------------------------6 分 如图,在平面 ABCD 内,以 C 为原点, CD、CB、CP 分别为 x、y、z 轴,建立 空间直角坐标系 C-xyz, 则

C (0,0,0), B(0,1,0), D(2,0,0), P(0,0,1), A(1,1,0)

,

uuu r uur u AC = (- 1, - 1,0), AP = (- 1, - 1,1) ,

---------------------------7 分
\ cos ? PAC uuu uuu r r AC ×AP 6, uuu uuu = r r 3 | AC | ×| AP |

\

PA

与 平 面

ABCD

所 成 角 的 大 小 为

arccos

6 3

. z P

---------------------------9 分 (Ⅲ)过 C 作 CM ^ DP 于 M,连接 BM,设 M ( x, y, z) , M

uuu r uuuu r uuu r 则 MC = (- x, - y, - z ), DM = ( x - 2, y, z ), DP = (- 2,0,1) ,

uuu uuu r r Q MC ^ DP ,
uuu uuu r r \ MC ?DP 2x - z = 0 ;
1 ○

x

D A y B

C

uuuu uuu r r Q DM , DP 共线,

x- 2 2 = z, ○ - 2 2 4 由○○,解得 x = , y = 0, z = , 1 2 5 5 uuu r uuu r 2 4 2 4 2 4 \ M 点的坐标为 ( , 0, ) , MB = (- , 1, - ) , MC = (- , 0, - ) , 5 5 5 5 5 5 uuu uuu 4 r r 4 Q MB ?DP + 0- = 0 , 5 5 \ y = 0,

\ MB ^ DP ,
又 CM ^ DP ,

\

CMB









B-PD-C









.

---------------------------12 分

uuu r uuu r 2 4 2 4 Q MC = (- , 0, - ) , MB = (- , 1, - ) , 5 5 5 5 uuu uuu r r MB ×MC 2 \ cos ? CMB uuu uuu = , r r | MB | ×| MC | 3

\







B-PD-C









arccos

2 3

.

--------------------------14 分 18.(本小题满分 14 分) (Ⅰ)解:因为 Sn ? 所 以 当

1 nan ? an ? c , 2
n= 1
时 ,

S1 ?

1 2

a1 ?

a1 ?, c 解



a1 = 2c



---------------------------2 分 当 n = 2 时, S2 ? a2 ? a2 ? c ,即 a1 ? a2 ? 2a2 ? c ,解得 a2 = 3c , 所 以

3c ? 6







c?2



---------------------------5 分 则 a1 ? 4 ,数列 {an } 的公差 d ? a2 ? a1 ? 2 , 所 ---------------------------8 分 (Ⅱ)因为 以

an ?

1

(

a ?

1

n? ) .

1 1 1 + +L + a1a2 a2a3 an an+ 1

=

1 1 1 + +L + 4创 6 8 6 (2n + 2)(2n + 4)

---------------------------9 分

=

1 1 1 1 1 1 1 1 1 ( - )+ ( - )+ L + ( ) 2 4 6 2 6 8 2 2n + 2 2n + 4

---------------------------12 分

1 1 1 1 1 1 1 [( - ) + ( - ) + L + ( )] 2 4 6 6 8 2n + 2 2n + 4 1 1 1 = ( ) 2 4 2n + 4 =
= 1 1 . 8 4(n + 2)

因为 n ? N* , 所 以

1 1 1 1 + +L + < a1a2 a2 a3 an an+ 1 8

.

-------------------------14 分 注:为降低难度,此题故意给出多余条件,有多种解法,请相应评分. 19.(本小题满分 14 分) (Ⅰ)解:设 A(x1, y1), 因为 P 为 AM 的中点,且 P 的纵坐标为 0,M 的纵坐标为 1, 所 以

y1 ? 1 ?0 2







y1 ? ?1



-------------------------1 分 又因为点 A(x1, y1)在椭圆 C 上, 所以 x1 ?
2

y12 3 1 ? 1 ,即 x12 ? ? 1 ,解得 x1 ? ? , 2 4 4
A 的 坐 标 为





(

3 , ?1) 2



(?

3 , ?1) 2



-------------------------3 分 所 以 直 线 -------------------------5 分 (Ⅱ)设 A(x1, y1),B(x2, y2),则 NA ? ( x1 , y1 ? ), NB ? ( x2 , y2 ? ), 所以 NA ? NB ? ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ? 1) , 则 l 的 方 程 为 4

3 ? y3 ? 3 ,0或 4 x ?

3 ? y3 ? 3 . 0 x ?

??? ?

??? ??? ? ?

1 2

??? ?

1 2

??? ??? ? ? | NA ? NB |? ( x1 ? x2 ) 2 ? ( y1 ? y2 ? 1) 2



-------------------------7 分 当 直 线 AB 的 斜 率 不 存 在 时 , 其 方 程 为 x ? 0 , A(0, 2), B(0, ?2) , 此 时

??? ??? ? ? | NA ? NB |? 1 ;
------------------------8 分 当直线 AB 的斜率存在时,设其方程为 y ? kx ? 1 ,

? y ? kx ? 1 ? 由题设可得 A、B 的坐标是方程组 ? 2 y 2 的解, ?1 ?x ? ? 4
消去 y 得 (4 ? k ) x ? 2kx ? 3 ? 0 ,
2 2

所 -------------------------10 分



? ? (2k )2 ? 12(4 ? k 2 ) ? 0, x1 ? x2 ? 8 , 4 ? k2

?2k 4 ? k2



则 y1 ? y2 ? (kx1 ? 1) ? (kx2 ? 1) ? 所以 | NA ? NB |2 ? (

??? ??? ? ?

?2k 2 8 ?12 k 2 ) ?( ?1) 2 ? ?1 ? 1 , 4 ? k2 4 ? k2 (4 ? k 2 ) 2
??? ??? ? ?

当 k ? 0 时 , 等 号 成 立 , 即 此 时 | NA ? NB | 取 得 最 大 值 1. -------------------------13 分 综 上 , 当 直 线 AB 的 方 程 为 x ? 0 或 y ? 1 时 , | NA ? NB | 有 最 大 值 1. -------------------14 分 20.(本小题满分 14 分) (Ⅰ)解:当 a = 1 时, f ( x) ? ? x ? x ? b ,
3 2

??? ??? ? ?

因为 f (?1) ? b ? 2 ? b , 所 以 , 函 数 ---------------------------3 分
2 ( (Ⅱ)解:由题意,得 f ? x) = - 3x + 2ax ,

f ( x) 的 图 象 不 能 总 在 直 线 y ? b 的 下 方 .



f ? x) = 0 (







x= 0



x=

2 a 3



--------------------------4 分

当 a < 0 时,由 f ? x) > 0 ,解得 (

2 a< x< 0, 3

所以 f ( x) 在 ( a,0) 上是增函数,与题意不符,舍去; 当 a= 0 时 , 由 --------------------------6 分 当 a > 0 时,由 f ? x) > 0 ,解得 0 < x < ( 所以 f ( x) 在 (0, a) 上是增函数, 又 f ( x) 在(0,2)上是增函数, 所以 综 上

2 3

f ? x= - 2 x ( ) 3

, 与 题 意 不 符 , 舍 去 ; 0

2 a, 3

2 3

2 a ? 2 ,解得 a ? 3 , 3
, a 的 取 值 范 围 为

[3, +

)

.

---------------------------9 分 (Ⅲ)解:因为方程 f ( x) ? ? x ? ax ? b ? 0 最多只有 3 个根,
3 2

由题意,得在区间 (?1,0) 内仅有一根, 所以 f (- 1) ? f (0) 同 理

b(1+ a + b) < 0 , ( 1b ) +( a+ b , 1 < )

1 ○

f ( 0 )f ?

0

2 ○

--------------------------11 分 当 b > 0 时,由○得 1+ a + b < 0 ,即 a < - b - 1, 1 由○得 - 1+ a + b < 0 ,即 a < - b + 1 , 2 因为 - b - 1 < - b + 1 ,所以 a < - b - 1 < - 1 ,即 a < - 1 ; 当 b < 0 时,由○得 1+ a + b > 0 ,即 a > - b - 1, 1 由○得 - 1+ a + b > 0 ,即 a > - b + 1 , 2 因为 - b - 1 < - b + 1 ,所以 a > - b + 1 > 1 ,即 a > 1 ; 当 b = 0 时,因为 f (0) = 0 ,所以 f ( x) = 0 有一根 0,这与题意不符. 综 ---------------------------14 分 上 ,

|a >

|

.

1

注:在第(Ⅲ)问中,得到○○后,可以在坐标平面 aOb 内,用线性规划方 1 2 法解. 请相应评分.



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