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2011年数学中考复习用资料:2011年中考复习:方案设计题精选



方案设计题精选
1、 “5·12”四川汶川大地震的灾情牵动全国人 民的心,某市A、B 两个蔬菜基地得知四川 C、D 两个 灾民安置点分别急需蔬菜 240 吨和 260 吨的消息后, 决定调运蔬菜支援灾区.已知A蔬菜基地有蔬菜 200 吨,B 蔬菜基地有蔬菜 300 吨,现将这些蔬菜全部调 往 C、D 两个灾民安置点.从 A 地运往 C、D 两处的费 用分别为每吨 20 元和 25 元,从 B 地运往 C、D 两处 的费用分别为每吨 15 元和 18 元.设从 B 地运往 C 处 的蔬菜为 x 吨. (1)请填写下表,并求两个蔬菜基地调运蔬菜 的运费相等时 x 的值; (2)设 C D 总计 A 200 吨 A、B 两个蔬 B x吨 300 吨 菜基地的总运 总计 240 吨 260 吨 500 吨 费为 w 元,写 出 w 与 x 之间 的函数关系式,并求总运费最小的调运方案; (3)经过抢修,从 B 地到 C 处的路况得到进一 步改善,缩短了运输时间,运费每吨减少 m 元( m > 0) ,其余线路的运费不变,试讨论总运费最小的调 运方案. 解:(1)填表 C A B 总 计 (240-x) 吨 D (x-40) 吨 (300-x) 吨 260 吨 总 计 200 吨 300 吨 500 吨 依题意得: 20(240-x)+25 (x-40) =15x+18 ( 300-x ) , 解得 x=200 (2) w 与 x 之间的函数关系 为:w=2x+9200,
? 240 ? x ≥ 0, ? x ? 40 ≥ 0, ? 依题意得: ? . ? x ≥ 0, ?300 ? x ≥ 0. ?

2<m<15 时,x=240 总运费最小,其调运 方案如上表右。 2、我市花石镇组织 10 辆汽车装运完 A、B、C 三种不 同品质的湘莲共 100 吨到外地销售,按计划 10 辆汽 车都要装满,且每辆汽车只能装同一种湘莲,根据下 表提供的信息,解答以下问题: 湘 莲 品 种 每辆汽车运载量(吨) 每吨湘莲获利(万元)

A
12 3

B
10 4

C
8 2

(1)设 装运 A 种湘莲 的车辆

数为 x,装运 B 种湘莲的车辆数为 y,求 y 与 x 之间 的函数关系式; (2)如果装运每种湘莲的车辆数都不少于 2 辆,那 么车辆的安排方案有几种?并写出每种安排方案; (3)若要使此次销售获利最大,应采用哪种安排方 案?并求出最大利润的值. 解(1)Q 装 A 种为 x 辆,装 B 种为 y 辆,装 C 种为

x吨
240 吨

10-x-y 辆,
由题意得:12x+10y+8 (10-x-y)=100, 所以 y=10-2x; (2)10-x-y=10-x-(10-2x)=x, 故装 C 种车也为 x 辆. ?

∴40≤ x ≤240,

? x≥2 ,得 2≤x≤4, ?10 ? 2 x ≥ 2

在 w=2x+9200 中,∵2>0, ∴w 随 x 的增大而增 大,故当 x=40 时,总运费最小,此时调运方案为如 下表左. (3)由题意知 w=(2-m)x+9200, ∴0<m<2 时, (2)中调运方案总运费最小; m=2 时,在 40≤x≤240 的前提下调运方案的总运费 C A B 200 吨 40 吨 D 0吨 260 吨 A B C 0吨 240 吨 D 200 吨 60 吨

因为 x 为整数,故 x=2,3,4, 故车辆有 3 种安排方案,方案如下: 方案一:装 A 种 2 辆车, 装 B 种 6 辆车, 装 C 种 2 辆车; 方案二:装 A 种 3 辆车, 装 B 种 4 辆车, 装 C 种 3 辆车; 方案三:装 A 种 4 辆车, 装 B 种 2 辆车, 装 C 种 4 辆车. 不 (3)设销售利润为 W(万元),则 W=3×12x+4×10×(10-2x)+2x×8=-28x+400, 故 w 是 x 是的一次函数,且 x 增大时,W 减少. 故 x=2 时, Wmax =400-28×2=344(万元)。

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3、小明爸爸开办一家加工厂,厂里有许多剩余 的边角料,其中最多的是一些边长为 20cm 的正三角 形铁片,为了利用这些余料,小明的爸爸决定用它们 来制作两种工件,一种是无底的圆锥,另一种是有底 的圆锥,他向小明提出了如下问题(两个问题都不计 接缝部分) : (1) 如果制成无底的圆锥, 如何制作才能使材料 的利用率最高?并计算此时材料的利用率; (材料利 用率就是材料利用的 面积与材料总面积的 A 比,再乘以 100%) (2)如果制成有 底的圆锥,那又该如 何制作才能使材料的 E F 利用率最大? B C 请你帮小明解决 D 上述问题。 图1 解: (1)如图 1, A 由正三角形 ABC 的边 长 为 20 可 知 AD = 制作而成的无 10 3 , 底圆锥的面积(即材 料利用面积)为 E F

得x=

5 3 , 4

60 × π × 10 3 360

(

)



2

D 图2 A





4、某校校长暑假将带领该校市级“三好生”去北京 旅游。甲旅行社说: “如果校长买全票一张,则其余 学生可享受半价优待。 乙旅行社说: ” “包括校长在内, 全部按全票价的 6 折(即按全票价的 60%收费)优惠。 ” 若全票价为 240 元。 (1)设学生数为 x,甲旅行社收费为 y 甲,乙旅行 社收费为 y 乙,分别计算两家旅行社的收费(建立表 达式); (2)当学生数是多少时,两家旅行社的收费一样; (3)就学生数 x 讨论哪家旅行社更优惠。 5、某工厂现有甲种原料 360 千克,乙种原料 290 千 克,计划利用这两种原料生产 A、B 两种产品,共 50 件。已知生产一件 A 种产品需用甲种原料 9 千克、乙 种原料 3 千克, 可获利润 700 元; 生产一件 B 种产品, 需用甲种原料 4 千克、乙种原料 10 千克,可获利润 1200 元。 (1)要求安排 A、B 两种产品的生产件数,有哪几 种方案?请你设计出来; (2)生产 A、B 两种产品获总利润是 y(元),其中 一种的生产件数是 x,试写出 y 与 x 之间的函数关系 式,并利用函数的性质说明(1)中的哪种生产方案获 总利润最大?最大利润是多少? 6、 我市某地一家农工商公司收获的一种绿色蔬菜, 共 140 吨,若在市场上直接销售,每吨利润为 1000 元,经粗加工后,每吨利润可达 4500 元,经精加工

50л, 又材料面积 (即 三角形 ABC 的面积) 为 100 3 ,故此时材 料利用率为 E G O

后,每吨利润为 6500 元。该公司加工厂的生产能力 F C 是:如果对蔬菜进行粗加工,每天可加工 16 吨;如 果对蔬菜进行精加工,每天可加工 6 吨;但两种加工 方式不能同时进行,受季节等条件限制,公司必须在 15 天内(含 15 天)将这批蔬菜全部销售或加工完毕。 为此公司研制了两种可行方案:方案一:尽可能多地 对蔬菜进行精加工,没有来得及进行加工的蔬菜,在 市场上直接出售。 方案二: 将一部分蔬菜进行精加工, 其余蔬菜进行粗加工。 (1)写出方案一所获利润 W 1; (2)求出方案二所获利润 W 2(元)与精加工蔬 菜数 x (吨)之间的函数关系式; (3)你认为怎样安排加工(或直接销售)使公 司获利最多?最大利润是多少?

50π 100 3



D 图3

≈90.1%. (2)要做成圆锥,需要在问题(1)的基础上再 加个 圆形的底, 并且此底也 是要在这个 三角形上 取.从直观上可见此时有如下两种方案,一是如图 2 所示,把圆的直径定在三角形的高 AD 上;二是把圆 的直径定在如图 3 的位置.然后分别计算两种方案的 材料利用率. 在图 2 中,设圆的半径为xcm,则扇形的半径 是(10 3 -2x)cm,则由圆的周长与扇形 AEF 的

弧 EF 的长相等,得

60π 10 3 ? 2 x 180

(

) = 2π x ,解之,

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W (1) 1 = 15× 6 × 6500+ (140?15× 6) ×1000= [解答] 解答]
635000(元) (2)W2 = 6500x + 1000(140 ? x) = 5500 x + 140000 (元) (3)∵15×6=90 ∴自变量 x 的取值范围是:0≤ x ≤90 又∵ W2 随 x 的增大而增大 ∴当 x =90 时, W2 有最大值,最大值为:

∵W 与 x 之间的函数关系式为: y = ? 10.4 x + 336 ∴W 随 x 的增大而减小 ∴当 x =2 时,W 有最大值,最大值为:

W最大值 = ?10.4 × 2 + 336

=315.2(百元) .

当 x =2 时, y = ?2 x + 20 =16, 20 ? x ? y =2 答:为了获得最大利润,应安排 2 辆车运输 A 种苹 果,16 辆车运输 B 种苹果,2 辆车运输 C 种苹果。 8、某企业有员工 300 人,生产 A 种产品,平均 每人每年可创造利润 m 万元(m 为大于零的常数) 。为 减员增效,决定从中调配 x 人去生产新开发的 B 种产 品。根据评估,调配后,继续生产 A 种产品的员工平 均每人每年创造的利润可增加 20%,生产 B 种产品的 员工平均每人每年可创造利润 1.54m 万元。 (1)调配后,企业生产 A 种产品的年利润为 万元,企业生产 B 种产品的年利润为 万元

5500 × 90 + 140000 =635000(元)
答:应精加工 15 天,来不及加工的蔬菜在市 场上直接销售, 这样安排, 公司才能获得最多的利润, 最大利润是 635000 元。 7、辽南素以“苹果之乡”著称,某乡组织 20 辆 汽车装运三种苹果 42 吨到外地销售。按规定每辆车 只装同一种苹果, 且必须装满, 每种苹果不少于 2 车。 (1)设用 x 辆车装运 A 种苹果,用 y 辆车装运 B 种苹果,根据下表提供的信息求 y 与 x 之间的函数关 系式,并求 x 的取值范围; (2)设此次外销活动的利润为 W(百元) ,求 W 与 x 的函数关系式以及最大利润,并安排相应的车辆 分配方案。 苹果品种 每辆汽车运载量 (吨) 每吨苹果获利 (百元) A 2.2 . 6 B 2.1 . 8 C 2 5 [解答] (1)由

(用含 x 和 m 的代数式表示) 。若设调配后企业全年 总利润为 y 万元,则 y 关于 x 的函数解析式 为 。

(2)若要求调配后,企业生产 A 种产品的年利润不 小于调配前企业年利润的

4 ,生产 B 种产品的年利润 5

大于调配前企业年利润的一半,应有哪几种调配方 案?请设计出来,并指出其中哪种方案全年总利润最 大(必要时,运算过程可保留 3 个有效数字) 。

2.2 x + 2.1 y + 2( 20 ? x ? y ) = 42
y = ?2 x + 20
当 y =0 时, x =10

化 简 得 : (3)企业决定将“ ”中的年最大利润(设 m=2) (2) 继续投资开发新产品,现有 6 种产品可供选择(不得 重复投资同一种产品) ,各产品所需资金及所获年利
产 品 C 200 50 D 348 80 E 240 20 F 288 60 G 240 40 H 500 85

∴1< x <10

答: y 与 x 之间的函数关系式为: y = ?2 x + 20 ;自 变量 x 的取值范围是:1< x <10 的整数。 (2)由题意得:W=

所需资金(万元) 年利润(万元)

2.2 × 6 x + 2.1 × 8 y + 2 × 5 × ( 20 ? x ? y ) = 3.2 x + 6.8 y + 200
= 3.2 x + 6.8( ?2 x + 20 ) + 200 = ? 10.4 x + 336
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润如下表: 如果你是企业决策者,为使此项投资所获利润不少于

145 万元,你可以投资开发哪些产品?请写出两种投 资方案。 [解答](1) (300 ? x ) ? (1 + 20%) m , 1.54mx , 解答]

(2)若商场预计每日的总利润为 c(万元) , 且 19≤c≤19.7。这个商场应怎样分配日营业额 给三个经营部?各部应安排多少名售货员?
商 品 每 1 万元营 业额所需人数 商 品 每 1 万元营 业额所得利润 百货 类 服装类 家 电 类 0.3 万元 0.5 万元 0.2 万元

y = (300 ? x )(1 + 20%) m + 1.54 mx
4 ? ?(300 ? x 0(1 + 20%)m ≥ 5 × 300m ? ? ?1.54mx > 1 × 300m ? 2 (2)由题意得 ?

百货 类 服装 类 家电 类

5 4 2

31 97 解得 77 < x ≤100。 写 97.5< x ≤100 或 97.4 注: . .
< x ≤100 均视为正确 ∵ x 为整数 ∴ x 只能取 98、99、100。 故共有三种调配方案: ①202 人继续生产 A 种产品,调 98 人生产 B 种产品; ②201 人继续生产 A 种产品,调 99 人生产 B 种产品; ③200 人继续生产 A 种产品, 100 人生产 B 种产品; 调 又 y = (300 ? x )(1 + 20 %) m + 1.54 mx =

[解答](1)由题意,得 解答]

x + y +=60 5 x +4 y +2 z =190
把 x 看成是已知数,解关于 y 、的二元一次方 程组,得 y =35-

3 1 x ① z =25+ x 2 2 (2)∵ c =0.3 x +0.5 y +0.2 z



=0.3 x +0.5×(35-

3 1 x )+0.2×(25+ x ) 2 2

=22.5-0.35 x ∴19≤22.5-0.35 x ≤19.7. 解得 8≤ x ≤10. ∵ x 、 y 、 z 是正整数,且由(1)可知 x 应为偶数, ∴ x =8 或 10. 当 x =8 时,分别代入①、②得 y =23, z =29 这时分配给三个部门的人数分别为 5 x =40 人、 4 y =92 人、2 z =58 人。 当 x =10 时, 分别代入①、 ②得 y =20,z =30. 这时分配给三部门的人数分别为 50 人、 人、 人。 80 60 答:分配给百货部、服装部和家电部的营业额分别为 8 万元、23 万元、29 万元,售货员人数分别为 40 人、 92 人、58 人;或营业额分别为 10 万元、20 万元、30 万元,售货员人数分别为 50 人、80 人、60 人。 10、某校八年级(1)班共有学生 50 人,据统计原来 每人每年用于购买饮料的平均支出是 a 元.经测算和 市场调查,若该班学生集体改饮某品牌的桶装纯净 水,则年总费用由两部分组成,一部分是购买纯净水 的费用,另一部分是其它费用 780 元,其中,纯净水 的销售价 x(元/桶)与年购买总量 y (桶)之间满足如 图所示关系.

0.34mx + 360m ,由于 0.34m >0,函数 y 随 x 的增
大而增大。 故当 x =100, 即按第三种方案安排生产时, 获总利润最大。 (3)当 m =2 时,最大总利润为 788 万元。依题意可 投资开发产品 F、H 或 C、D、E 或 C、D、G 或 C、F、G。 9、 某商场设有百货部、服装部和家电部,共有 190 名售货员,计划全商场日营业额数(指每日卖出 商品所收到的总金额)为 60 万元。由于营业性质不 同,分配到三个部的售货员的人数也就不等。根据经 验,各类商品每 1 万元营业额所需售货员人数如表 (1) ,每 1 万元营业额所得利润情况如表(2) 。商场 将计划日营业额分配给三个经营部,设分配给百货 部、 服装部和家电部的营业额分别为 x(万元) y(万 、 元) z (万元) 、 (都是整数) 。 (1)请用含 x 的代数式分别表示 y 和 z ;
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(1)求 y 与 x 的函数关系式; (2)若该班每年需要纯净水 380 桶,且 a 为 120 时,请你根据提供的信息分析一下:该班学 生集体改饮桶装纯净水与个人买饮料,哪一 种花钱更少? (3)当 a 至少为多少时, 该班学生集体改饮桶装 纯净水一定合算?从计算结果看,你有何感 想(不超过 30 字)? 解:(1)设 y = kx + b ,∵x=4 时,y=400;x=5 时,y=320. ?400 = 4k + b, ? k = ?80, ∴? 解之,得 ? ?320 = 5k + b. ?b = 720. ∴y 与 x 的函数关系式为 y = ?80 x + 720 . (2)该班学生买饮料每年总费用为 50×120=6000 (元) , 当 y=380 时, 380 = ?80 x + 720 ,得 x=4.25, 该班学生集体饮用桶装纯净水的每年总费用为 380× 4.25+780=2395(元), 显然,从经济上看饮用桶装纯净水花钱少. (3)设该班每年购买纯净水的费用为 W 元,则 9 W =xy=x(-80x+720)= ?80( x ? ) 2 + 1620 , 2 9 时,W ∴当 x= 最大值=1620, 2 要使饮用桶装纯净水对学生一定合算, 则 50a≥W 最大值+780,即 50a≥1620+780, 解之,得 a≥48. 所以 a 至少为 48 元时班级饮用桶装纯净水对学生一 定合算, 由此看出,饮用桶装纯净水不仅能省钱,而且能养成 勤俭节约的好习惯 11. 梅林中学租用两辆小汽车(设速度相同)同时送 1 名带队老师及 7 名九年级的学生到县城参加数学竞 赛,每辆限坐 4 人(不包括司机) .其中一辆小汽车 在距离考场 15km 的地方出现故障,此时离截止进考 场的时刻还有 42 分钟,这时唯一可利用的交通工具 是另一辆小汽车,且这辆车的平均速度是 60km/h,人 步行的速度是 5km/h(上、下车时间忽略不计) . (1)若小汽车送 4 人到达考场,然后再回到出故障 处接其他人,请你能过计算说明他们能否在截止进考 场的时刻前到达考场; (2)假如你是带队的老师,请你设计一种运送方案, 使他们能在截止进考场的时刻前到达考场,并通过计 算说明方案的可行性. 解: (1)

∴ 不能在限定时间内到达考场.
(2)方案 1:先将 4 人用车送到考场,另外 4 人同时步行前往考场,汽车到考场后返回到与另外 4 人的相遇处再载他们到考场. 先将 4 人用车送到考场所需时间为

15 = 0.25(h) = 15 (分钟) . 60
0.25 小时另外 4 人步行了 1.25km, 此时他们与考 场的距离为 15 ? 1.25 = 13.75 (km) 设汽车返回 t (h) 后先步行的 4 人相遇,

5t + 60t = 13.75 ,解得 t =

2.75 . 13 2.75 h. 13

汽车由相遇点再去考场所需时间也是

所以用这一方案送这 8 人到考场共需

15 + 2 ×

2.75 × 60 ≈ 40.4 < 42 . 13

所以这 8 个个能在截止进考场的时刻前赶到. 方案 2:8 人同时出发,4 人步行,先将 4 人 用车送到离出发点 xkm 的 A 处,然后这 4 个人步行 前往考场,车回去接应后面的 4 人,使他们跟前面 4 人同时到达考场. 由 A 处步行前考场需 15 ? x (h) , 5 汽车从出发点到 A 处需 了 5 × x (km) , 60 设汽车返回 t (h)后与先步行的 4 人相遇,则有
60t + 5t = x ? 5 ×

x (h) 先步行的 4 人走 60

11x , x ,解得 t= 60 780

所 以 相 遇 点 与 考 场 的 距 离 为
15 ? x + 60 × 11x 2x = 15 ? (km) . 780 13
?4 390 ?

由相遇点坐车到考场需 ? 1 ? x ? (h) . ? ? 所以先步行的 4 人到考场的总时间为
x ? ? x 11x 1 + ? ? + ? (h) , ? 60 780 4 390 ?

先 坐 车 的 4 人 到 考 场 的 总 时 间 为 ? x 15 ? x ? ? + ? (h) , 5 ? ? 60 他 们 同 时 到 达 , 则 有
x 11x 1 x x 15 ? x ,解得 x = 13 . + + ? = + 60 780 4 390 60 5

15 3 × 3 = (h) = 45 (分钟) Q 45 > 42 , , 60 4
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将 x = 13 代入上式,可得他们赶到考场所需时间

. 为 ? 13 + 2 ? × 60 = 37 (分钟) ? ? ? 60 5 ?

Q 37 < 42 . ∴ 他们能在截止进考场的时刻前到达
考场。 12、6 月 1 日起,某超市开始有偿提供可重复使 、 .. 用的三种环保购物袋,每只售价分别为 1 元、2 元和 3 元,这三种环保购物袋每只最多分别能装大米 3 公 斤、5 公斤和 8 公斤.6 月 7 日,小星和爸爸在该超 市选购了 3 只环保购物袋用来装刚买的 20 公斤散装 大米,他们选购的 3 只环保购物袋至少应付给超市 .. 元? 13、已知甲、乙两辆汽车同时、同方向从同一地点 A .. .. .... 出发行驶. (1)若甲车的速度是乙车的 2 倍,甲车走了 90 千米 后立即返回与乙车相遇,相遇时乙车走了 1 小时.求 甲、乙两车的速度; (2)假设甲、乙每辆车最多只能带 200 升汽油,每 升汽油可以行驶 10 千米,途中不能再加油,但两车 可以互相借用对方的油,若两车都必须沿原路返回到 出发点 A,请你设计一种方案使甲车尽可能地远离出 发点 A,并求出甲车一共行驶了多少千米? 解: (1)设甲,乙两车速度分别是 x 千米/时和 y 千米 /时, 根据题意得: ?

停处又用了 100 升油,此时甲没有油了,再向乙借油 50 升,一同返回到 A 点. 此时,甲车行驶了 50 ×10 × 2 + 100 ×10 × 2 = 3000 (千米) . 14、某工程机械厂根据市场需求,计划生产 A、B 两 种型号的大型挖掘机共 100 台,该厂所筹生产资 金不少于 22400 万元,但不超过 22500 万元,且 所筹资金全部用于生产此两型挖掘机,所生产的 此两型挖掘机可全部售出,此两型挖掘机的生产 成本和售价如下表: 型号 成本(万元/台) 售价(万元/台) A 200 250 B 240 300

(1)该厂对这两型挖掘机有哪几种生产方案? (2)该厂如何生产能获得最大利润? (3)根据市场调查,每台 B 型挖掘机的售价不
会改变,每台 A 型挖掘机的售价将会提高 m 万元(m>0), 该厂应该如何生产可以获得最大 利润?(注:利润=售价-成本)

?x = 2 y ? x 1 + y 1 = 90 × 2

.解之得:

? x = 120 . ? ? y = 60
即甲、乙两车速度分别是 120 千米/时、60 千米/时. (2)方案一 方案一:设甲汽车尽可能地远离出发点 A 行驶 方案一 了 x 千米,乙汽车行驶了 y 千米,则

? x + y ≤ 200 × 10 × 2 ? ? x ? y ≤ 200 ×10 x ≤ 3000 .



2 x ≤ 200 ×10 × 3



即甲、乙一起行驶到离 A 点 500 千米处,然后甲向乙 借油 50 升,乙不再前进,甲再前进 1000 千米返回到 乙停止处,再向乙借油 50 升,最后一同返回到 A 点, 此时,甲车行驶了共 3000 千米. 方案二: 方案二 (画图法) 如图 甲行 500 千米 甲借油 50 升,甲行 1000 千米

乙行 500 千米

甲再借油 50 升返回

. 此时, 甲车行驶了 500 × 2 + 1000 × 2 = 3000(千米) 方案三:先把乙车的油均分 4 份,每份 50 升.当甲 方案三 乙一同前往,用了 50 升时,甲向乙借油 50 升,乙停 止不动,甲继续前行,当用了 100 升油后返回,到乙
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15、 15、 在前往汶川抗震救灾的道路上,许多路段 被大量的山体滑坡严重阻碍,前往救援的先遣部队在 清理一处塌方路段时发现,该处山体塌方足有 9000 方(1 方等于 1 立方米) ,如果用一台挖掘机,每小时 可清除 66 方,但这样需要 100 多个小时才能完成。 时间就是生命,为了争取尽快完成塌方清理任务,指 挥部决定增派挖掘机,但由于路面条件的限制,每多 一台挖掘机参加挖掘,每台挖掘机每小时就要减少清 除 6 方。为了能够在最短时间内完成该路段的清 理任务,应增派几台挖掘机?最短能在几小时内 完成?(精确到 1 小时) 研析】 : 用 【研析】 设增派 x 台, y 小时可完成任务, 则共有(x+1)台挖掘机,每台的工作效率是每小 时能清除(66-6x)方,依题意,得 y=

9000 ,显然,当(x+1) (66-6x) ( x + 1)( 66 ? 6 x )

取最大值时,y 取最小值。 设 S=(x+1) (66-6x)=-6 ( x ? 5 ) +216,当 x=5
2

按第一种情况计算:(2 × 11 + 17 × 6) × 2 = 248(元) ; 按第二种情况计算:(5 × 11 + 4 × 17) × 2 = 246(元) ; . 按第三种情况计算:(8 × 11 + 2 × 17) × 2 = 244 (元) 方案一比方案二盈利较多. (3)设甲店配 A 种水果 x 箱.则甲店配 B 种水果

时,S 最大值=216, 此时,y 最小=

9000 ≈42(小时) 。 216

因此,应增派 5 台挖掘机,最短能在 42 小时内完成。 16、随着大陆惠及台胞政策措施的落实,台湾水 果进入了大陆市场.一水果经销商购进了 A B 两种 , 台湾水果各 10 箱,分配给他的甲、乙两个零售店(分 别简称甲店、乙店)销售.预计每箱水果的盈利情况 如下表:

(10 ? x) 箱,
乙 店 配 A 种 水 果 (10 ? x ) 箱 , 乙 店 配 B 种 水 果

10 ? (10 ? x) = x 箱.
B 种水果/箱
17 元 13 元 有两种配货方 案(整箱配 货) : 方案一:甲、

A 种水果/箱
甲店 乙店 11 元 9元

1 Q 9 × (10 ? x) + 13 x ≥ 100 , ∴ x ≥ 2 . 2
经销商盈利为

y = 11x + 17 × (10 ? x ) + 9 × (10 ? x ) + 13 x = ?2 x + 260 .
当 x = 3 时, y 值最大.
方案:甲店配

B 乙两店各配货 10 箱, 其中 A 种水果两店各 5 箱, 种
水果两店各 5 箱; 方案二:按照甲、乙两店盈利相同配货,其中 A 种水 果甲店 箱,乙店 箱,乙店 箱. 箱; B 种水果甲店

A 种水果 3 箱, B 种水果 7 箱.乙店配 A 种水

果 7 箱, B 种水果 3 箱.最大盈利: ?2 × 3 + 260 = (元) .

254

17、 17、在一平直河岸 l 同侧有 A,B 两个村庄, A,B 到

(1)如果按照方案一配货,请你计算出经销商能盈 利多少元; (2) 请你将方案二填写完整 (只填写一种情况即可) , 并根据你填写的方案二与方案一作比较,哪种方案盈 利较多? (3)在甲、乙两店各配货 10 箱,且保证乙店盈利不 小于 100 元的条件下,请你设计出使水果经销商盈利 最大的配货方案,并求出最大盈利为多少? 解: (1)按照方案一配货,经销商盈利:

l 的距离分别是 3km 和 2km, AB = akm (a > 1) .现
计划在河岸 l 上建一抽水站 P ,用输水管向两个村庄 供水.方案设计 方案设计 某班数学兴趣小组设计了两种铺设管道方案: 13-1 图 是方案一的示意图,设该方案中管道长度为 d1 ,且

d1 = PB + BA(km) (其中 BP ⊥ l 于点 P ) ;图 13-2
是方案二的示意图,设该方案中管道长度为 d 2 ,且

5 × 11 + 5 × 9 + 5 × 17 + 5 × 13 = 250 (元)
(2)只要求学生填写一种情况. 第一种情况:2,8,6,4;第二种情况 5,5,4,6; 第三种情况:8,2,2,8.
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d 2 = PA + PB (km) (其中点 A′ 与点 A 关于 l 对称, A′B 与 l 交于点 P ) 观察计算 .观察计算
(1) 在方案一中, 1 = d km (用含 a 的式子表示) ;

(2)在方案二中,组长小宇为了计算 d 2 的长,作了 A 图 13-1 A C B P l A K C B P l

B P l

A′ 图 13-2

A′ 图 13-3

如图 13-3 所示的辅助线,请你按小宇同学的思路计 算, d 2 = 探索归纳 (1)①当 a = 4 时,比较大小: d1 _______ d 2 (填 “>”“=”或“<”; 、 ) ②当 a = 6 时,比较大小: d1 _______ d 2 (填“>” 、 “=”或“<”; ) (2) 请你参考右边方框中的方法指导, a(当 a > 1 就 时)的所有取值情况进行分析,要使铺设的管道长度 较短, 应选择方案一还是方案二? 方法指导 当不易直接比较两个正数 m 与 n 的大小时, 可以对它们的平方进行比较: Q m 2 ? n 2 = (m + n)(m ? n) , m + n > 0 , ∴ (m 2 ? n 2 ) 与 (m ? n) 的符号相同. 2 2 当 m ? n > 0 时, m ? n > 0 ,即 m > n ; 2 2 当 m ? n = 0 时, m ? n = 0 ,即 m = n ; 2 2 当 m ? n < 0 时, m ? n < 0 ,即 m < n ; km(用含 a 的式子表示) .

综上可知:当 a > 5 时,选方案二;当 a = 5 时,选方 案一或方案二; 当 1 < a < 5 (缺 a > 1 不扣分)时,选方案一. 18、 小红和小明在操场做游戏,他们先在地上画了半径 分别为 2 m 和 3 m 的同心圆(如图 2-2-3),蒙上眼在一定 距离外向圈内掷小石子,掷中阴影 小红胜;否则小明胜,未掷入圈内不 算,你来当裁判. (1)你认为游戏公平吗?为什么? (2)游戏结束,小明边走边想:“反过来,能否用频率估计 概率的方法来估算非规则图形的面积呢?”请你设计方 案,解决这一问题. 解:(1)不公平.

9π ? 4π 5 = ,即小红胜 9π 9 5 4 率为 ,小明胜率为 ,两者不等. 9 9
∵P( 阴 )= ∴游戏对双方不公平. (2)能利用频率估计概率的试验方法估算非规则图形 的面积.

解.观察计算 观察计算 (2) a + 24 . (1) a + 2 ;
2

设计方案:(注意表达方式) 注意表达方式) ①设计一个可测量面积的规则图形,将非规则图形围 起来(如正方形,其面积为 S).如图所示; ②往图形中掷点(如蒙上眼睛往图形中随意掷石子,掷 在图外不作记录); ③当掷点数充分大(如 1 万次)时,记录并统计结果,设掷 入正方形内 m 次,其中 n 次掷入要测量的非规则图形 内;
2 2

探索归纳 (2) (1)① < ;② > ;

d12 ? d 22 = (a + 2) 2 ? ( a 2 + 24)2 = 4a ? 20 .
① 当 4a ? 20 > 0 , 即 a > 5 时 , d1 ? d 2 > 0 ,
2 2

∴ d1 ? d 2 > 0 .∴ d1 > d 2 ;
② 当 4a ? 20 = 0 , 即 a = 5 时 , d1 ? d 2 = 0 ,

④设非规则图形的面积为 S1,用频率估计概率,即频率 P′(掷入非规则图形)=

∴ d1 ? d 2 = 0 .∴ d1 = d 2 ;
③ 当 4a ? 20 < 0 , 即 a < 5 时 , d1 ? d 2 < 0 ,
2 2

n ≈概率 P(掷入非规则图形 m

内)=

S1 n S Sn ,故 ≈ 1 ? S1 ≈ . S m S m

∴ d1 ? d 2 < 0 .∴ d1 < d 2 .
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