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高考数学三角函数知识点总结及练习



三角函数总结及统练
一. 教学内容: 三角函数总结及统练 (一)基础知识 1. 与角 ? 终边相同的角的集合 S ? {? ? 2k? ? ? , k ? Z} 2. 三角函数的定义(六种)——三角函数是 x 、 y 、 r 三个量的比值 3. 三角函数的符号——口诀:一正二弦,三切四余弦。 4. 三角函数线 正弦线 MP= sin ? 余弦线 OM= cos? 正切线

AT= tan ?

5. 同角三角函数的关系

平方关系: 倒数关系: tan ? ? cot ? ? 1

商数关系:

sin ? ?cs c ? ?1

cos ? ?s ec ? ?1

口诀:凑一拆一;切割化弦;化异为同。 6. 诱导公式——口诀:奇变偶不变,符号看象限。

?

2k? ? ?

??

? ??

? ??

2? ? ?

?
2

??

?
2

??

正弦 余弦 正切

sin ?

? sin ?

sin ?

? sin ?

? sin ?

cos?
tan ? cot ?

cos?
? tan ? ? cot ?

? cos?
? tan ? ? cot ?

? cos?
tan ? cot ?

cos?
? tan ? ? cot ?

cos? sin ?
cot ? tan ?

cos? ? sin ?
? cot ? ? tan ?

余切 7. 两角和与差的三角函数

? ?c o s ? ?c o? s ?s i n ? ?s i n?( ? ? ) ? s i n tan ? ?t an ? ? tan ?(? ? ) ? ?s i n?( ? ? ) ? s i n ? ? ?c o s ? ?c o? s ?s i n ? 1? t a n ? ?t a n ? ? ? ?? ? ?( ? ? ) ? c o ? s ?c o s ? ?si n ? ?s i n ? tan ? ?t an ? ?c o s ?t a n ?(? ? ) ? ? ? 1? t a n ? ?t a n ? ?( ? ? ) ? c o ? s ?c o s ? ?sin ? ?s i n ? ? ?c o s
8. 二倍角公式——代换:令 ? ? ?

? ?sin 2? ? 2 sin ? ? cos? ? 2 2 2 2 ?cos 2? ? 2 cos ? ? 1 ? 1 ? 2 sin ? ? cos ? ? sin ? ? 2 tan? ?tan 2? ? 1 ? tan2 ? ?
1 ? cos 2? ? 2 sin ? ? ? ? 2 ? ?cos2 ? ? 1 ? cos 2? ? 2 降幂公式 ?

半角公式:

sin

?
2

??

1 ? cos? ? 1 ? cos? ? 1 ? cos? cos ? ? tan ? ? 2 2 2 1 ? cos? 2 ; ;

tan

?
2

?

1 ? cos ? sin ? ? sin ? 1 ? cos ?

9. 三角函数的图象和性质

函数

y ? sin x

y ? cos x

y ? tan x

图象

定义 域

R

R

? ? ? ? x | x ? R且x ? k? ? , k ? Z ? 2 ? ?

[ ?1,1]

[ ?1,1]

x ? 2k? ? ? / 2 时
值域 最值

x ? 2k? 时 ymax ? 1 x ? 2k? ? ? 时
R 无最大值 无最小值

ymax ? 1
x ? 2k? ? ? / 2 时

ymin ? ?1

ymin ? ?1
周期为 2? 奇函数 周期为 2? 偶函数 周期为 ? 奇函数

周期性 奇偶性

在 单调性

[ 2k? ?

?
2

,2k? ?

?
2

]

在 [2k? ? ? ,2k? ] 上都 是增函数,在

? ?? ? ? k? ? , k? ? ? 2 2?内 在?
都是增函数( k ? Z )

上都是增函数;在

3 [2k? ? ,2k? ? ? ] 2 2
上都是减函数( k ? Z )

?

[2k? ,2k? ? ? ] 上都是
减函数( k ? Z )

10. 函数 y ? A sin(?x ? ? ) 的图象变换

A ? 0, ? ? 0

函数 y ? A sin(?x ? ? ) 的图象可以通过下列两种方式得到:
1 横坐标缩短到原来的 倍

??? ?? y ? sin(x ? ? ) ????????? (1) y ? sin x ????

图象左移?

A倍 y ? sin(?x ? ? ) ?纵坐标伸长为原来的 ???????? ?? y ? A sin(?x ? ? )

? ??? y ? sin(?x) ????? ?? (2) y ? sin x ?????????
1 横坐标缩短到原来的 倍 图象左移

A倍 y ? sin(?x ? ? ) ?纵坐标伸长为原来的 ???????? ?? y ? A sin(?x ? ? )

(二)数学思想与基本解题方法 1. 式子变形原则:凑一拆一;切割化弦;化异为同。 2. 诱导公式原则:奇变偶不变,符号看象限。 3. 估用公式原则:一看角度,二看名称,三看特点。 4. 角的和与差的相对性 如: ? ? (? ? ? ) - ? 角的倍角与半角的相对性

如: 5. 6. 7. 8.

? ?2

? ?
2 2 ,

?2

?
4

升幂与降幂:升幂角减半,降幂角加倍。 数形结合:心中有图,观图解题。 等价转化的思想:将未知转化为已知,将复杂转化为简单,将高级转化为低级。 换元的手段:通过换元实现转化的目的。

【典型例题】
y ? a sin x ? b cos x ? a 2 ? b 2 sin( x ? ? ), tan ? ? b a (化成一个角的一个三角函数)

1. 如:

? ? ? y ? sin x ? cos x ? 2 sin(x ? );y ? sin x ? 3 cos x ? 2 sin(x ? ) ? ? 4 3 ? ? y ? 3 sin x ? cos x ? 2 sin(x ? ? ) ? 6 ?
[例 1] 求下列函数的最大值和最小值及何时取到? (1) f ( x) ? sin x ? 2 sin x ? cos x ? 3 cos x
2 2

(2) f ( x) ? sin x ? sin x ? cos x ? 1
2

解:

(1)

y ? 2 ? 2 sin( 2 x ?

?

4 , ymax ? 2 ? 2 ,

)

x ? k? ?

?
8

(k ? Z )

y min ? 2 ? 2 , x ? k? ?

3? (k ? Z ) 8

(2)

y?

3? 3 2 ? 3? 2 x ? k? ? (k ? Z ) ? sin(2 x ? ) y max ? 8 2 2 4 , 2 ,

y min ?

? 3? 2 x ? k? ? (k ? Z ) 8 2 ,

2.“1”的妙用——凑一拆一 熟悉下列三角式子的化简

1 ? 2 sin ? ? cos? ? sin ? ? cos? ? 2 sin(? ?

?
4

)

1 ? sin ? ? 1 ? 2 sin
1 ? cos? ? 2 sin

?
2

? cos

?
2

? sin

?
2

? cos

?

? 2 sin( ? ) 2 2 4

?

?

?
2 ;

1 ? cos? ? 2 cos

?
2

[例 2] 化简 2 1 ? sin 8 ? 2 ? 2 cos8 ? 答案: ? 2 sin 4 3. 化异为同 [例 3] 已知 tan ? ? 2 ,求:



sin ? ? cos ? (1) sin ? ? cos ?
答案: (1)3; (2) ? 14

sin 2 ? ? 2 2 2 (2) 3 cos ? ? sin ?

[例 4] 已知

tan 2? ? ?2 2 ,

?
2

?? ??

2 cos2
,求:

?
2

? sin ? ? 1

sin ? ? cos?

答案: 3 ? 2 2

4. sin ? ? cos ? 与 sin ? ? cos ? 间的相互转化

(1)若 sin ? ? cos ? ? t ,则

sin ? cos? ?

t 2 ?1 2 ; sin ? ? t 2 ? 1 ; sin ? ? cos ? =

? 2?t2
(2)若 sin ? cos ? ? t ,则 sin ? ? cos? ? ? 1 ? 2t ; sin ? ? cos? ? ? 1 ? 2t

(3)

tan ? ? cot ? ?

1 2 ? sin ? cos ? sin 2?

[例 5] 化简:

tan

?
8

? cot

?
8

?



答案: 2 2

[例 6] 若 ? 在第二象限,

sin

?
2

? cos

?
2

??

? ? 5 sin ? cos 2 2。 2 ,求

答案:

?

3 2

5. 互为余角的三角函数相互转化



??? ?

?

2 ,则 sin ? ? cos ? ; cos? ? sin ? ??) ? 1 ? cos( ? ? ) ? 4 ,则 6

[例 7] 已知

sin(

?
3



1 答案: 4

sin 40? sin 50? ? cos 10? [例 8] 求值:
1 答案: 2



[例 9] 求值: sin 18 ? sin 54 ? ?



1 答案: 4
6. 公式的变形及活用

? ? ? )[1 ? tan? tan ? ] (1) tan? ? tan ? ? tan(
A? B ?

?
4

(2)若

? (1 ? tan A)(1 ? tan B) ? 2

[例 10] 计算 (1 ? tan1?)(1 ? tan2?)(1 ? tan3?)?(1 ? tan45?) ? 答案: 2
23



[例 11] tan70? ? tan10? ? 3 tan70? tan10? ? 答案: 3 7. 角的和与差的相对性;角的倍角与半角的相对性



1 tan ? ? , tan( ? ? ? ) ? 2 3 [例 12] 若 ,则 tan ? ?
答案:7



[例 13] 若

5 cos( ? ?

?
2

) ? 7 cos

?
2

?0

,则

tan

? ??
2

tan

?
2

?



答案: ? 6

[例 14] 在 ?ABC 中,A 为最小角,C 为最大角,且 cos(2 A ? C ) ? ?0.8 , sin B ? 0.8 ,求

cos(2B ? 2C ) 的值。

527 答案: 625

8. 角的范围的限定 由于条件中的三角式是有范围限制的,所以求值时可排除值的多样性。

1 sin ? ? cos ? ? , ? ? (0, ? ) 3 [例 15] 已知 ,求 cos 2? 。

答案:

?

17 9

[例 16] 若 ? 是第二象限角且

sin

?
2

? cos

?
2

??

? ? 5 sin ? cos 2 2 的值。 2 ,求

解法一:利用公式

(sin

?
2

? cos

?
2

) 2 ? 1 ? sin ?

然后限定角的范围。

解法二:设

sin

?
2

? cos

?
2

?t

利用平方和求 t 的值,然后限定角的范围。

解法三:利用

(sin

?
2

? cos

?
2

)(sin

?
2

? cos

?

) 2 ? ? cos? ,可回避限定角的范围。

答案:

?

3 2

9. 在三角形中的有关问题

A? B ? C ? ? A ? B ? C ? 180 ? ; A ? B ? 180 ? ? C ; 2 2 2
结论: sin(A ? B) ? sin C ; cos(A ? B) ? ? cosC

sin

A? B C A? B C ? cos cos ? sin 2 2 ; 2 2

[例 17] 已知 A、B、C 是 ?ABC 的内角且 lg sin A ? lg sin B ? lg cosC ? lg 2 ,试判断此三角形 的形状。 答案:等腰三角形,B=C [例 18] 在锐角三角形 ABC 中,求证: sin A ? sin B ? sin C ? cos A ? cos B ? cos C

证明:由

A? B ?

?
2则

0?

?
2

?B? A?

?
2

故 sin A ? cos B 三式相加,得证。

同理 sin B ? cos C

sin C ? c o sA

n 10. 形如 cos2? ? cos4? ? cos8? ?cos2 ? 的化简

[例 19] 求值: (1) cos 36? cos 72?

(2)

cos

?
7

cos

2? 4? cos 7 7

1 1 ? 答案: (1) 4 (2) 8
11. 三角函数图像和性质的应用 会求——定义域、值域、最值、周期、对称轴、单调区间( “一套” ) ;会解——简单的三角 不等式、三角方程、比较大小。 [例 20] 求下列函数的定义域。 (1) y ? lg sin(cosx) (2) y ? 答案:

2 ? log0.5 x ? tan x

(1)

(2k? ?

?
2

,2k? ?

?
2

)( k ? Z )

(0, ) ? [? ,4] 2 (2)
[例 21] 求下列函数的值域。

?

(1)

y?

sin x x ? [0, ? ] 2 ? sin x

(2)若 x 是锐角,则 y ? sin x ? cos x 的值域。

1 [ 0, ] 3 答案: (1)

(2) (1, 2 ]

12. 可化为形如: y ? A sin(?x ? ? ) ? B 的形式(一个角的一个三角函数)

[例 22] 已知函数 y ? 3 cos x ? 2 3 sin x cos x ? sin x ,求“一套” 。
2 2

答案:

y ? 2 sin( 2 x ?

?
6

)?2

,定义域:R;值域: [0,4] , y max ? 4 , y min ? 0 ; T ? ?

对称轴

x?

k? ? ? (k ? Z ) 2 6

增区间:

[k? ?

?
3

, k? ?

?
6

]

减区间:

[k? ?

?
6

, k? ?

2? ]( k ? Z ) 3

13. 函数 y ? A sin(?x ? ? ) ? B 的图像的变换——两个题型,两种途径 题型一:已知解析式 y ? A sin(?x ? ? ) ? B 确定其变换方法 变换有两种途径:其一,先平移后横向伸缩;其二,先横向伸缩后平移。 注:关注先横向伸缩后平移时平移的单位与 ? 的关系 题型二:由函数图像求其解析式 y ? A sin(?x ? ? ) ? B

[例 23] 已知函数 y ? A sin(?x ? ? ) , ( A ? 0, ? ? 0 ,

? ?

? ? x? 2 )在一个周期内,当 6 时,

y 有最大值为 2,当

x?

2? 3 时, y 有最小值为 ? 2 ,求函数表达式,并画出函数

y ? A sin(?x ? ? ) 在一个周期内的简图。 (用五点法列表描点)

答案:

y ? 2 sin( 2 x ?

?
6

)

14. 可化为形如: y ? at ? bt ? c , t ? D (定义域有限制的一元二次函数)
2

y?
[例 24] 求函数

3 (2 ? cos x)(5 ? cos x) 的值域

1 1 [ , ] 解: 4 2

[例 25] 已知 y ? cos 2 x ? a sin x ,若记其最大值为 g (a ) ,求 g (a ) 的解析式。

a 2 a2 y ? ?(sin x ? ) ? 1 ? 2 4 ,当 a ? 2 时, g (a) ? a 解: g (a) ? 1 ? a2 4

当 ? 2 ? a ? 2 时,

当 a ? ?2 时, g (a) ? ?a 15. 周期函数与周期 [例 26] 已知函数 y ? f ( x) 对定义域中每一个 x 都有 f (2 x ? T ) ? f (2 x) , 其中 T ? 0 , 则 f ( x) 的周期 解:T 。

[例 27] 已知奇函数 y ? f ( x) 对定义域中每一个 x 都有 f ( x ? 2) ? ? f ( x) 成立,求其周期。 解:4 [例 28] 已知奇函数 y ? f ( x) 对定义域中每一个 x 都有 f ( x ? 2) ? f (2 ? x) 成立,求其周期。 解:8

[例 29] 已知奇函数 y ? f ( x) 对定义域中每一个 x 都有 解:6

f ( x ? 3) ?

1 f ( x) 成立,求其周期。

[例 30] 已知奇函数 y ? f ( x) 对定义域中每一个 x 都有 解:6 16. 函数与方程的思想 [例 31] 方程 100 sin x ? x 的解的个数 解:63 。

f ( x ? 3) ?

1 ? f ( x) 1 ? f ( x) 成立 ,求其周期。

【模拟试题】 (答题时间:60 分钟)
1. 求下列函数的最大值和最小值及何时取到?
6 f ( x) ? s i n x?c o6 sx
2 2 2. 已知 tan ? ? 2 ,求: sin ? ? 2 sin ? cos? ? 3 cos ?

3. 设

sin ? cos ? ?

1 4 ,则 sin ? ? cos ? ?



4. 求 y ? sin x ? cos x ? sin x cos x 的最大值和最小值。

cos 40? ? sin 50?(1 ? 3 tan10?)
5. 求值:

sin 70? 1 ? cos 40?



6. 若

sin ? ? cos ? ? ?

1 5 ; ? ? (0, ? ) ,求 cot ?
tan(? ? ? ) ? 1 1 tan ? ? ? 2, 7 ,求 2? ? ? 的值。

7. 已知 ? 、 ? ? (0, ? ) 且 8.

a 为何值时方程 cos 2 x ? cos x ? a ? 0 有解?

9. 方程 cos 2 x ? a sin x ? 0 , x ? [0, ? ] 有两解时求 a 的值。 10. 求值: (1) cos 20? cos 40? cos 60? cos 80?

(2) sin 18? sin 54? 11. 求下列函数的定义域。

y ? lg s i n x ? t a nx ? 3
12. 已知函数 y ? 3 cos x ? 2 3 sin x cos x ? sin x ,当
2 2

x ? [?

? ?

, ] 4 4 时,求函数的最大值

和最小值及何时取到?

【试题答案】
3 k? y ? 1 ? sin 2 2 x x? (k ? Z ) 4 2 1. , y max ? 1 ,
y m i n? 11 2. 5 1 k? ? x? ? (k ? Z ) 4, 2 4

3.

?

6 2
y?
3 1 3 3 y max ? ? 2 (t ? 1) 2 ? y min ? ? 4 2 4 , t ? [? 2 , 2 ] , 4,

4. 令 t ? sin x ? cos x ,

5. 7.

2

6.

?

4 3

提示:关键是角的范围的限定,逐层限定角的范围,逐步求细。

解:

tan ? ? tan[( ? ? ? ) ? ? ] ?

1 3

t an 2? ( ? ? ) ? t a n? [( ? ? ) ??] ? 1

?
又由 2

? ? ??



? ? ? ?? ? ?

?
2, 3? 4

0 ?? ?

?
4得

0 ? 2? ?

?
2

则 ? ? ? 2? ? ? ? 0 故

2? ? ? ? ?

9 a ? [ ?2, ] 8 8.
9. a ? (??,1)

1 10.(1) 16 (2k? ,2k? ?

1 (2) 4

?
2

11.

) ? (2k? ?

2? ,2k? ? ? ) 3 (k ?Z )

12. 当

x??

?
4 时, ymin ? 2 ? 3 ;

x?

?

6 时, y max ? 4



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