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高考一轮复习:指数与指数函数



第 4 讲 指数与指数函数 【2015 年高考会这样考】 1.考查指数函数的图象与性质及其应用. 2.以指数与指数函数为知识载体,考查指数的运算和函数图象的应用. 3.以指数或指数型函数为命题背景,重点考查参数的计算或比较大小. 【复习指导】 1.熟练掌握指数的运算是学好该部分知识的基础,较高的运算能力是高考得分的保障,所 以熟练掌握这一基本技能是重中之重. 2.本讲复习,还应结

合具体实例了解指数函数的模型,利用图象掌握指数函数的性质.重 点解决:(1)指数幂的运算;(2)指数函数的图象与性质. 基础梳理 1.根式 (1)根式的概念 如果一个数的 n 次方等于 a(n>1 且,n∈N*),那么这个数叫做 a 的 n 次方根.也就是,若 xn=a,则 x 叫做 a 的 n 次方根,其中 n>1 且 n∈N*.式子叫做根式,这里 n 叫做根指数,a 叫做被开方数. (2)根式的性质 ①当 n 为奇数时,正数的 n 次方根是一个正数,负数的 n 次方根是一个负数,这时,a 的 n 次方根用符号表示. ②当 n 为偶数时,正数的 n 次方根有两个,它们互为相反数,这时,正数的正的 n 次方根 用符号表示,负的 n 次方根用符号-表示.正负两个 n 次方根可以合写为±(a>0). ③n=a. ④当 n 为奇数时,=a; 当 n 为偶数时,= |a|=. ⑤负数没有偶次方根. 2.有理数指数幂 (1)幂的有关概念 ①正整数指数幂:an=a·a·?· (n∈N*); ②零指数幂:a0=1(a≠0); ③负整数指数幂:a-p=(a≠0,p∈N*); ④正分数指数幂:a=(a>0,m、n∈ N*,且 n>1); ⑤负分数指数幂:a-==(a>0,m、n∈N*且 n>1). ⑥0 的正分数指数幂等于 0,0 的负分数指数幂没有意义. (2)有理数指数幂的性质 ①aras=ar+s(a>0,r、s∈Q) ②(ar)s=ars(a>0,r、s∈Q) ③(ab)r=arbr(a>0,b>0,r∈Q). 3.指数函数的图象与性质 y=ax a>1 0<a<1

图象

定义域 R 值域 (0,+∞) 性质 过定点(0,1)

x<0 时,0<y<1 x<0 时,y>1. 在(-∞,+∞)上是减函数 当 x>0 时,0<y<1; 当 x>0 时,y>1; 在(-∞,+∞)上是增函数

一个关系 分数指数幂与根式的关系 根式与分数指数幂的实质是相同的, 分数指数幂与根式可以相互转化, 通常利用分数指数幂 进行根式的化简运算. 两个防范 (1)指数函数的单调性是由底数 a 的大小决定的,因此解题时通常对底数 a 按:0<a<1 和 a >1 进行分类讨论. (2)换元时注意换元后“新元”的范围. 三个关键点 画指数函数 y=ax(a>0,且 a≠1)的图象,应抓住三个关键点:(1,a),(0,1),. 双基自测 1.(2011·山东)若点(a,9)在函数 y=3x 的图象上,则 tan 的值为( ). A.0 B. C.1 D. 解析 由题意有 3a=9,则 a=2,∴tan =tan =. 答案 D 2.(2012·郴州五校联考)函数 f(x)=2|x-1|的图象是( ). 解析 f(x)=故选 B. 答案 B 3.若函数 f(x)=,则该函数在(-∞,+∞)上是(

).

A.单调递减无最小值 B.单调递减有最小值 C.单调递增无最大值 D.单调递增有最大值 解析 设 y=f(x),t=2x+1, 则 y=,t=2x+1,x∈(-∞,+∞) t=2x+1 在(-∞,+∞)上递增,值域为(1,+∞). 因此 y=在(1,+∞)上递减,值域为(0,1). 答案 A 4.(2011·天津)已知 a=5log23.4,b=5log43.6,c=log30.3,则( ). A.a>b>c B.b>a>c C.a>c>b D.c>a>b 解析 c=log30.3=5-log30.3=5log3,log23.4>log22=1,log43.6<log44=1,log3>log33 =1, 又 log23.4>log2>log3 ,∴log2 3.4>log3 >log4 3.6 又∵y=5x 是增函数,∴a>c>b. 答案 C 5.(2012·天津一中月考)已知 a+a-=3,则 a+a-1=______;a2+a-2=________. 解析 由已知条件(a+a-)2=9.整理得:a+a-1=7 又(a+a-1)2=49,因此 a2+a-2=47. 答案 7 47 考向一 指数幂的化简与求值 【例 1】?化简下列各式(其中各字母均为正数). (1); (2)a·b-2·(-3a-b-1)÷(4a·b-3). [审题视点] 熟记有理数指数幂的运算性质是化简的关键. 解 (1)原式= =a---·b+-=. (2)原式=-a-b-3÷(4a·b-3) =-a-b-3÷ =-a-·b- =-·=-. 化简结果要求 (1)若题目以根式形式给出,则结果用根式表示; (2)若题目以分数指数幂的形式给出,则结果用分数指数幂表示; (3)结果不能同时含有根号和分数指数幂,也不能既有分母又有负指数幂. 【训练 1】 计算: (1)0.027---2+-0; (2)-·. 解 (1)原式=--(-1)-2-2+-1 =-49+-1=-45. (2)原式=·a·a-·b·b-=a0·b0=. 考向二 指数函数的性质 【例 2】?已知函数 f(x)=·x3(a>0 且 a≠1). (1)求函数 f(x)的定义域; (2)讨论函数 f(x)的奇偶性;

(3)求 a 的取值范围,使 f(x)>0 在定义域上恒成立. [审题视点] 对解析式较复杂的函数判断其奇偶性要适当变形;恒成立问题可通过求最值解 决. 解 (1)由于 ax-1≠0,且 ax≠1,所以 x≠0. ∴函数 f(x)的定义域为{x|x∈R,且 x≠0}. (2)对于定义域内任意 x,有 f(-x)=(-x)3 =(-x)3=(-x)3 =x3=f(x), ∴f(x)是偶函数. (3)当 a>1 时,对 x>0,由指数函数的性质知 ax>1, ∴ax-1>0,+>0. 又 x>0 时,x3>0,∴x3>0, 即当 x>0 时,f(x)>0. 又由(2)知 f(x)为偶函数,即 f(-x)=f(x), 则当 x<0 时,-x>0,有 f(-x)=f(x)>0 成立. 综上可知,当 a>1 时,f(x)>0 在定义域上恒成立. 当 0<a<1 时,f(x)=. 当 x>0 时,1>ax>0,ax+1>0, ax-1<0,x3>0,此时 f(x)<0,不满足题意; 当 x<0 时,-x>0,f(-x)=f(x)<0,也不满足题意. 综上可知,所求 a 的取值范围是 a>1. (1)判断此类函数的奇偶性,常需要对所给式子变形,以达到所需要的形式,另外,还可利 用 f(-x)±f(x),来判断. (2)将不等式恒成立问题转化为求函数值域问题,是解决恒成立问题的常用方法. 【训练 2】 设 f(x)=+是定义在 R 上的函数. (1)f(x)可能是奇函数吗? (2)若 f(x)是偶函数,试研究其在(0,+∞)的单调性. 解 (1)假设 f(x)是奇函数,由于定义域为 R, ∴f(-x)=-f(x),即+=-, 整理得(ex+e-x)=0, 即 a+=0,即 a2+1=0 显然无解. ∴f(x)不可能是奇函数. (2)因为 f(x)是偶函数,所以 f(-x)=f(x), 即+=+, 整理得(ex-e-x)=0, 又∵对任意 x∈R 都成立,∴有 a-=0,得 a=±1. 当 a=1 时,f(x)=e-x+ex,以下讨论其单调性, 任取 x1,x2∈(0,+∞)且 x1<x2, 则 f(x1)-f(x2)=ex1+e-x1- ex2-e-x2 =, ∵x1,x2∈(0,+∞)且 x1<x2, ∴ex1+x2>1,ex1-ex2<0,∴ex1+x2-1>0, ∴f(x1)-f(x2)<0,即 f(x1)<f(x2),

∴函数 f(x)=+, 当 a=1 时在(0,+∞)为增函数, 同理,当 a=-1 时,f(x)在(0,+∞)为减函数. 考向三 指数函数图象的应用 【例 3】?(·山东)函数 y=的图象大致为( ). [审题视点] 函数图象的判断要充分利用函数的性质,如奇偶性、单调性. 解析 y==1+,当 x>0 时,e2x-1>0 且随着 x 的增大而增大,故 y=1+>1 且随着 x 的增大而减小,即函数 y 在(0,+∞)上恒大于 1 且单调递减,又函数 y 是奇函数,故选 A. 答案 A 利用指数函数的图象和性质可研究复合函数的图象和性质, 比如: 函数 y=, y=, y=lg(10x -1)等. 【训练 3】 已知方程 10x=10-x,lg x+x=10 的实数解分别为α 和β ,则α +β 的值是 ________. 解析 作函数 y=f(x)=10x,y=g(x)=lg x,y=h(x)=10-x 的图象如图所示,由于 y=f(x)与 y=g(x)互为反函数,∴它们的图象是关于直线 y=x 对称的.又直线 y=h(x)与 y=x 垂直,∴ y=f(x)与 y=h(x)的交点 A 和 y=g(x)与 y=h(x)的交点 B 是关于直线 y=x 对称的.而 y=x 与 y=h(x)的交点为(5,5). 又方程 10x=10-x 的解α 为 A 点横坐标, 同理, β 为 B 点横坐标. ∴ =5,即α +β =10. 答案 10 难点突破 3——如何求解新情景下指数函数的问题 高考中对指数函数的考查,往往突出新概念、新定义、新情景中的问题,题目除最基本问题 外,注重考查一些小、巧、活的问题,突出考查思维能力和化归等数学思想. 一、新情景下求指数型函数的最值问题的解法 【示例】? (2011·福建五市模拟)设函数 y=f(x)在(-∞,+∞)内 有定义.对于给定的正数 K,定义函数 fK(x)=取函数 f(x)=2+x+e-x,若对任意的 x∈(- ∞,+∞),恒有 fK(x)=f(x),则 K 的最大值为________. 二、新情景下求与指数型函数有关的恒成立问题的解法 【示例】? 若 f1(x)=3|x-1|,f2(x)=2·3|x-a|,x∈R,且 f(x)=则 f(x)=f1(x)对所有实数 x 成立,则实数 a 的取值范围是________.



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