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2012高考数学概率统计专项训练


概率统计( 概率统计(文)
【考纲解读 考纲解读】 考纲解读 1.了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性,了解概率的意义,了解频率与概率的区别. 2.了解两个互斥事件的概率加法公式. 3.理解古典概型及其概率计算公式;会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概 率. 4.了解随机数的意义,能运用模拟方法估计概率;了解几何概型的意义. 5.理解随机抽样的必要性和重要性;会及简单随机抽样方法从总体中抽取样本;了解分层抽样 和系统抽样方法. 6.了解分布的意义和作用,会列频率分布表,会画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图,理 解它们各自的特点. 7.理解样本数据标准差的意义和作用,会计算数据标准差;能从样本数据中提取基本的数字特 征(如平均数、标准差). 8.会用样本的频率分布估计总体分布,会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征,理 解用样体估计总体的思想. 9.会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想,解决一些简单的实际问题. 10.会作两个有关联变量数据的散点图,会利用散点图认识变量间的相关关系;了解最小二乘 法的思想,能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程. 11.了解独立性检验(只要求 2×2 列联表)的基本思想、方法及其简单应用;了解回归的基 本思想、方法及其简单应用. 【考点预测 考点预测】 考点预测 本章知识的高考命题热点有以下两个方面: 1.概率统计是历年高考的热点内容之一,考查方式多样,选择题、填空题、解答题中都可 能出现,数量各 1 道,难度中等,主要考查古典概型、几何概型、分层抽样、频率分布直方图、 茎叶图的求解. 2.预计在 2012 年高考中, 概率统计部分的试题仍会以实际问题为背景,概率与统计相结合 命题. 【要点梳理 要点梳理】 要点梳理 1.随机事件的概率: (1)随机事件; (2)频率; (3)概率; (4)互斥事件的概率加法公式:

-1-

P ( A ∪ B ) = P ( A) + P ( B ) ,若 A 与 B 为对立事件,则 P ( A) + P ( B ) = 1 .
2.古典概型:求古典概型的概率的基本步骤:算出所有基本事件的个数;求出事件 A 包含的 基本事件个数;代入公式,求出 P ( A) . 3.几何概型:(1)理解几何概型与古典概型的区别;(2)几何概型的概率是几何度量之比,主 要使用面积之比与长度之比. 4.三种抽样方法:简单随机抽样、系统抽样、分层抽样,正确区分这三种抽样. 5.用样本估计总体:(1)在频率分布直方图中,各小矩形的面积表示相应的频率;各个小矩形 的面积之和为 1;(2)理解众数、中位数及平均数; (3)会求一组数据的平均数、方差、标准差. 6.变量间的相关关系,会求回归直线方程. 【考点在线】 考点在线】 考点一 古典概型 3)从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为 a,从{1,2,3}中随机选 例 1. (2010 年高考北京卷文科 3) 取一个数为 b,则 b>a 的概率是( (A) )

4 5

(B)

3 5

(C)

2 5

(D)

1 5

【答案】 D 答案】 【解析】分别从两个集合中各取一个数,共有 15 种取法,其中满足 b > a 的有 3 种,故所求 解析】 事件的概率为 P =

3 1 = . 15 5

【名师点睛】本题考查古典概型的概率问题,求解此类问题要求能够准确的确定基本事件空 名师点睛】 间的基本事件个数,和所求事件所含的基本事件个数. 【备考提示】: 备考提示】:古典概型是高考考查的重点内容之一,必须熟练掌握. 】: 6)有 乙两位同学各自参加其中一个小组, 练习 1: (2011 年高考海南卷文科 6) 3 个兴趣小组,甲、 每位同学参加各个小组的可能性相同,则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为( A. )

1 3

B.

1 2

C.

2 3

D.

3 4 1 ,选 A. 3

【答案】A 答案】 【解析】因为每位同学参加各个小组的可能性相等,所以所求概率为 解析】 考点二 几何概型

2.( 7)如图,矩形 ABCD 中,点 E 为边 CD 的重点,若在矩形 ABCD 例 2.(2011 年高考福建卷文科 7) 内部随机取一个点 Q,则点 Q 取自△ABE 内部的概率等于( )
-2-

A.

1 4

B.

1 3

C.

1 2

D.

2 3

【答案】C 答案】

1 ? AB ? AD 1 解析】 = ,故选 C. 【解析】这是一几何概型,所求概率为 2 AB ? AD 2
【名师点睛】本小题考查几何概型的求法。 名师点睛】 【备考提示】: 备考提示】:熟练掌握几何概型的定义及求法是解决本类题的关键. 】: 11) 练习 2: (2010 年高考湖南卷文科 11)在区间[-1,2]上随即取一个数 x,则 x∈[0,1]的概率 为 【答案】 答案】 。

1 3 1 。 3

【解析】由几何概型得:概率为 P = 解析】 考点三 统计

8)为了解儿子身高与其父亲身高的关系,随机抽取 5 对父子 例 3. (2011 年高考江西卷文科 8) 的身高数据如下: 父亲身高 x(cm) 174 儿子身高 y(cm) 175 则 y 对 x 的线性回归方程为( A.y = x-1 【答案】C B.y = x+1 176 175 ) 176 176 176 177 178 177

C.y = 88+

1 x 2

D.y = 176

【解析】线性回归方程 y = a + bx , b =

∑ (x ? x )(y
n i =1 i n i =1 i

i

?y
2

)

∑ (x ? x )

, a = y ? bx

【名师点睛】本题考查线性回归的有关知识. 名师点睛】 【备考提示】: 备考提示】:统计知识是高考的重点内容之一,特别是新课标新增内容,它们是与大学知识 】: 的衔接,所以必须熟练. 练习 3: 2011 年高考福建卷文科 4)某校选修乒乓球课程的学生中,高一年级有 30 名,高二 ( 4)

-3-

年级有 40 名。现用分层抽样的方法在这 70 名学生中抽取一个样本,已知在高一年级的学生 中抽取了 6 名,则在高二年级的学生中应抽取的人数为( A. 6 【答案】B 【解析】 设样本容量为 N,则 N × B. 8 C. 10 D.12 )

30 = 6 ,所以 N = 14 ,故在高二年级的学生中应抽取的人数为 70

14 ×

40 = 8 ,选 B. 70

【考题回放 考题回放】 考题回放 1. (2011 年高考安徽卷文科 9) 从正六边形的 6 个顶点中随机选择 4 个顶点,则以它们作为 年高考安徽卷文科 顶点的四边形是矩形的概率等于( (A) ) (C)

1 10

(B)

1 8

1 6

(D)

1 5

【答案】D 【解析】通过画树状图可知从正六边形的 6 个顶点中随机选择 4 个顶点,以它们作为顶点的 四边形共有 15 个,其中能构成矩形 3 个,所以是矩形的概率为

3 1 = .故选 D. 15 5

2.(2011 年高考浙江卷文科 8) ( 8)从已有 3 个红球、2 个白球的袋中任取 3 个球,则所取的 3 个 球中至少有 1 个白球的概率是( (A) )

1 10

(B)

3 10

(C)

3 5

(D)

9 10

【答案】 D
3 c3 1 1 9 = ,∴ 至少有 1 个白球的概率为 1 ? p = 1 ? = ,故选 D. 3 c5 10 10 10

【解析】无白球的概率是

3.(2011 年高考四川卷文科 12) 12)在集合 {1, 2,3, 4,5} 中任取一个偶数 a 和一个奇数 b 构成以原 点为起点的向量 a= a=(a,b)从所有得到的以原点为起点的向量中任取两个向量为邻边作平行 四边形,记所有作为平行四边形的个数为 n,其中面积等于 2 的平行四边形的个数 m,则

m =( n
(A)

)

2 15 4 (C) 15
【答案】 B

1 5 1 (D) 3
(B)

-4-

【解析】由题意,向量 a 的个数为 2×3=6,即

( 2,1) , ( 2,3) , ( 2,5) , ( 4,1) , ( 4,3) , ( 4,5) ,可构成平行四边形的个数为 C62 = 15 ,设构成平行四
边 形 的 两 个 向 量 坐 标 为 ( a1 , b1 ) , ( a2 , b2 ) , 则 平 行 四 边 形 的 面 积 是 | a1b2 ? a2b1 | , 由

| a1b2 ? a2b1 |= 2 ,满足该条件的组合有 (2,3)(4, 5);(2,1)(4,3);(2,1)(4,1) ,故概率为

3 1 = . 15 5

4. (2011 年高考江西卷文科 7) 7)为了普及环保知识,增强环保意识,某大学随即抽取 30 名学 生参加环保知识测试,得分(十分制)如图所示,假设得分值的中位数为 me ,众数为 mo ,平 均值为 x ,则( A. me = mo = x C. me < mo < x 【答案】D 【解析】计算可以得知,中位数为 5.5,众数为 5 所以选 D 5. (2011 年高考四川卷文科 2) 2)有一个容量为 66 的样本,数据的分组及各组的频数如下: ) B. me = mo < x D. mo < me < x

[11.5,15.5)
18

2

[15.5,19.5) [31.5,35.5)

4

[19.5, 23.5) [35.5,39.5)

9

[ 23.5, 27.5) [39.5, 43.5)

[ 27.5,31.5)
3

11

12

7

根据样本的频率分布估计,大于或等于 31.5 的数据约占( (A)

) (D)

2 11

(B)

1 3

(C)

1 2

2 3 22 1 = . 66 3

【答案】B 【解析】大于或等于 31.5 的数据所占的频数为 12+7+3=22,该数据所占的频率约为

· 6. (2011 年高考陕西卷文科 9) ( x1 , y1 ), ( x2 , y2 ), ·· , ( xn , yn ) 是变量 x 和 y 的 n 次方 9)设
-5-

个样本点,直线 l 是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线(如图) ,以下结论正 确的是( ) (B) x 和 y 的相关系数为直线 l 的斜率

(A) 直线 l 过点 ( x, y )

(C) x 和 y 的相关系数在 0 到 1 之间

(D)当 n 为偶数时,分布在 l 两侧的样本点的个数一定相同 【答案】A

$ y $ $ $ $ $ y $ y $ 【解析】 :由 $ = bx + a 得 $ = bx + a 又 a = y ? bx ,所以 $ = bx + y ? bx = y 则直线 l 过点
( x, y ) ,故选 A .
7. 2011 年高考重庆卷文科 4) ( 4)从一堆苹果中任取 10 只,称得它们的质量如下(单位:克) 125 120 122 105 130 114 116 95 120 134

则样本数据落在 [114.5,124.5) 内的频率为 A.0.2 【答案】C 8.2011 年高考湖南卷文科 15) ( 15)已知圆 C : x 2 + y 2 = 12, 直线 l : 4 x + 3 y = 25. 则圆 C 上任意一 点 A 到直线 l 的距离小于 2 的概率为 【答案】 . B.0.3 C.0.4 D.0.5

1 6

【解析】由点到直线的距离公式可得 d =

25 4 + 32
2

= 5 ;可知圆心到直线的距离为 5,要使圆

上点到直线的距离小于 2,即 l1 : 4 x + 3 y = 15 与圆相交所得劣弧上,由半径为 2 3 ,圆心到

π
直线的距离为 3 可知劣弧所对圆心角为

π
1 ,故所求概率为 P = 3 = . 2π 6

3

9. (2011 年高考湖北卷文科 13) 在 30 瓶饮料中,有 3 瓶已过了保质期,从这 30 瓶饮料中 任取 2 瓶,则至少取到 1 瓶已过保质期的概率为 【答案】
28 145
-6-

(结果用最简分数表示)

【解析】因为 30 瓶饮料中未过期饮料有 30-3=27 瓶,故其概率为 P = 1 ?

2 C27 28 . = 2 C30 145

10. 2011 年高考重庆卷文科 14) ( 14)从甲、乙等 10 位同学中任选 3 位去参加某项活动,则所选 3 位中有甲但没有乙的概率为 【答案】

7 30

11. 13)为了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球时间之间的关 11.(2011 年高考广东卷文科 13) 系,下表记录了小李某月 1 号到 5 号每天打篮球的时间 x(单位:小时)与当天投篮命中率 y 之间的关系: 时间 x 命中率 y 1 0.4 2 0.5 3 0.6 4 0.6 5 0.4

小李这 5 天的平均投篮命中率为 打 6 小时篮球的投篮命中率为 【答案】0.5;0.53 .

,用线性回归分析的方法,预测小李该月 6 号

【解析】由题得小李这 5 天的平均投篮命中率为

0 .4 + 0 .5 + 0 .6 + 0 .6 + 0 .4 = 0 .5 5 1+ 2 + 3 + 4 + 5 0 .4 + 0 .5 + 0 .6 + 0 .6 + 0 .4 = 0 .5 x= = 3, y = 5 5 ∧ (1 ? 3)(0.4 ? 0.5) + (2 ? 3)(0.5 ? 0.5) + (3 ? 3)(0.6 ? 0.5) + (4 ? 3)(0.6 ? 0.5) + (5 ? 3)(0.4 ? 0.5) ∴b = = 0.01 (1 ? 3) 2 + (2 ? 3)2 + (3 ? 3) 2 + (4 ? 3) 2 + (5 ? 3) 2

a = y ? b x = 0.5 ? 0.01 3 = 0.47 ∴ y = b x + a = 0.01x + 0.47 ∴ x = 6时, = 0.01 6 + 0.47=0.53 y ∴ 第6个同学6号打篮球6个小时投篮的命中率为0.53.
12. (2011 年高考湖北卷文科 11) 11)某市有大型超市 200 家、中型超市 400 家,小型超市 1400 2011 家,为掌握各类超市的营业情况,现按分层抽样方法抽取一个容量为 100 的样本,应抽取中 型超市 【答案】20 答案】 【解析】应抽取中型超市 解析】
100 × 400 = 20 (家). 200 + 400 + 1400













家.

13.(2011 年高考浙江卷文科 13) ( 13)某小学为了解学生数学课程的学习情况,在 3000 名学生中 随机抽取 200 名,并统计这 200 名学生的某此数学考试成绩,得到了样本的频率分布直方图 (如图) 。根据频率分布直方图 3000 名学生在该次数学考试中成绩小于 60 分的学生数 是 .

-7-

【答案】600 14.(2011 年高考辽宁卷文科 14) ( 14)调查了某地若干户家庭的年收 x(单位:万元)和年饮食支出 y(单位:万元),调查显示年收入 x 与年饮食支出 y 具有线性相关关系,井由调查数据得到 y

? 对 x 的回归直线方程 y = 0.254 x + 0.321 .由回归直线方程可知,家庭年收入每增加 1 万元,
年饮食支出平均增加_____________万元. 【答案】0.254 【解析】由线性回归直线斜率的几何意义可知,家庭年收入每增加 1 万元,年饮食支出平均 解析】 增加 0.254 万元。 15)编号分别为 A1 , A2 ,L , A16 的 16 名篮球运动员在某次训练比 15. (2011 年高考天津卷文科 15) 赛中的得分记录如下: 运 动 员编号 得分 5 运 动 员编号 得分 7 (Ⅰ)将得分在对应区间内的人数填入相应的空格: 区间
9 1

A

A2

A3

A4

A5

A6

A7

A8

1

35

21

28

25

36

18

34

A

A10

A11

A12

A13

A14

A15

A16

1

26

25

33

22

12

31

38

[10, 20)

[20,30)

[30, 40)

人数

-8-

(Ⅱ)从得分在区间 [20,30) 内的运动员中随机抽取 2 人, (i) (ii) 用运动员编号列出所有可能的抽取结果; 求这 2 人得分之和大于 50 的概率.

【解析】(Ⅰ)4,6,6. 解析】 (Ⅱ)(i)解:得分在区间 [20,30) 内的运动员编号为 A3 , A4 , A5 , A10 , A11 , A13 .从中随机抽取 2 人, 所 有 可 能 的 抽 取 结 果 有 :

{ A3 , A4 }
,

,

{ A3 , A5 }
,

,

{ A3 , A10 }
,

,

{ A3 , A11}

,

{ A3 , A13 }

,

{ A4 , A5 }

,

{ A4 , A10 }

{ A4 , A11}

{ A4 , A13}

{ A5 , A10 }

,

{ A5 , A11} , { A5 , A13 } , { A10 , A11} , { A10 , A13 } , { A11 , A13 } ,共 15 种.
(ii)解:“从得分在区间 [20,30) 内的运动员中随机抽取 2 人,这 2 人得分之和大于 50”(记为

事件 B)的所有可能结果有:

{ A4 , A5 } , { A4 , A10 } , { A4 , A11} , { A5 , A10 } , { A10 , A11} ,共 5 种.

所以 P(B)=

5 1 = . 15 3

16.(2011 年高考江西卷文科 16) 某饮料公司对一名员工进行测试以便确定其考评级别.公 ( 司准备了两种不同的饮料共 5 杯,其颜色完全相同,并且其中 3 杯为 A 饮料,另外 2 杯为 B 饮料,公司要求此员工一一品尝后,从 5 杯饮料中选出 3 杯 A 饮料.若该员工 3 杯都选对, 则评为优秀;若 3 杯选对 2 杯,则评为良好;否则评为及格.假设此人对 A 和 B 两种饮料没 有鉴别能力. (1)求此人被评为优秀的概率; (2)求此人被评为良好及以上的概率. 【解析】 (1)员工选择的所有种类为 C5 ,而 3 杯均选中共有 C3 种,故概率为
3 3
3 3

3 C3 1 = . 3 C5 10

(2)员工选择的所有种类为 C5 ,良好以上有两种可能 :3 杯均选中共有 C3 种; :3 杯选中 2 杯共有 C C
2 3 1 2 种。故概率为 3 1 C3 + C32C2 7 = . 3 C5 10

17. 2011 年高考湖南卷文科 18)某河流上的一座水力发电站,每年六月份的发电量 Y(单位: ( 18) 万千瓦时)与该河上游在六月份的降雨量 X(单位:毫米)有关.据统计,当 X=70 时,Y=460; X 每增加 10,Y 增加 5;已知近 20 年 X 的值为:140,110,160,70,200,160,140,160, 220,200,110,160,160,200,140,110,160,220,140,160.
-9-

(I)完成如下的频率分布表: 近 20 年六月份降雨量频率分布表 降雨量 频率 70 110 140 160 200 220

1 20

4 20

2 20

(II)假定今年六月份的降雨量与近 20 年六月份的降雨量的分布规律相同,并将频率视为 概率,求今年六月份该水力发电站的发电量低于 490(万千瓦时)或超过 530(万千瓦时)的 概率. (I)在所给数据中,降雨量为 110 毫米的有 3 个,为 160 毫米的有 7 个,为 200 毫 【解析】 解析】 米的有 3 个,故近 20 年六月份降雨量频率分布表为 降雨量 频率 70 110 140 160 200 220

1 20

3 20

4 20

7 20

3 20

2 20

P(" 发电量低于490万千瓦时或超过530万千瓦时")
(II) =P(Y<490或Y>530)=P(X<130或X>210)

=

1 3 2 3 + + = 20 20 20 10

故今年六月份该水力发电站的发电量低于 490(万千瓦时)或超过 530(万千瓦时)的概率为

3 . 10
【高考冲策演练】 高考冲策演练】 一、选择题: 选择题: 1. (2010 年高考江西卷文科 9) n 位同学参加某项选拔测试,每位同学能通过测试的概率都 (2010 9)有 是 p (0<p< ,假设每位同学能否通过测试是相互独立的,则至少每一位同学能通过测试的 1) 概率为 A. (1 ? p ) 【答案】D 【解析】每位同学不能通过的概率为 1 ? p ,所有同学都不能通过的概率为 (1 ? p ) ,至少有
n

n

B. 1 ? p

n

C. p

n

D. 1 ? (1 ? p )

n

一位同学能通过的概率为 1 ? (1 ? p ) 。
n

10)甲从正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线,乙从该正 2.(2010 年高考安徽卷文科 10) 方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线,则所得的两条直线相互垂直的概率是( )
- 10 -

(A)

3 18

(A)

4 18

(A)

5 18

(A)

6 18

【答案】C 【解析】正方形四个顶点可以确定 6 条直线,甲乙各自任选一条共有 36 个基本事件。两条直 线相互垂直的情况有 5 种(4 组邻边和对角线)包括 10 个基本事件,所以概率等于 3. (2011 年高考山东卷文科 8) 8)某产品的广告费用 x 与销售额 y 的统计数据如下表

5 。 18

? ? ? ? 根据上表可得回归方程 y = bx + a 中的 b 为 9.4,据此模型预报广告费用为 6 万元时销售额
为 (A)63.6 万元 (B)65.5 万元 【答案】B (C)67.7 万元 (D)72.0 万元

4+ 2+ 3+ 5 7 49 + 26 + 39 + 54 7 = ,y= = 42 ,因为点 ( , 42) 在回 4 2 4 2 7 $ ? ? ? ? ? 归 直 线 y = bx + a 上 , 且 b 为 9.4 , 所 以 42 = 9.4 × + a , 解 得 a = 9.1 , 故 回 归 方 程 为 2
【解析】由表可计算 x =

? ? y = 9.4 x + 9.1 , 令 x=6 得 y = 65.5,选 B.
4. 2011 年高考湖南卷文科 5) ( 5)通过随机询问 110 名不同的大学生是否爱好某项运动,得到如 下的列联表: 男 爱好 不爱好 总计 由K =
2

女 20 30 50

总计 60 50 110

40 20 60

2 n(ad ? bc) 2 110 × (40 × 30 ? 20 × 30)2 算得,K = ≈ 7.8 (a + b)(c + d )(a + c)(b + d ) 60 × 50 × 60 × 50

附表:

P( K 2 ≥ k )
k

0.050 3.841

0.010 6.635 )

0.001 10.828

参照附表,得到的正确结论是(

- 11 -

A. 有 99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关” B. 有 99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关” C. 在犯错误的概率不超过 0.1%的前提下,认为“爱好该项运动与性别有关” D. 在犯错误的概率不超过 0.1%的前提下,认为“爱好该项运动与性别无关” 【答案】A 【解析】由 K ≈ 7.8 > 6.635 ,而 P ( K 2 ≥ 6.635) = 0.010 ,故由独立性检验的意义可知选 A.
2

5. 2010 年高考山东卷文科 6)在某项体育比赛中,七位裁判为一选手打出的分数如下: ( 90 89 90 95 93 94 93 )

去掉一个最高分和一个最低分后,所剩数据的平均值和方差分别为( (A)92 , 2 (C) 93 , 2 (B) 92 , 2.8 (D) 93 , 2.8

【答案】B 【解析】由题意知,所剩数据为 90,90,93,94,93,所以其平均值为 90+ (3 + 4 + 3) =92;方差为 (2 × 2 + 1 × 2 + 2 ) = 2.8,故选 B。
2 2 2

1 5

1 5

【命题意图】本题考查平均数与方差的求法,属基础题。 (2010 6. 2010 年高考福建卷文科 9)若某校高一年级 8 个班参加合唱比赛的得分如茎叶图所示, ( 则这组数据的中位数和平均数分别是

A.91.5 和 91.5 C.91 和 91.5 【答案】A

B.91.5 和 92 D.92 和 92

【解析】由茎叶图可知:这组数据为 87,89,90,91,92,93,94, 96,所以其中位数为

91 + 92 1 = 91.5,平均数为 (87+89+90+91+92+93+94+96)=91.5,故选 A。 2 8
7. 2010 年高考重庆卷文科 5)某单位有职工 750 人,其中青年职工 350 人,中年职工 250 ( 人, 老年职工 150 人, 为了了解该单位职工的健康情况, 用分层抽样的方法从中抽取样本 . 若 样本中的青年职工为 7 人,则样本容量为( (A)7 (C)25 【答案】B
- 12 -

) (B)15 (D)35

7
【解析】青年职工、中年职工、老年职工三层之比为 7:5:3,所以样本容量为
7 15

= 15 .

8. 2010 年高考陕西卷文科 4)如图,样本 A 和 B 分别取自两个不同的总体,它们的样本平 ( 均数分别为 x A和 xB ,样本标准差分别为 sA 和 sB,则( )

(A) xA > xB ,sA>sB (C) xA > xB ,sA<sB 【答案】B

(B) xA < xB ,sA>sB (D) xA < xB ,sA<sB

(2010 9. 2010 年高考四川卷文科 4)一个单位有职工 800 人,其中具有高级职称的 160 人,具有 ( 中级职称的 320 人,具有初级职称的 200 人,其余人员 120 人.为了解职工收入情况,决定采 用分层抽样的方法,从中抽取容量为 40 的样本.则从上述各层中依次抽取的人数分别是 ( ) (A)12,24,15,9 【答案】D 【解析】因为 (B)9,12,12,7 (C)8,15,12,5 (D)8,16,10,6

40 1 160 320 200 = , 故各层中依次抽取的人数分别是 =8, = 16 , = 10 , 800 20 20 20 20

120 = 6. 20
10. 山东省潍坊三县 2011 届高三阶段性教学质量检测文科)在面积为 S 的△ABC 的边 AB 上任 ( 届高三阶段性教学质量检测文科) 取一点 P,则△PBC 的面积大于

A.

1 4

B.

1 2

S 的概率是 ( 4 3 C. 4

)

D.

2 3

【答案】C 答案】 11. (2009 年高考山东卷文科第 11 题)在区间 [ ? 0到

π π

, ] 上随机取一个数 x, cos x 的值介于 2 2

1 之间的概率为( 2

)学

- 13 -

A.

1 3

2
B.

π

C.

1 2

D.

2 3

【答案】A 答案】

1 π π π π π π 时,在区间 [ ? , ] 上,只有 ? < x < ? 或 < x < ,根据 2 2 2 2 3 3 2 1 几何概型的计算方法,这个概率值是 . 3
解析】 【解析】当 0 < cos x < 月高考第一次模拟文科) 12. (山东省青岛市 2011 年 3 月高考第一次模拟文科)某时段内共有 100 辆汽车经过某一雷达 地区,时速频率分布直方图如右图所示,则时速超过 60 km/h 的汽车数量为( A. 38 辆 B. 28 辆 C. 10 辆 D. 5 辆 )

【答案】A 答案】 二.填空题: 填空题: 13.(2011 年高考江苏卷 5) 1,2,3,4 这四个数中一次随机取两个数,则其中一个数是另 (2011 5)从 一个的两倍的概率是______ 【答案】

1 3

【解析】从 1,2,3,4 这四个数中一次随机取两个数,所有可能的取法有 6 种, 满足“其中 一个数是另一个的两倍”的所有可能的结果有(1,2),(2,4)共 2 种取法,所以其中一个数是另 一个的两倍的概率是

2 1 = . 6 3

14. (2011 年高考山东卷文科 13) 13)某高校甲、乙、丙、丁四个专业分别有 150、150、400、300 名学生,为了解学生的就业倾向,用分层抽样的方法从该校这四个专业共抽取 40 名学生进行 调查,应在丙专业抽取的学生人数为 【答案】16 【解析】由题意知,抽取比例为 3:3:8:6,所以应在丙专业抽取的学生人数为 40 × .

8 =16. 20

15.(2011 年高考江苏卷 6) (2011 6)某老师从星期一到星期五收到信件数分别是 10,6,8,5,6,则该 组数据的方差 s 2 = ___ . 【答案】3.2 【解析】考查方差的计算,可以先把这组数都减去 6,再求方差,

16 . 5

16. 2010 年高考重庆卷文科 14)加工某一零件需经过三道工序,设第一、二、三道工序的 ( 14) 次品率分别为

1 1 1 、 、 , 且 各 道 工 序 互 不 影 响 , 则加 工 出 来 的 零 件 的 次 品率为 70 69 68

____________ .
- 14 -

【答案】

3 70 69 68 67 3 × × = . 70 69 68 70

【解析】加工出来的零件的次品的对立事件为零件是正品,由对立事件公式得 加工出来的零件的次品率 p = 1 ? 三.解答题: 解答题: 17. 2011 年高考山东卷文科 18) ( 18)甲、乙两校各有 3 名教师报名支教,其中甲校 2 男 1 女,乙 校 1 男 2 女. (I)若从甲校和乙校报名的教师中各任选 1 名,写出所有可能的结果,并求选出的 2 名教师 性别相同的概率; (II)若从报名的 6 名教师中任选 2 名,写出所有可能的结果,并求选出的 2 名教师来自同 一学校的概率. 【解析】(1) 从甲校和乙校报名的教师中各任选 1 名,所有可能的结果为(甲男 1,乙男)、(甲 男 2, 乙男)、 (甲男 1, 乙女 1)、 (甲男 1, 乙女 2)、 (甲男 2, 乙女 1)、 (甲男 2, 乙女 2)、 (甲 女, 乙女 1)、(甲女, 乙女 2) 、(甲女, 乙男),共 9 种;选出的 2 名教师性别相同的结果有 (甲男 1,乙男)、(甲男 2, 乙男)、(甲女 1, 乙女 1)、(甲女 1, 乙女 2),共 4 种,所以选出 的 2 名教师性别相同的概率为

4 . 9

(2)从报名的 6 名教师中任选 2 名,所有可能的结果为(甲男 1,乙男)、(甲男 2, 乙男)、(甲 男 1, 乙女 1)、 (甲男 1, 乙女 2)、 (甲男 2, 乙女 1)、 (甲男 2, 乙女 2)、 (甲女, 乙女 1)、 (甲 女, 乙女 2) 、(甲女, 乙男) 、(甲男 1, 甲男 2)、(甲男 1, 甲女)、(甲男 2, 甲女)、(乙男, 乙女 1)、(乙男, 乙女 2)、(乙女 1, 乙女 2),共 15 种;选出的 2 名教师来自同一学校的所 有可能的结果为(甲男 1, 甲男 2)、(甲男 1, 甲女)、(甲男 2, 甲女)、(乙男, 乙女 1)、(乙 男, 乙女 2)、 (乙女 1, 乙女 2), 6 种, 共 所以选出的 2 名教师来自同一学校的概率为

6 2 = . 15 5

18. (2011 年高考全国新课标卷文科 19) 19)某种产品以其质量指标值衡量,质量指标越大越好, 且质量指标值大于 102 的产品为优质产品,现在用两种新配方(A 配方、B 配方)做试验,各 生产了 100 件,并测量了每件产品的质量指标值,得到下面的试验结果: A 配方的频数分布表 指标值分组

[90,94)
8

[94,98)
20

[98,102)
42

[102,106)
22

[106,110)
8

频数

B 配方的频数分布表
- 15 -

指标值分组

[90,94)
4

[94,98)
12

[98,102)
42

[102,106)
32

[106,110)
8

频数

(1) 分别估计使用 A 配方,B 配方生产的产品的优质品的概率;

?? 2 (t < 94) ? (2) 已知用 B 配方生产一件产品的利润与其质量指标的关系为: y = ?2 (94 ≤ t < 102 ?4 (t ≥ 102) ?
估计用 B 配方生产上述产品平均每件的利润。 【解析】 (Ⅰ)由试验结果知:使用 A 配方生产的优质品的概率为

使用 B 配方生产的优质品的概率为

32 + 10 21 = 100 50

22 + 8 3 = ; 100 10

(Ⅱ)有已知条件得,用 B 配方生产的利润大于 0,;当且仅当其质量指标值 t ≥ 94 ,由试验结 果知: t ≥ 94 的频率为 0.96;所以用 B 配方生产一件产品利润大于 0 的概率估值为 0.96;因 此,用 B 配方生产一件产品利润为

1 × [4 × (?2) + 54 × 2 + 42 × 4] = 2.68 100

19. 2011 年高考辽宁卷文科 19) ( 19)某农场计划种植某种新作物. 为此对这种作物的两个品种(分 别称为品种甲和品种乙)进行田间试验,选取两大块地,每大块地分成 n 小块地,在总共 2n 小块地中.随机选 n 小块地种植品种甲,另外 n 小块地种植品种乙。 (Ⅰ)假设 n=2,求第一大块地都种植品种甲的概率: (Ⅱ)试验时每大块地分成 8 小块.即 n=8,试验结束后得到品种甲和品种乙在各小块地
2

上的每公顷产量(单位 kg/hm )如下表:

分别求品种甲和品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差;根据试验结果,你认为 应该种植哪一品种? 附:样本数据 x1,x2,…,xa 的样本方差 s =
2 2 2 2 1? x1 ? x + x1 ? x + ??? + xn ? x ? ,其中 ? ? ? n?

(

) (

)

(

)

x 为样本平均数。
【解析】 (I)设第一大块地中的两小块地编号为 1,2,第二大块地中的两小块地编号为 3,4, 令事件 A=“第一大块地都种品种甲” ,从 4 小块地中任选 2 小块地种植品种甲的基本事件共 6 个: (1,2)(1,3)(1,4)(2,3)(2,4)(3,4) , , , , , 。 而事件 A 包含 1 个基本事件: (1,2) ,所以 P(A)=

1 . 6
- 16 -

(II)品种甲的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别是:

x甲 = s甲2

1 ( 403 + 397 + 390 + 404 + 388 + 400 + 412 + 406 ) = 400 , 8 1 2 2 2 = 32 + ( ?3) + ( ?10 ) + 4 2 + ( ?12 ) + 02 + 122 + 62 = 57.25 。 8

(

)

品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别是:

x乙 = s乙2

1 ( 419 + 403 + 412 + 418 + 408 + 423 + 400 + 413) = 412 , 8 1 2 2 2 = 7 2 + ( ?9 ) + 02 + 62 + ( ?4 ) + 112 + ( -12 ) + 12 = 56 , 8

(

)

由以上结果可以看出,品种乙的样本平均数大于品种甲的样本平均数,且两品种的样本方差 差异不大,故应该选择种植品种乙。 20.(2011 年高考安徽卷文科 20) (2011 20)某地最近十年粮食需求量逐年上升,下表是部分统计数据: 年份 需求量(万吨) 2002 236 2004 246 2006 257 2008 276 2010 286

(Ⅰ)利用所给数据求年需求量与年份之间的回归直线方程 y = bx + a ; (Ⅱ)利用(Ⅰ)中所求出的直线方程预测该地 2012 年的粮食需求量。 温馨提示:答题前请仔细阅读卷首所给的计算公式及说明. 【解析】(Ⅰ)由所给数据可以看出,年需求量与年份之间的是近似直线上升,为此对数据 : 预处理如下表: 年份-2006 需求量-257 -4 -21 -2 -11 0 0 2 19 4 29

对预处理后的数据,容易算得

x=

1 n 1 n ∑ xi =0 , y = n ∑ yi =3.2 n i =1 i =1

b=

∑x y
i =1 n

n

1 1 2 i

? nx y = ? nx 2

∑x
i =1

260 = 6.5 , a = y ? bx = 3.2 40

所求的回归直线方程为 y ? 257 = b( x ? 2006) + a = 6.5( x ? 2006) + 3.2 即 y = 6.5( x ? 2006) + 260.2 (Ⅱ)当 x=2012 时, y = 6.5(2012 ? 2006) + 260.2 = 299.2 (万吨)
- 17 -

答:该地 2012 年的粮食需求量为 299.2 万吨。 21. (2011 年高考四川卷文科 17)本着健康、低碳的生活理念,租自行车骑游的人越来越多. 17) 某自行车租车点的收费标准是每车每次租不超过两小时免费,超过两小时的部分每小时收费 标准为 2 元(不足 1 小时的部分按 1 小时计算).有甲乙两人独立来该租车点租车骑游(各租 一车一次).设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为

1 1 , ;两小时以上且不超过三小时还车 4 2

的概率分别为

1 1 , ;两人租车时间都不会超过四小时. 2 4

(Ⅰ)分别求出甲、乙在三小时以上且不超过四小时还车的概率; (Ⅱ)求甲、乙两人所付的租车费用之和小于 6 元的概率. 【解析】 (Ⅰ)甲、乙在三小时以上且不超过四小时还车的概率的分别是 1 ?

1 1 1 ? = , 4 2 4

1 1 1 1 1 ? ? = ,故甲、乙在三小时以上且不超过四小时还车的概率都是 . 2 4 4 4
(Ⅱ)设“甲、乙两人每次租车都不超过两小时”为事件 A, “甲、乙两人每次租车一人不超 过两小时,另一个人在两小时以上且不超过三小时还车”为事件 B, 此时,所付的租车费用之 和 2 元; “甲、乙两人每次租车都在两小时以上且不超过三小时还车”为事件 C,此时,所付 的租车费用之和 4 元;甲、乙两人每次租车一人不超过两小时,另一个人在三小时以上且不 超过四小时还车”为事件 D,此时,所付的租车费用之和 4 元; 则

1 1 1 1 1 1 1 5 P ( A) = × = , P (B) = × + × = 4 2 8 4 4 2 2 16 1 1 1 1 3 P ( D) = × + × = . 4 4 2 4 16

,

1 1 1 P (C ) = × = 4 2 8

,

因 为 事 件 A,B,C,D 互 斥 , 故 甲 、 乙 两 人 所 付 的 租 车 费 用 之 和 小 于 6 元 的 概 率

P ( A + B + C + D ) = P ( A) + P ( B ) + P ( C ) + P ( D )
1 5 3 1 3 + + + = . 8 16 16 8 4
所以甲、乙两人所付的租车费用之和小于 6 元的概率

3 . 4

22. (2011 年高考陕西卷文科 20) 20)如图,A 地到火车站共有两条路径 L1 和 L2,现随机抽取 100 位从 A 地到火车站的人进行调查,调查结果如下:

- 18 -

(Ⅰ)试估计 40 分钟内不能赶到火车站的概率; .. (Ⅱ )分别求通过路径 L1 和 L2 所用时间落在上表中各时间段内的频率; ( 时间(分钟) 选择 L1 选择 L2

10
6

20

20 30
12

30
18

40

40 50
12

50
12

60
Ⅲ )现 甲、

0

4

16

16

4 乙

两人分别有 40 分钟和 50 分钟时间用于赶往火车站,为了尽量大可能在允许的时间内赶到火 车站,试通过计算说明,他们应如何选择各自的路径。 【解析】 (Ⅰ)由已知共调查了 100 人,其中 40 分钟内不能赶到火车站的有 12+12+16+4=44 人,∴ 用频率估计相应的概率为 0.44. (Ⅱ )选择 L1 的有 60 人,选择 L2 的有 40 人,故由调查结果得频率为: 时间 (分钟)

10

20

20 30
0.2

30

40

40 50
0.2

50

60

L1 的频率 L2 的频率

0.1

0.3

0.2

0

0.1

0.4

0.4

0.1

( Ⅲ ) A1 , A2 ,分别表示甲选择 L1 和 L2 时,在 40 分钟内赶到火车站; B1 , B2 分别表示 乙选择 L1 和 L2 时,在 50 分钟内赶到火车站。 由(Ⅱ)知 P ( A1 ) =0.1+0.2+0.3=0.6,P(A2)=0.1+0.4=0.5, P ( A1 ) > P ( A2 )

∴ 甲应选择 L1 P( B1 ) =0.1+0.2+0.3+0.2=0.8, P( B2 ) =0.1+0.4+0.4=0.9, P( B1 ) < P( B2 ) ,
∴ 乙应选择 L2 .

- 19 -

- 20 -


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