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2012年北京市朝阳区高三一模数学(理)试题Word版带答案


北京市朝阳区高三年级第一次综合练习

数学试卷(理工类)

2012.3.31

(考试时间 120 分钟 满分 150 分) 本试卷分为选择题(共 40 分)和非选择题(共 110 分)两部分

第一部分(选择题 共 40 分)
注意事项:考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上答无效。 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,选出 符合题目要求的一项. 1. 复数

10i ? 1 ? 2i A. ?4 ? 2i

B. 4 ? 2i

C. 2 ? 4i

D. 2 ? 4i

2. 已知平面向量 a ,b 满足 a ? (a + b)=3 ,且 a = 2, b = 1 ,则向量 a 与 b 的夹角为 A.

? 6

B.

? 3

C.

?? 3

D.

?? 6

3.已知数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且 Sn ? 2an ?1(n ? N? ) ,则 a5 ? A. ?16 B. 16 C. 31 D. 32

4. 已知平面 ? ,直线 a, b, l ,且 a ? ? , b ? ? ,则“ l ? a 且 l ? b ”是“ l ? ? ”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 5. 有 10 件不同的电子产品,其中有 2 件产品运行不稳定.技术人员对它们进行一一测试, 直到 2 件不稳定的产品全部找出后测试结束, 则恰好 3 次就结束测试的方法种数是 ( ) A. 16 B. 24 C. 32 D. 48 6. 已知函数 f ( x ) 是定义在 R 上的偶函数,且对任意的 x ? R , 都有 f ( x ? 2) ? f ( x ) . 当

0 ? x ? 1 时, f ( x) ? x2 .若直线 y ? x ? a 与函数 y ? f ( x) 的图象在 [0, 2] 内恰有两个
不同的公共点,则实数 a 的值是 A. 0 B. 0 或 ?

1 2

C. ?

1 1 或? 4 2

D. 0 或 ?

1 4

7. 某工厂生产的 A 种产品进入某商场销售,商场为吸引厂家第一年免收管理费,因此第一 年 A 种产品定价为每件 70 元,年销售量为 11.8 万件. 从第二年开始,商场对 A 种产品 征收销售额的 x % 的管理费(即销售 100 元要征收 x 元),于是该产品定价每件比第一年 增加了

70 ? x% 元,预计年销售量减少 x 万件,要使第二年商场在 A 种产品经营中收取的 1 ? x%
C. 8.8 D. 10

管理费不少于 14 万元,则 x 的取值范围是 A. 2 B. 6.5
2 2

8.已知点集 A ? ?( x, y ) x ? y ? 4 x ? 8 y ? 16 ? 0? ,
1

B ? ( x, y ) y ? x ? m ? 4, m是常数 ,点集 A 所表示的平面区域与点集 B 所表示的平面
区域的边界的交点为 M , N .若点 D(m, 4) 在点集 A 所表示的平面区域内(不在边界上) , 则△ DMN 的面积的最大值是 A. 1 B. 2 C. 2 2 D. 4

?

?

第二部分(非选择题 共 110 分)
二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 把答案填在答题卡上. 9. 已知双曲线的方程为

x2 ? y 2 ? 1,则此双曲线的离心率为 3

,其焦点到渐近

线的距离为 . 10. 已知某几何体的三视图如图所示, 则该几何体的体积为 .

开始 输入 k

3

3

S=0, i=1
1 正视图 2 1 2 1 侧视图

S ? S+
i ?k?
否 输出 S 结束 是

1 i (i ? 1)

i=i+1

俯视图

(第 10 题图)

(第 11 题图) .

11. 执行如图所示的程序框图,若输入 k 的值是 4 ,则输出 S 的值是

12.在极坐标系中,曲线 ? ? 2 3 sin ? 和 ? cos ? ? 1 相交于点 A, B ,则线段 AB 的中点 E 到极点的距离是 .

? 1 x 3 x ? 2, ?( ) ? , 13.已知函数 f ( x) ? ? 2 若函数 g ( x) ? f ( x) ? k 有两个不同的零点,则 4 ? ? log 2 x, 0 ? x ? 2.
实数 k 的取值范围是 .

14.已知△ ABC 中, ?C ? 90?, AC ? 3, BC ? 4 .一个圆心为 M ,半径为

1 的圆在△ ABC 4 内, 沿着△ ABC 的边滚动一周回到原位. 在滚动过程中, 圆 M 至少与△ ABC 的一边相 切,则点 M 到△ ABC 顶点的最短距离是 ,点 M 的运动轨迹的周长
2



.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.把答 案答在答题卡上. 15. (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x ) ? cos( x ? ) . (Ⅰ)若 f (? ) ?

π 4

7 2 ,求 sin 2? 的值; 10 ? ? ?? ? π π? ? ,求函数 g ( x) 在区间 ? ? , ? 上的最大值和最小值. 2? ? 6 3?

(II)设 g ( x) ? f ? x ? ? f ? x ?

16. (本小题满分 13 分) 某次有 1000 人参加的数学摸底考试, 其成绩的频率分布直方图如图所示, 规定 85 分及 频率 其以上为优秀. (Ⅰ)下表是这次考试成绩的频数分布表,求正整数 a, b 的值; 0.07 组距 0.06 区间 [75,80) [80, 85) [85, 90) [90, 95) [95, 100] 0.05 50 a 350 300 b 人数 0.04 (II)现在要用分层抽样的方法从这 1000 人中抽取 40 人的成 0.03 绩进行分析,求其中成绩为优秀的学生人数; 0.02 0.01 (Ⅲ)在(II)中抽取的 40 名学生中,要随机选取 2 名学生参 O 75 80 85 90 95 100 加座谈会,记“其中成绩为优秀的人数”为 X,求 X 的 分布列与数学期望. 17. (本小题满分 14 分) 在如图所示的几何体中,四边形 ABCD 为平行四边形, ?ABD = 90? , EB ? 平面
ABCD , EF//AB , AB = 2 , EB = 3, EF =1 , BC = 13 ,且 M 是 BD 的中点.

分数

(Ⅰ)求证: EM// 平面 ADF ; (Ⅱ)求二面角 D-AF-B 的大小; (Ⅲ)在线段 EB 上是否存在一点 P , 使得 CP 与 AF 所成的角为 30 ? ? 若存在,求出 BP 的长度;若不 存在,请说明理由. A

F

E

D M B

C

18. (本小题满分 13 分)

3

设函数 f ( x) ?

eax ,a?R . x2 ? 1

(Ⅰ)当 a ? 1 时,求曲线 y ? f ( x) 在点 (0, f (0)) 处的切线方程; (Ⅱ)求函数 f ( x) 单调区间. 19. (本小题满分 14 分) 已知 椭 圆 C :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的 两 个焦点 分 别 为 F1 (? 2,0) , F2 ( 2,0) . 点 a 2 b2

M (1, 0) 与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程;
(Ⅱ)已知点 N 的坐标为 (3, 2) ,点 P 的坐标为 (m, n)(m ? 3) .过点 M 任作直线 l 与椭圆

C 相交于 A , B 两点,设直线 AN , NP , BN 的斜率分别为 k1 , k2 , k3 ,若

k1 ? k3 ? 2k2 ,试求 m, n 满足的关系式.
20. (本小题满分 13 分) 已 知 各 项 均 为 非 负 整 数 的 数 列 A0 : a0 , a1 ,?, an

(n ? N? ) , 满 足 a0 ? 0 ,

则可定义变换 T , 变换 T 将 a1 ? ? ? an ? n .若存在最小的正整数 k ,使得 ak ? k (k ? 1) , 数 列 A0 变 为 数 列 T ( A ? , ,k a ? 0 ) :a 0 ? 1 ,a 1? 1 ? 1

1 , 0k a , 1? , n a. , 设 Ai ?1 ? T ( Ai ) , ?

i ? 0,1, 2? .
(Ⅰ)若数列 A0 : 0,1,1,3,0,0 ,试写出数列 A5 ;若数列 A4 : 4,0,0,0,0 ,试写出数列 A 0 ; (Ⅱ)证明存在唯一的数列 A0 ,经过有限次 T 变换,可将数列 A0 变为数列 n, 0, 0,? , 0 ;

? ? ?? ?
n个

( Ⅲ ) 若 数 列 A0 , 经 过 有 限 次 T 变 换 , 可 变 为 数 列 n, 0, 0,? , 0 . 设

? ? ?? ?
n个

, Sm ? am ? a ? ?a ? m 1 ? n m ? 1, 2,?, n , 求 证 am ? S m ? [

Sm ]( m ? 1) ,其中 m ?1

[

Sm S ] 表示不超过 m 的最大整数. m ?1 m ?1

北京市朝阳区高三年级第一次综合练习
4

数学试卷(理工类)
一、选择题: 题号 答案 (1) A (2) C (3) B (4) B (5) C (6) D

2012.3.31

(7) D

(8) B

二、填空题: 题 (9) 号 答 案

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

2 3 3

1

3 2

3 4

2

3 ( ,1) 4

2 4

9

三、解答题: (15) (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)因为 f (? ) ? cos(? ? ) ?

π 4

7 2 , 10

所以

2 7 2 , (cos ? ? sin ? ) ? 2 10
7 . 5
2

所以 cos ? ? sin ? ?
2

平方得, sin ? ? 2sin ? cos ? ? cos ? = 所以

49 , 25
?????6 分

sin 2? ?

24 . 25

(II)因为 g ( x) ? f ? x ? ? f ? x ?

? ?

π π π? ? = cos( x ? 4 ) ? cos( x ? 4 ) 2?

= =

2 2 (cos x ? sin x) ? (cos x ? sin x) 2 2

1 (cos 2 x ? sin 2 x) 2 1 = cos 2 x . 2
当 x ? ??

?????10 分

? π π? ? π 2π ? , ? 时, 2 x ? ? ? , ? . ? 6 3? ? 3 3?
1 ; 2
?????13 分

所以,当 x ? 0 时, g ( x) 的最大值为 当x?

π 1 时, g ( x) 的最小值为 ? . 3 4

(16) (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)依题意, a ? 0.04 ? 5 ?1000 ? 200, b ? 0.02 ? 5 ?1000 ? 100 . ?????4 分
5

(Ⅱ)设其中成绩为优秀的学生人数为 x,则 即其中成绩为优秀的学生人数为 30 名. (Ⅲ)依题意,X 的取值为 0,1,2,

x 350 ? 300 ? 100 ? ,解得:x=30, 40 1000
?????7 分

P( X ? 0) ?

2 1 1 2 C10 C10 C30 C30 3 5 29 , , ? P ( X ? 1) ? ? P ( X ? 2) ? ? , 2 2 2 C40 52 C40 13 C40 52

所以 X 的分布列为 X P 0 1 2

29 52 3 5 29 3 3 EX ? 0 ? ? 1 ? ? 2 ? ? ,所以 X 的数学期望为 . 52 13 52 2 2

3 52

5 13

?????13 分

(17) (本小题满分 14 分) 证明: (Ⅰ)取 AD 的中点 N ,连接 MN,NF . 在△ DAB 中, M 是 BD 的中点, N 是 AD 的中点,所以 MN//AB,MN = 又因为 EF//AB,EF =

1 AB , 2

F

E

1 AB , 2

所以 MN//EF 且 MN = EF . 所以四边形 MNFE 为平行四边形, 所以 EM//FN . 又因为 FN ? 平面 ADF , EM ? 平面 ADF , A

D N B M

C

故 EM// 平面 ADF . ????? 4 分 解法二:因为 EB ? 平面 ABD , AB ? BD ,故以 B 为原点,建立如图所示的空间直角坐标 系 B - xyz . ?????1 分 由已知可得 B(0,0,0), A(0, 2,0), D(3,0,0),

3 C(3,-2,0), E(0,0, 3), F (0,1, 3), M ( ,0,0) 2 ??? ? ???? 3 ??? ? F) (Ⅰ) EM = ( ,0,- 3) ,AD= (3,-2,0) , AF = ( 0 , - 1 , . 3 2 设平面 ADF 的一个法向量是 n ? ( x, y,z ) . ??? ? ?n ? AD ? 0, ? ? ? 3x - 2 y = 0, 由 ? ??? 得? ? ? ?-y + 3z = 0. ? n ? AF ? 0, ? y
令 y = 3 ,则 n ? (2,3, 3) . A

z E ????? 2分 x D M B ?????3 分 C

又因为 EM ? n ? ( ,0,- 3) ? (2,3, 3) = 3 + 0 - 3 = 0 ,

????

3 2

???? 所以 EM ? n ,又 EM ? 平面 ADF ,所以 EM // 平面 ADF .
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知平面 ADF 的一个法向量是 n ? (2,3, 3) .

?????4 分

6

因为 EB ? 平面 ABD ,所以 EB ? BD . 又因为 AB ? BD ,所以 BD ? 平面 EBAF . 故 BD ? (3,0,0) 是平面 EBAF 的一个法向量.

??? ?

??? ? ??? ? BD ? n 1 = ,又二面角 D- AF - B 为锐角, 所以 cos < BD,n ?? ??? ? BD ? n 2
故二面角 D- AF - B 的大小为 60 ? . ?????10 分 (Ⅲ)假设在线段 EB 上存在一点 P ,使得 CP 与 AF 所成的角为 30 ? . 不妨设 P(0,0, t) ( 0 ? t ? 3 ) ,则 PC = (3,-2,-t ), AF = (0,-1, 3) .

??? ?

??? ?

??? ? ??? ? PC ? AF 2 - 3t ??? ? ??? ? 所以 cos < PC,AF ?? ??? , ? ??? ? ? PC ? AF 2 t 2 +13
由题意得

2 - 3t 2 t +13
2

?

3 , 2

化简得 ?4 3t ? 35 ,

? 0. 4 3 所以在线段 EB 上不存在点 P ,使得 CP 与 AF 所成的角为 30 ? .????14 分 (18) (本小题满分 13 分)
解:因为 f ( x) ?

解得 t ? ?

35

e ax eax (ax 2 ? 2 x ? a) ? , f ( x ) ? 所以 . x2 ? 1 ( x 2 ? 1)2

e x ( x 2 ? 2 x ? 1) ex (Ⅰ)当 a ? 1 时, f ( x) ? 2 , f ?( x) ? , x ?1 ( x 2 ? 1)2
所以 f (0) ? 1,

f ?(0) ? 1 .
?????4 分

所以曲线 y ? f ( x) 在点 (0, f (0)) 处的切线方程为 x ? y ? 1 ? 0 . (Ⅱ)因为 f ?( x) ?

eax (ax 2 ? 2 x ? a) eax ? (ax 2 ? 2 x ? a) , ( x 2 ? 1)2 ( x 2 ? 1)2

?????5 分

(1)当 a ? 0 时,由 f ?( x) ? 0 得 x ? 0 ;由 f ?( x) ? 0 得 x ? 0 . 所以函数 f ( x ) 在区间 ( ??, 0) 单调递增, 在区间 (0, ??) 单调递减. ?????6 分
2 2 (2)当 a ? 0 时, 设 g ( x) ? ax ? 2 x ? a ,方程 g ( x) ? ax ? 2 x ? a ? 0 的判别式

? ? 4 ? 4a2 ? 4(1 ? a)(1 ? a),

?????7 分

7

①当 0 ? a ? 1 时,此时 ? ? 0 .

1 ? 1 ? a2 1 ? 1 ? a2 由 f ?( x) ? 0 得 x ? ,或 x ? ; a a
由 f ?( x) ? 0 得

1 ? 1 ? a2 1 ? 1 ? a2 ?x? . a a

所以函数 f ( x ) 单调递增区间是 (??,

1 ? 1 ? a2 1 ? 1 ? a2 ) 和( , ??) , a a
?????9 分

1 ? 1 ? a2 1 ? 1 ? a2 , ). 单调递减区间 ( a a
②当 a ? 1 时,此时 ? ? 0 .所以 f ?( x) ? 0 , 所以函数 f ( x ) 单调递增区间是 (??, ??) . ③当 ?1 ? a ? 0 时,此时 ? ? 0 . 由 f ?( x) ? 0 得

?????10 分

1 ? 1 ? a2 1 ? 1 ? a2 ?x? ; a a

1 ? 1 ? a2 1 ? 1 ? a2 由 f ?( x) ? 0 得 x ? ,或 x ? . a a
所以当 ?1 ? a ? 0 时,函数 f ( x ) 单调递减区间是 (??,

1 ? 1 ? a2 1 ? 1 ? a2 ) 和( , ??) , a a
?????12 分

单调递增区间 (

1 ? 1 ? a2 1 ? 1 ? a2 , ). a a

④当 a ? ?1 时, 此时 ? ? 0 , f ?( x) ? 0 ,所以函数 f ( x ) 单调递减区间是 (??, ??) . ????13 分 (19) (本小题满分 14 分) 解: (Ⅰ)依题意, c ?

2 , b ? 1,

所以 a ? b2 ? c2 ? 3 .

x2 ? y 2 ? 1. 故椭圆 C 的方程为 3

?????4 分

? x ? 1, 6 ? (Ⅱ)①当直线 l 的斜率不存在时,由 ? x 2 解得 x ? 1, y ? ? . 2 3 ? ? y ?1 ?3
8

不妨设 A(1,

6 6 ) , B(1, ? ), 3 3
2? 6 6 2? 3 ? 3 ? 2 ,又 k ? k ? 2k ,所以 k ? 1 , 1 3 2 2 2 2
n?2 ? 1 ,即 m ? n ? 1 ? 0 . m?3
???7 分

因为 k1 ? k3 ?

所以 m, n 的关系式为

②当直线 l 的斜率存在时,设直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 1) . 将 y ? k ( x ? 1) 代入

x2 ? y 2 ? 1整理化简得, (3k 2 ? 1) x2 ? 6k 2 x ? 3k 2 ? 3 ? 0 . 3 6k 2 3k 2 ? 3 x x ? , . 1 2 3k 2 ? 1 3k 2 ? 1
???9 分

设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ? 又 y1 ? k ( x1 ?1) , y2 ? k ( x2 ?1) . 所以 k1 ? k3 ?

2 ? y1 2 ? y2 (2 ? y1 )(3 ? x2 ) ? (2 ? y2 )(3 ? x1 ) ? ? 3 ? x1 3 ? x2 (3 ? x1 )(3 ? x2 )

?

[2 ? k ( x1 ? 1)](3 ? x2 ) ? [2 ? k ( x2 ? 1)](3 ? x1 ) x1 x2 ? 3( x1 ? x2 ) ? 9 2kx1 x2 ? (4k ? 2)( x1 ? x2 ) ? 6k ? 12 x1 x2 ? 3( x1 ? x2 ) ? 9

?

?

2k ?

3k 2 ? 3 6k 2 ? (4 k ? 2) ? ? 6k ? 12 3k 2 ? 1 3k 2 ? 1 3k 2 ? 3 6k 2 ? 3 ? ?9 3k 2 ? 1 3k 2 ? 1
???12 分

?

2(12k 2 ? 6) ? 2. 12k 2 ? 6

所以 2k2 ? 2 ,所以 k2 ?

n?2 ? 1 ,所以 m, n 的关系式为 m ? n ? 1 ? 0 .???13 分 m?3
???14 分

综上所述, m, n 的关系式为 m ? n ? 1 ? 0 . (20) (本小题满分 13 分)

解: (Ⅰ)若 A0 : 0,1,1,3,0,0 ,则 A 1 :1,0,1,3,0,0 ; A2 : 2,1, 2,0,0,0 ; A 3 : 3,0, 2,0,0,0 ;

A4 : 4,1,0,0,0,0 ; A5 : 5,0,0,0,0,0 .

9

若 A4 : 4,0,0,0,0 , 则

A3 : 3,1,0,0,0 ;

A2 : 2,0, 2,0,0 ;

A1 :1,1, 2,0,0 ;
???4 分

A0 : 0,0,1,3,0 .

(Ⅱ)先证存在性,若数列 A0 : a0 , a1 ,?, an 满足 ak ? 0 及 ai ? 0(0 ? i ? k ?1) ,则定义变 换 T ,变换 T 将数列 A0 变为数列 T ?1 ( A 0 ) : a0 ?1, a1 ?1,?, ak ?1 ?1, k , ak ?1,?, an . 易知 T 和 T 是互逆变换. 对于数列 n,0,0,?,0 连续实施变换 T (一直不能再作 T 变换为止)得
T T T n,0,0,?,0 ?? ? n ? 1,1,0,?,0 ?? ? n ? 2,0, 2,0,?,0 ?? ? n ? 3,1, 2, 0,?, 0 T T ?? ? ? ?? ? a0 , a1 ,?, an ,
?1 ?1 ?1 ?1 ?1

?1

?1

?1

???5 分
?1 ?1

则必有 a0 ? 0 (若 a0 ? 0 ,则还可作变换 T ) .反过来对 a0 , a1 ,?, an 作有限次变换 T , 即可还原为数列 n,0,0,?,0 ,因此存在数列 A0 满足条件. 下用数学归纳法证唯一性: 当 n ? 1, 2 是显然的, 假设唯一性对 n ? 1 成立, 考虑 n 的情形. 假设存在两个数列 a0 , a1 ,?, an 及 b0 , b1 ,?, bn 均可经过有限次 T 变换,变为 n, 0,? , 0 , 这里 a0 ? b0 ? 0 , a1 ? a2 ? ? ? an ? b1 ? b2 ? ? ? bn ? n 若 0 ? an ? n ,则由变换 T 的定义,不能变为 n, 0,? , 0 ;

?1

? 1,1,?,1,0 若 an ? n ,则 a1 ? a2 ? ? ? an ? 0 ,经过一次 T 变换,有 0,0,?,0, n ??
T

由于 n ? 3 ,可知 1,1,?,1,0 (至少 3 个 1)不可能变为 n, 0,? , 0 .

?, a2 ? ,?, an ? ? 1, a1 所以 an ? 0 ,同理 bn ? 0 令 a0 , a1 ,?, an ??
T T ? ,?, bn ? ? 1, b1?, b2 b0 , b1 ,?, bn ?? ,



? ? bn ? ? 0 ,所以 a1 ? ? a2 ? ? ? ? an ? ?1 ? n ?1 , b1? ? b2 ? ? ? ? bn ??1 ? n ? 1. 则 an ?,?, an ? ?1 ??? ? ? n-1, 0,?, 0 , 因为 0, a1
有限次T 有限次T ??1 ??? ? ? n-1, 0,?, 0 , 0, b1?,?, bn

故由归纳假设,有 ai? ? bi? , i ? 1, 2,?, n ? 1 .

10

再由 T 与 T 互逆,有
T ?,?, an ? ?1 ,0 ? 1, a1 a0 , a1 ,?, an ?? , T ??1 ,0 ? 1, b1?,?, bn b0 , b1 ,?, bn ?? ,

?1

所以 ai ? bi , i ? 1, 2,?, n ,从而唯一性得证.

???9 分

(Ⅲ) 显然 ai ? i (i ? 1, 2,?, n) , 这是由于若对某个 i0 ,ai0 ? i0 , 则由变换的定义可知,ai0 通过变换, 不能变为 0 . 由变换 T 的定义可知数列 A0 每经过一次变换,Sk 的值或者不变, 或 者 减 少 k , 由 于 数 列 A0 经 有 限 次 变 换 T , 变 为 数 列 n, 0,? , 0 时 , 有 Sm ? 0 ,

m ? 1, 2,?, n ,
所以 Sm ? mtm (tm 为整数 ) ,于是 Sm ? am ? Sm?1 ? am ? (m ? 1)tm?1 , 0 ? am ? m , 所以 am 为 Sm 除以 m ? 1 后所得的余数,即 am ? S m ? [

Sm ](m ? 1) .???13 分 m ?1

11


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