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同济大学线性代数考试试题



线性代数综合测验二

学号

姓名 .

? 01. 设 α, β, γ 为 3 维列向量, A = (α, β, γ ), B = (α + β + γ, α + 2β + 3γ, α + 4β + 9γ ). 若 | 1 2 B | = 1 , 则 |A | =

02. 已知二次型 ? 2x1

x2 ? + 6x1 x3 ? 6x2 x3 的秩为 2, 则 a = ? f= ?2 0 0 ?1 0 0 ? ? ? ? ? ? ? 03. 设矩阵 ? 2 x 2 ? 和 ? 0 2 0 ? ? 相似, 则 x + y = 0 0 y 3 1 1 04. 向量组 a1 , a2 , · · · , am 线性无关的充分必要条件是 . 5x2 1 + 5x2 2 ? + ax2 3 ? (A) 其中任何 m ? 1 个向量都线性无关. (B) 存在不全为零的数 k1 , · · · , km , 使得 k1 a1 + · · · + km am ?= 0. (C) 存在向量 ai 不能由其余向量线性表示. (D) 每个向量 ai 都不能由其余向量线性表示. 05. 齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是 (A) 系数矩阵的行向量组线性相关. (C) 系数矩阵的行向量组线性无关. (B) 系数矩阵的列向量组线性相关. (D) 系数矩阵的列向量组线性无关. .

. .

? ? x1 + x2 ? 2x3 + 3x4 = 0, ? ? ? ? 2x + x ? 6x + 4x = ?1, 1 2 3 4 06. 已知关于 x1 , x2 , x3 , x4 的方程组 问 λ, ? 为何值时, 方程组有解? 并写出通解. ? 3 x + 2 x + λx + 7 x = ? 1 , ? 1 2 3 4 ? ? ? x1 ? x2 ? 6x3 ? x4 = ?.

? 1 1

?

? 0 2

?

? ? ? ? ? ? ? 07. 设 3 阶实对称阵 A 满足 tr A = ?6, AB = C , 其中 B = ? ? 2 x ? , C = ? 0 2x ? , 求 x 和矩阵 A. 1 1 0 2

? ? 08. 设 A = ? ? ?x ?1 4 2 3 2

? x ? ?. 问 x 为何值时, A 可相似对角化? ?3

?2

?

09. 设 P [x]3 为次数不高于 3 次的多项式关于函数线性运算构成的线性空间,定义 T (f (x)) = f (x + 1) + (i) 证明 T 是 P [x]3 上的线性变换; (ii) 求 T 在基底 f1 = 1, f2 = x, f3 = x2 , f4 = x3 + x2 下的矩阵.

df (x) . dx

?

? ? ? ? ? ? 0 ? ? 1 ? ? 2 ? ? ? ? 10. 设非齐次线性方程组 Ax = b 的通解为 x = c1 ? ? + c2 ? ? 0 ?+? 1 ? 0 ? ? ? ? 1 1 2 由 a3 , a4 线性表示.

1

?

?

2

?

?

1

? ? ? ? , (c1 , c2 ∈ R). 记 A = (a1 , a2 , a3 , a4 ), 证明: b 可 ? ?



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