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江苏省数学联赛 5.5 前后 预赛 通过率 5%

7.24 前后 复赛 通过率 70% 10.14 前后 决赛 决赛评奖 500 名一等奖 二三等奖若干 只有一等奖有证书 全省前 6 名进省队保送各高校

附 2011 年全国高中数学联合竞赛一试试题(A 卷)
考试时间:2011 年 10 月 16 日 8:00—9:20

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一、填空题:本大题共 8 小题,每小题 8 分,共 64 分.把答案填在横线上. 1.设集合 A ? {a1 , a2 , a3 , a4 } ,若 A 中所有三元子集的三个元素之和组成的集合 为 B ? {?1, 3, 5, 8} ,则集合 A ? .

2.函数 f ( x) ?

x 2 ?1 x ?1

的值域为



3.设 a, b 为正实数, ? ? 2 2 , (a ? b) 2 ? 4(ab) 3 ,则 loga b ?

1 a

1 b



5 ? 4 . 如 果 c o 5s? ? s i n ? ? 7( s i3n ? c o 3s? ) , ? ? [0,2? ) , 那 么 ? 的 取 值 范 围





5.现安排 7 名同学去参加 5 个运动项目,要求甲、乙两同学不能参加同一 个项目,每个项目都有人参加,每人只参加一个项目,则满足上述要求的不同安

排方案数为

. (用数字作答)

6.在四面体 ABCD 中,已知 ?ADB ? ?BDC ? ?CDA ? 60? , AD ? BD ? 3 , CD ? 2 , 则四面体 ABCD 的外接球的半径为 .

7.直线 x ? 2 y ? 1 ? 0 与抛物线 y 2 ? 4 x 交于 A, B 两点, C 为抛物线上的一点,
?ACB ? 90? ,则点 C 的坐标为



8 . 已 知 a n ? C n ??3 6 ? 200 为 .

200 ? n

? 1 ? ? (n ? 1,2, ? ,95) ?? ? ? ? 2?

n

, 则 数 列 {an } 中 整 数 项 的 个 数

二、解答题:本大题共 3 小题,共 56 分.解答应写出文字说明、证明过程 或演算步骤. 9 . 本 小 题 满 分 16 分 ) 设 函 数 f ( x) ?| lg( x ? 1) | , 实 数 a, b(a ? b) 满 足 (
f (a) ? f (? b ?1 ) , f (10a ? 6b ? 21) ? 4 lg 2 ,求 a, b 的值. b?2

10. (本小题满分 20 分)已知数列 {an } 满足: a1 ? 2t ? 3 (t ? R 且 t ? ?1) ,
a n ?1 ? (2t n ?1 ? 3)a n ? 2(t ? 1)t n ? 1 a n ? 2t n ? 1

(n ? N * ) .

(1)求数列 {an } 的通项公式; (2)若 t ? 0 ,试比较 an ?1 与 a n 的大小.

11. (本小题满分 20 分)作斜率为 的直线 l 与椭圆 C :

1 3

x2 y2 ? ?1 36 4

y P O x B A

交于 A, B 两点(如图所示) ,且 P(3 2 , 2 ) 在直线 l 的左上方. (1)证明:△ PAB 的内切圆的圆心在一条定直线上; (2)若 ?APB ? 60? ,求△ PAB 的面积.

2011 年全国高中数学联合竞赛加试试题(A 卷)
考试时间:2011 年 10 月 16 日 9:40—12:10

二、 (本题满分 40 分)证明:对任意整数 n ? 4 ,存在一个 n 次多项式
f ( x) ? x n ? a n ?1 x n ?1 ? ? ? a1 x ? a 0

具有如下性质: (1) a0 , a1 , ?, a n?1 均为正整数; (2)对任意正整数 m ,及任意 k (k ? 2) 个互不相同的正整数 r1 , r2 , ?, rk ,均有
f (m) ? f (r1 ) f (r2 ) ? f (rk ) .

三、 (本题满分 50 分) a1 , a 2 , ?, a n (n ? 4) 是给定的正实数,a1 ? a 2 ? ? ? a n . 设 对

任意正实数 r ,满足 证明: f n (r ) ?

a j ? ai ak ? a j

? r (1 ? i ? j ? k ? n) 的三元数组 (i, j, k ) 的个数记为 f n (r ) .

n2 . 4

四、 (本题满分 50 分)设 A 是一个 3? 9 的方格表,在每一个小方格内各填一 个正整数.称 A 中的一个 m ? n (1 ? m ? 3, 1 ? n ? 9) 方格表为“好矩形” ,若它的所有 数的和为 10 的倍数.称 A 中的一个 1?1 的小方格为“坏格” ,若它不包含于任何 一个“好矩形” .求 A 中“坏格”个数的最大值.



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