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江苏省2016年高考排列组合、二项式定理、概率相关练习


排列组合、二项式定理、概率

一、填空题 1 . (江苏省盱眙中学 2013 届高三下学期期初检测数学试题)平面内有 7 个点,其中有 5 个点在一条直线 上,此外无三点共线,经过这 7 个点可连成不同直线的条数是____. 2 . (江苏省江都市大桥高中 2013 届高三下学期开学考试数学试题)平面上有相异 10 个点,每两点连线可 确定的直线的条数是每三点为顶点所确定的三角形个数的

? ,若无任意四点共线,则这 10 个点的连线 ?

中有且只有三点共线的直线的条数为__________条. 3 . (江苏省洪泽中学 2013 届高三下学期期初考试数学试题)从甲、乙,,等 6 人中选出 4 名代表,那么(1) 甲一定当选,共有___________种选法.(2)甲一定不入选,共有_______种选法.(3)甲、乙二人至少有一 人当选,共有________种选法. 4 . (苏北老四所县中 2013 届高三新学期调研考试)如图所示的数阵叫“莱布尼兹调和三角形” ,他们是 由整数的倒数组成的,第 n 行有 n 个 数 且 两端 的数 均为

1 ( n ? 2) , 每 个 数 是 它 下 一 行 左 右 相 邻 两 数 的 和 , 如 : n
▲ .

1 1 1 1 1 1 1 1 1 ?,则第 n(n ? 3) 行第 3 个数字是 ? ? , ? ? , ? ? 1 2 2 2 3 6 3 4 12

5 . (江苏省淮阴中学 2013 届高三下学期期初检测数学试题) ? x 3 ? ___________________ ;

? ?

2? ? 的展开式中的常数项等于 x?
7

4

6 . (2012 学年第二学期徐汇区高三学业水平考试数学学科试卷 ) 二项式 ?1 ? 2 x ? 的展开式中,含 x 3 项的 系数为____________. 7 . (苏北老四所县中 2013 届高三新学期调研考试)当 A,B∈{1,2,3}时,在构成的不同直线 Ax-By= 0 中,任取一条,其倾斜角小于 45?的概率是___________ 8 . (南京九中 2013 届高三第二学期二模模拟)已知一颗骰子的两面刻有数字 1,两面刻有数字 2,另两 面刻有数字 3,现将骰子连续抛掷 3 次,则三次的点数和为 3 的倍数的概率为______. 9 . (江苏省南京学大教育专修学校 2013 届高三 3 月月考数学试题)若以连续掷两次骰子分别得到的点数

m, n 作为点 P 的横、纵坐标,则点 P 在直线 x ? y ? 5 上的概率为

.

10. (江苏省南通市、泰州市、扬州市、宿迁市 2013 届高三第二次调研(3 月)测试数学试题)设数列{an} 满足: a3 ? 8, ? an?1 ? an ? 2?? 2an?1 ? an ? ? 0(n ? N* ) ,则 a1 的值大于 20 的概率为 ▲ . 11. (盱眙县新马中学 2013 届高三下学期期初检测数学试题)有一个底面半径为 1,高为 2 的圆柱,点 O 为 这 个圆 柱底面 圆的 圆心 , 在 这个 圆柱内 随机 取一点 P , 则 点 P 到 点 O 的距 离大于 1 的概 率为
1

________; 12. (南京市四星级高级中学 2013 届高三联考调研考试(详细解答)2013 年 3 月 )从 0,1,2,3 这四个数 字中一次随机取两个数字,若用这两个数字组成无重复数字的两位数 ,则所得两位数为偶数的概率是 _____. 13 . (江苏省郑梁梅中学 2013 届高三下学期期初检测数学试题)已知二项分布满足 X~B(6, P(X=2)=___________. 14. (江苏省郑梁梅中学 2013 届高三下学期期初检测数学试题)有 20 张卡片,每张卡片上分别标有两个连 续的自然数 k , k ? 1 ,其中, k ? 0,1,

2 ), 则 3

2,?,19 . 从这 20 张卡片中任取一张 ,记事件“该卡片上两个数的各位数字之和 ( 例如 : 若取到标有

9,10 的 卡 片 , 则 卡 片 上 两 个 数 的 各 位 数 字 之 和 为 9 ? 1 ? 0 ? 10 ) 不 .小 于 14 ” 为 A , 则
P ( A) ? __________
15. (江苏省郑梁梅中学 2013 届高三下学期期初检测数学试题)从装有 3 个红球,2 个白球的袋中随机取出 2 个球,设其中有 ? 个红球,则 P(? ? 1) =______ 16. (江苏省扬州中学 2013 届高三下学期开学质量检测数学试卷)连续抛掷一个骰子(一种各面上分别标 有 1,2,3,4,5,6 个点的正方体玩具)两次,则出现向上点数之和大于 9 的概率是___________. 17. (江苏省扬州中学 2013 届高三 3 月月考数学试题) 将一枚骰子抛掷两次,若先后出现的点数分别为 b, c , 则方程 x ? bx ? c ? 0 有实根的概率为___________.
2

18. (江苏省盐城市 2013 届高三第二次模拟(3 月)考试数学试题)现有在外观上没有区别的 5 件产品, 其中 3 件合格,2 件不合格,从中任意抽检 2 件,则一件合格,另一件不合格的概率为________. 19. (江苏省泰兴市第三高级中学 2013 届高三下学期期初调研考试数学试题 )投掷两颗骰子,得到其向上 的点数分别为 m , n ,设 a ? (m, n) ,则满足 a ? 5 的概率为__________.
?

?

20. (江苏省青阳高级中学 2013 届高三月测试卷(一) (数学) )某日用品按行业质量标准分成五个等级, 等级系数 X 依次为 1, 2,3, 4,5 .现从一批该日用品中抽取 200 件,对其等级系数进行统计分析,得到频率 f 的分布表如下:

X f

1

2 0.2

3 0.45

4 0.15

5 0.1

a

则在所抽取的 200 件日用品中,等级系数 X ? 1 的件数为 ________.

1 1 { , , 2,3} 21. (江苏省青阳高级中学 2013 届高三月测试卷(一) (数学) )从 3 2 中随机抽取一个数记为 a ,
从 {?1,1, ?2, 2} 中 随 机 抽 取 一 个 数 记 为 b , 则 函 数 y ? a ? b 的 图 象 经 过 第 三 象 限 的 概 率 是
x

_____________

2

22. (江苏省青阳高级中学 2013 届高三月测试卷(二) (数学) )从集合 A ? ?? 1,1,2?中随机选取一个数记 为 k , 从集合 B ? ?? 2,1,2? 中随机选取一个数记为 b , 则直线 y ? kx ? b 不经过第三象限的概率为 _________. 23. (江苏省南师附中等五校 2013 届高三下学期期初教学质量调研数学试卷) 若将一颗质地均匀的骰子(一 种各面上分别标有 1,2,3,4,5,6 个点的正方体玩具),先后抛掷两次,则两次点数之和为偶数的概率是 _____. 24. (江苏省南菁高级中学 2013 届高三第二学期开学质量检测数学试卷)若 4 张卡片上分别写有数字 1,2,3,4,从这 4 张卡片中随机抽取 2 张,则取出的 2 张卡片上的数字之和为奇数的概率为____. 25. (江苏省淮阴中学 2013 届高三 3 月综合测试数学试题)甲盒子里装有分别标有数字 1、2、4、7 的 4 张卡片,乙盒子里装有分别标有数字 1、4 的 2 张卡片,若从两个盒子中各随机地取出 1 张卡片,则 2 张 卡片上的数字之和为奇数的概率是______. 26 . ( 江 苏 省 洪 泽 中 学 2013 届 高 三 下 学 期 期 初 考 试 数 学 试 题 ) 设 a, b ? ( 0 , 1 ,)则 关 于

x的方程x2 ? 2ax ? b2 ? 0 在 (??, ?) 上有两个不同的零点的概率为 ___ ___________.
27. (江苏省洪泽中学 2013 届高三下学期期初考试数学试题)从含有 2 件正品和 1 件次品的 3 件产品中每 次任取 1 件,每次取出后再放回,连续取两次,则两次取出的产品中恰好有一件次品的概率是________. 28. (2012 学年第二学期徐汇区高三学业水平考试数学学科试卷 )从集合 ?1,,,, 2 3 4 5 ? 中任取两数,其乘 积大于 10 的概率为_________.(结果用最简分数表示) 二、解答题 29. (苏北老四所县中 2013 届高三新学期调研考试)如图,已知面积为 1 的正三角形 ABC 三边的中点分别 为 D、E、F,从 A,B,C,D,E,F 六个点中任取三个不同的点,所构成的三角形的面积为 X(三点共线 时,规定 X=0) (1)求 P ( X ?
A

1 ); (2)求 E(X) 2

D

E

B

F

C

? 30. (江苏省郑梁梅中学 2013 届高三下学期期初检测数学试题)如图, ?AOB ? 60 , OA ? 2 , OB ? 5 ,在

线段 OB 上任取一点 C , 试求:(1) ?AOC 为钝角三角形的概率; (2) ?AOC 为锐角三角形的概率.

A

O

D

C

E

B
3

31. (江苏省郑梁梅中学 2013 届高三下学期期初检测数学试题)一袋中有同样大小的球 10 个,其中有 8 个 标有 1 元钱,2 个标有 5 元钱,交 5 元钱,可以参加一次摸奖,摸奖者只能从中任取 2 个球,他所得奖励是 所抽 2 球的钱数之和,求抽奖人获利的数学期望.

32. (江苏省扬州中学 2013 届高三下学期开学质量检测数学试卷)今年雷锋日,某中学预备从高中三个年 级选派 4 名教师和 20 名学生去当雷锋志愿者,学生的名额分配如下: (I)若从 20 名学生中选出 3 人参加文明交通宣传,求他们中恰好有 1 人是高一年级学生的概率; (II)若将 4 名教师安排到三个年级(假设每名教师加入各年级是等可能的,且各位教师的选择是相互独 立的),记安排到高一年级的教师人数为 X ,求随机变量 X 的分布列和数学期望. 高一年级 10 人 高二年级 6人 高三年级 4人

33. (江苏省青阳高级中学 2013 届高三月测试卷(三) (数学) )在一次考试中共有 8 道选择题,每道选择 题都有 4 个选项,其中有且只有一个选项是正确的.评分标准规定:“每题只选一个选项,选对得 5 分, 不选或选错得 0 分”.某考生已确定有 4 道题答案是正确的,其余题中:有两道只能分别判断 2 个选项 是错误的,有一道仅能判断 1 个选项是错误的,还有一道因不理解题意只好乱猜,求: (1)该考生得 40 分的概率; (2)该考生得多少分的可能性最大?

34. (江苏省江都市大桥高中 2013 届高三下学期开学考试数学试题)有一个 3×4×5 的长方体, 它的六个 面上均涂上颜色. 现将这个长方体锯成 60 个 1×1×1 的小正方体,从这些小正方体中随机地任取 1 个, 设小正方体涂上颜色的面数为 ? . (1)求 ? ? 0 的概率; (2)求 ? 的分布列和数学期望.

4

江苏省 2013 届高三下学期最新精选试题(27 套)分类汇编 10:排列组合、二项式定理、概率参考答 案 一、填空题 1. 12 2. 3 3. (1) 10 ;(2) 5 ;(3) 14

4. 答: 5. 6. 7. 8. 9. -32

2 , n ? (n ? 1) ? (n ? 2)

280
3 . 7

1 3 1 9

10. 【答案】 1 4

2 3 5 12. 9 20 13. 243
11. 14. 0.25 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24.

3 5 1 6 19 36 3 5 13 36 20 件 3 (或0.375) 8 2 9
1 2 2 3
5

1 2 1 26. 2
25. 27.

4 9
3 10

28.

二、解答题 29.解:⑴从六点中任取三个不同的点共有 C3 6 ? 20 个基本事件,
1 1 7 事件“ X ≥ ”所含基本事件有 2 ? 3 ? 1 ? 7 ,从而 P( X ≥ ) ? . 2 2 20

⑵ X 的分布列为:

X
P
则 E( X ) ? 0 ?

0

3 20

1 4 10 20

1 2 6 20

1 20

3 1 10 1 6 1 13 . ? ? ? ? ? 1? ? 20 4 20 2 20 20 40

1 7 答: P( X ≥ ) ? , E( X ) ? 2 20

13 .????????????????10 分 40

30. (1) ?AOC 为钝角三角形的概率为 0.4 (2) ?AOC 为锐角三角形的概率为 0.6 如图,由平面几何知识: 当 AD ? OB 时, OD ? 1 ; 当 OA ? AE 时, OE ? 4 , BE ? 1 . (1)当且仅当点 C 在线段 OD 或 BE 上时, ?AOC 为钝角三角形, 记" ?AOC 为钝角三角形"为事件 M ,则 P ( M ) ?

OD ? EB 1 ? 1 ? ? 0.4 , OB 5

即 ?AOC 为钝角三角形的概率为 0.4 . (2)当且仅当点 C 在线段 DE 上时, ?AOC 为锐角三角, 记" ?AOC 为锐角三角"为事件 N ,则 P( N ) ? 即 ?AOC 为锐角三角形的概率为 0.6 . 31. ?

DE 3 ? ? 0.6 , OB 5

7 5

解:设 Y 为抽到的 2 球钱数之和,则 Y 的可能取值如下:Y=2(抽到 2 个 1 元),Y=6(抽到 1 个 1 元,1 个 5 元),Y=10(抽到 2 个 5 元),由题意
P(Y ? 2) ?
2 C8 2 C10

?

2 C 1C 1 16 C2 28 1 ? , P(Y ? 6) ? 8 2 2 ? , P(Y ? 10) ? 2 45 45 C10 C10 45

所以 EY ? 2 ?

28 16 1 162 ? 6? ? 10 ? ? 45 45 45 45
6

7 又设 ? 为抽奖者获利可能值,则 ? =Y-5,所以抽奖者获利的期望为: E? ? EY ? 5 ? ? . 5

1 2 32.解:(I)设“他们中恰好有 1 人是高一年级学生”为事件 A ,则 P? A? ? C10 C10 ? 15 3 38 C20

答:若从选派的学生中任选 3 人进行文明交通宣传活动,他们中恰好有 1 人是高一年级学生的概率为

15 38
(II) 解法 1: ? 的所有取值为 0,1,2,3,4. 由题意可知 , 每位教师选择高一年级的概率均为
16 0?1? ? 2? P?? ? 0? ? C4 ? ? ? ? ? ; 81 ? 3? ? 3?
2 2 2 4
0 4

1 . 所以 3

32 ; 1? 1 ? ? 2 ? P?? ? 1? ? C4 ? ?? ? ? 81 ? 3? ? 3?
3 1

1

3

24 8 ; 8 ?1? ? 2? 3? 1? ? 2 ? P?? ? 2? ? C ? ? ? ? ? ? P?? ? 3? ? C4 ? ? ? ? ? ; 81 27 ? 3? ? 3? ? 3 ? ? 3 ? 81

1 4?1? ? 2? P?? ? 4? ? C4 ? ? ? ? ? . 3 3 81 ? ? ? ?

4

0

随机变量 ? 的分布列为: 1 2 3 4

?
P

0

16 81

32 81

8 27

8 81

1 81

16 32 24 8 1 4 ? 1? ? 2? ? 3? ? 4 ? ? 81 81 81 81 81 3 1 1 解法 2: 随机变量 ? 服从参数为 4, 的二项分布,即 ? ~ B(4, ) . 3 3
所以 E? ? 0 ? 随机变量 ? 的分布列为:

?
P

0

1

2

3

4

16 81 1 4 所以 E? ? np ? 4 ? ? 3 3

32 81

8 27

8 81

1 81

33.解:(1)设选对一道“可判断 2 个选项是错误的”题目为事件 A,“可判断 1 个选项是 错误的”该题选对为事件 B,“不能理解题意的”该题选对为事件 C.则

1 1 1 P( A) ? , P( B) ? , P(C ) ? --2 3 4
所以得 40 分的概率 P ? [ P ( A)]2 ? P ( B ) ? P (C ) ?

1 1 1 1 ? ? ? 4 3 4 48

7

(2) 该考生得 20 分的概率 P ? [ P ( A)]2 P ( B ) P (C ) = 该考生得 25 分的概率:

1 2 3 6 ? ? ? 4 3 4 48

1 P ? C2 P ( A) P ( A) P ( B ) P (C ) ? [ P ( A)]2 P ( B ) P (C ) ? [ P ( A)]2 P ( B ) P (C )

= 2 ? ( )2 ? 该

1 2

2 3 1 1 3 1 2 1 17 ? ? ? ? ? ? ? ? 3 4 4 3 4 4 3 4 48

2


1



30
1




2



率 : P ? [ P ( A)] P ( B ) P (C ) ? C2 P ( A) P ( A) P ( B ) P (C ) ? C2 P ( A) P ( A) P ( B ) P (C ) ? [ P ( A)] P ( B ) P (C ) =

1 2 3 1 1 2 1 1 1 1 3 1 1 1 17 ( )2 ? ? ? 2 ? ? ? ? ? 2 ? ? ? ? ? ( )2 ? ? = 2 3 4 2 2 3 4 2 2 3 4 2 3 4 48
该考生得 35 分的概率:
1 P ? C2 P ( A) P ( A) P ( B ) P (C ) ? [ P ( A)]2 P ( B ) P (C ) ? [ P ( A)]2 P ( B ) P (C )

1 1 1 1 1 2 1 3 1 2 2 1 7 ? ? ? ?( ) ? ? ?( ) ? ? ? 2 2 3 4 2 3 4 2 3 4 48 17 7 6 1 ∵ ∴该考生得 25 分或 30 分的可能性最大. ? ? ? 48 48 48 48 1 47 34. (1) ;(2) . 10 30
= 2? 解:(1)60 个 1×1×1 的小正方体中,没有涂上颜色的有 6 个, (2)由(1)可知

P(? ? 0) ?

6 1 ? 60 10

P(? ? 0) ?
分布列

6 1 11 2 2 ? ; P(? ? 1) ? P(? ? 2) ? ; P(? ? 3) ? ; 60 10 30 5 15
0 1 2 3

?
p

1 10

11 30

2 5

2 15

E ? =0×

2 2 47 1 11 +1× +2× +3× = 5 15 30 30 10

8


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