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福建省福州市2014届高三毕业班质检数学理试题含答案




2014 年福州市高中毕业班质量检测

理科数学试卷
(完卷时间:120 分钟;满分:150 分)

第Ⅰ卷(选择题

共 50 分)

一、选择题:本大题共 10 小题.每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的. 1.已知集合 A={(x,y)|y=lgx},B={(x,y)|x=a},若 A∩B= ? ,则实数 a 的取值范围是( A. a<1 B. a≤1 C. a<0 D. a≤0 ). ).

2.“实数 a=1”是“复数 (1 ? ai)i ( a∈R ,i 为虚数单位)的模为 2 ”的( A.充分非必要条件 C.充要条件 B.必要非充分条件 D.既不是充分条件又不是必要条件 )

开始 M=2 i=1 i<5?

3. 执行如图所示的程序框图,输出的 M 的值是(

M?

1 1? M

i=i+1


输出 M 结束

A. 2

B. ? 1

C.

1 2

D. ?2 )

4. 命题” ?x ? R ,使得 f ( x ) ? x ”的否定是( A. ?x ? R ,都有 f ( x) ? x C. ?x ? R ,都有 f ( x) ? x

B.不存在 x ? R ,使 f ( x) ? x D. ?x ? R ,使 f ( x) ? x ).

5. 已知等比数列{an}的前 n 项积为 ? n,若 a3 ? a4 ? a8 ? 8 ,则 ? 9=( A.512 B.256 C.81 D.16

6. 如图,设向量 OA ? (3,1) , OB ? (1,3) ,若 OC =λ OA +μ OB ,且λ ≥μ ≥1,则用阴影表 示 C 点所有可能的位置区域正确的是( )

1

7. 函数 f(x)的部分图象如图所示,则 f(x)的解析式可以是(

).

y

O



3? 2



? 2

? 2

3? 2

A.f(x)=x+sinx

B. f ( x ) ?

cos x x

C.f(x)=xcosx

D. f ( x ) ? x( x ?

?
2

)( x ?

3? ) 2

8. 已知 F1、F2 是双曲线 点 F2 关于直线 y ?

x2 y2 ? ? 1 (a>0,b>0)的左、右焦点,若双曲线左支上存在一点 P 与 a2 b2
).

bx 对称,,则该双曲线的离心为 ( a
B. 5 C. 2

A.

5 2

D.2

9.若定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(-x)=f(x), f(2-x)=f(x), 且当 x∈[0,1]时,其图象是四分之一圆(如图所示),则函数 H(x)= |xex|-f(x)在区间[-3,1]上的零点个数为 ( )

y

1

O

1

x

A.5

B.4

C.3

D.2

10.已知函数 f(x)=x3+bx2+cx+d(b、c、d 为常数),当 x∈(0,1)时取得极大值,当 x∈(1,2)时取极小

2

值,则 (b ?

1 2 ) ? (c ? 3) 2 的取值范围是( 2

).

A. (

37 ,5) 2

B. ( 5 ,5)

C. (

37 ,25 ) 4

D.(5,25)

第Ⅱ卷(非选择题

共 100 分)

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分. 11.5 名同学排成一列,某个同学不排排头的排法种数为 (用数字作答).

C

B

y ? x2
A

12.如图所示,在边长为 1 的正方形 OABC 中任取一点 M,则点 M 恰好取自 阴影部分的概率为 .

O

13. 若直线 x ? y ? 2 ? 0 与圆 C: ( x ? 3)2 ? ( y ? 3)2 ? 4 相交于 A、B 两点,则 CA ? CB 的值 为 . .

14.已知某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则该几何体的表面积为

?x ? (?1) n sin ? 2n, x ? [2n, 2n ? 1) ? ? 2 , (n ? N ) , 15.已知函数 f ( x) ? ? ?(?1) n ?1 sin ? x ? 2n ? 2, x ? [2n ? 1, 2n ? 2) ? 2 ?
若数列{am}满足 a m ? f (

m )( m ? N ? ) ,且 ?am ? 的前 m 项和为 Sm ,则 S2014 ? S2006 = 2

.

三、解答题:本大题共六个小题,共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.(本小题满分13分) 在对某渔业产品的质量调研中,从甲、乙两地出产的该产品中各随机抽取10件,测量该产 品中某种元素的含量(单位:毫克).下表是测量数据的茎叶图: 甲地 8 3 4 6 8 0 1 2 2 4 7 8 8 9 0 0 1 2 乙地

0 2 4 5 6

规定:当产品中的此种元素含量≥15 毫克时为优质品. (Ⅰ)试用上述样本数据估计甲、乙两地该产品的优质品率(优质品件数/总件数);
3

(Ⅱ)从乙地抽出的上述 10 件产品中,随机抽取 3 件,求抽到的 3 件产品中优质品数 ? 的 分布列及数学期望 E (? ) .

17. (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? 2cos2 x ? 2 3sin x cos x( x ? R). . (Ⅰ)当 x ? [0,

?
2

] 时,求函数 f ( x ) 的单调递增区间;

(Ⅱ)设 ? ABC 的内角 A, B, C 的对应边分别为 a, b, c ,且 c ? 3, f (C ) ? 2, 若向量

m ? (1, sinA) 与向量 n ? (2, sinB) 共线,求 a , b 的值.

18. (本小题满分 13 分)
0 ?,点 4 E 、 F 分别是 AB 、 如图,直角梯形 ABCD 中,?ABC ? 90 AB ? BC ? 2 AD=4

CD 的中点, 点 G 在 EF 上, 沿 EF 将梯形 AEFD 翻折, 使平面 AEFD ⊥平面 EBCF .
(Ⅰ)当 AG + GC 最小时,求证: BD ⊥ CG ; (Ⅱ)当 2VBADGE

= VD - GBCF 时,求二面角 D - BG - C 平面角的余弦值.

19.(本小题满分 13 分) 已知动圆 C 过定点(1,0),且与直线 x=-1 相切. (Ⅰ)求动圆圆心 C 的轨迹方程; (Ⅱ) 设 A、 B 是轨迹 C 上异于原点 O 的两个不同点,直线 OA 和 OB 的倾斜角分别为 ? 和 ? , ①当 ? ? ? =

? 时,求证直线 AB 恒过一定点 M; 2

4

② 若 ? ? ? 为定值 ? (0 ? ? ? ? ) ,直线 AB 是否仍恒过一定点,若存在,试求出定点的坐标; 若不 存在,请说明理由.

20. (本小题满分 14 分)

(x + ) ? ax ,其中 a ? R 且 a ? 0 已知函数 f ( x) ? ln
(Ⅰ )讨论 f ( x ) 的单调区间; (Ⅱ )若直线 y ? ax 的图像恒在函数 f ( x ) 图像的上方,求 a 的取值范围; (Ⅲ)若存在 ?

1 a

1 ? x1 ? 0 , x2 ? 0 ,使得 f ( x1 ) = f ( x2 ) = 0 ,求证: x1 ? x2 ? 0 . a

21. 本题设有(1) 、 (2) 、 (3)三个选考题,每题 7 分,请考生任选 2 题作答,满分 14 分. 如果多做,则按所做的前两题计分.作答时,先用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右边 的方框涂黑,并将所选题号填入括号中. (1) (本小题满分 7 分)选修 4-2:矩阵与变换. 已知矩阵 A ? ? ?

?3 3? ?1? ? ,若矩阵 A 属于特征值 6 的一个特征向量为 ? 1 ? ? ? ?1? ? ,属于特征值 1 的 ?c d ? ? ? ? 3 ?

一个特征向量 ? 2 ? ? ? ? 2? ?. ? ? (Ⅰ)求矩阵 A 的逆矩阵; (Ⅱ)计算 A3 ? ?

? ? 1? ? ? 的值. ? 4 ?

(2) (本小题满分 7 分)选修 4-4:坐标系与参数方程. 在平面直角坐标系 xoy 中,以 O 为极点,x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线 C 的极坐 标方程为 ? sin
2

x ? ?2 ? ? ? ? 4 cos? ,直线 l 的参数方程为: ?

?

2 t 2 (t 为参数),两曲线相交于 M,N ? ? y ? ?4 ? 2 t ? 2 ?

两点. (Ⅰ)写出曲线 C 的直角坐标方程和直线 l 的普通方程; (Ⅱ)若 P(-2,-4),求|PM|+|PN|的值. (3) (本小题满分 7 分)选修 4-5:不等式选讲

5

设函数 f(x)=|x-4|+|x-3|, (Ⅰ)求 f(x)的最小值 m (Ⅱ)当 a+2b+3c=m(a,b,c∈ R)时,求 a2+b2+c2 的最小值.

2014 年福州市高中毕业班质量检测 数学(理科)试卷参考答案及评分标准
1—10 11.96 DABCA 12.1/3 DCBBD 13.0 14.18+ 2 3 cm2 15.8042

16. 解:(I)甲厂抽取的样本中优等品有 7 件,优等品率为

7 . 10 8 4 ? . ………………4 分 乙厂抽取的样本中优等品有 8 件,优等品率为 10 5

(II) ? 的取值为 1,2,3. ………………5 分

P(? ? 1) ?

1 2 C8 ? C2 1 ? , 3 C10 15

………………7 分

1 C82 ? C2 7 P(? ? 2) ? ? , ………………9 分 3 C10 15

P(? ? 3) ?

3 0 C8 ? C2 7 ? ………………11 分 3 15 C10

所以 ? 的分布列为

?

1

2

3

6

P
………………12 分

1 15

7 15

7 15

E ?) ? 1? 故 ?的数学期望为(

1 7 7 12 ? 2 ? ? 3 ? ? . ………………13 分 15 15 15 5

17. 解:(I) f ( x) ? 2cos2 x ? 3 sin 2 x = cos 2 x ? 3 sin 2 x ? 1 = 2sin ? 2 x ? 令-

? ?

??

? ? 1 ……………2 分 6?

?
2

? 2 k? ? 2 x ?

?
6

?

?
2

? 2 k? , k ? Z ,

解得 2k? ?

x ? [0, ] ,? f(x)的递增区间为 [0, ] 2 6
(Ⅱ)由 f (C ) ? 2 sin( 2C ?

?

? ? 2? ? ? 2 x ? 2k? ? 即 k? ? ? x ? k? ? …………4 分 3 6 3 3
?
………………6 分

?

6

) ? 1 ? 2 ,得 sin( 2C ?

?
6

)?

1 2

而 C ? ? 0, ? ? ,所以 2C ?

?

? ? 13? ?? , 6 ?6 6

? 5 ? ? ? ,所以 2C ? 6 ? 6 ? 得 C ? 3 ?????????8分 ?
sin A 1 ? , sin B 2

因为向量 m ? (1, sinA) 与向量 n ? (2, sinB) 共线,所以

由正弦定理得:

a 1 ? b 2
2 2 2

①……………10 分

由余弦定理得: c ? a ? b ? 2ab cos 由①②解得 a ?

?
3

,即 a2+b2-ab=9 ②………12 分

3 , b ? 2 3 ……………13 分
18. 解:(Ⅰ)证明:∵点 E 、 F 分别是 AB 、CD 的中点,∴ EF//BC 又∠ABC=90°∴ AE⊥ EF,∵ 平面 AEFD⊥ 平面 EBCF, ∴ AE⊥ 平面 EBCF,AE⊥ EF,AE⊥ BE, 又 BE⊥ EF, 如图建立空间坐标系 E﹣xyz.……………2 分 翻折前,连结 AC 交 EF 于点 G,此时点 G 使得 AG+GC 最小. EG=

1 BC=2,又∵ EA=EB=2. 2

7

则 A(0,0,2),B(2,0,0),C(2,4,0), D(0,2,2),E(0,0,0),G(0,2,0), ∴ =(﹣2,2,2), CG =(-2,-2,0) ∴ BD ? CG =(﹣2,2,2)(-2,-2,0)=0,

BD ⊥ CG ………………5 分 ∴
(Ⅱ )解法一:设 EG=k,

AD ∥平面 EFCB ,? 点 D 到平面 EFCB 的距离为即为点 A 到平面 EFCB 的距离.

1 [(3- k)+4]×2=7-k 2 1 2 \ VD- GBCF = 鬃 S四形GBCF AE = (7 ? k ) 3 3 1 2 又 VB- ADGE = S四形ADGE BE = (2 ? k ) , 3 3 4 2 2VB- ADGE = VD- GBCF ,? (2 ? k ) = (7 ? k ) , 3 3 S四形GBCF =

? k ? 1 即 EG=1…………………8 分
设平面 DBG 的法向量为 n1 ? ( x, y, z) ,∵G(0,1,0), ∴ BG ? (?2,1,0), BD ? (-2,2,2), 则 ?

? ? n1 ? BD ? 0 ? ?n1 ? BG ? 0

,即 ?

??2 x ? 2 y ? 2 z ? 0 ? ?2 x ? y ? 0
…………………10 分

取 x=1,则 y=2,z=-1,∴ n ? (1, 2, ?1) 面 BCG 的一个法向量为 n2 ? (0,0,1) 则 cos< n1 , n2 >=

n1 n2 6 ?? 6 | n1 || n2 |

…………………12 分

由于所求二面角 D-BF-C 的平面角为锐角, 所以此二面角平面角的余弦值为

6 ……………………13 分 6

(Ⅱ)解法二:由解法一得 EG=1,过点 D 作 DH ? EF,垂足 H, 过点 H 作 BG 延长线的垂线垂足 O,连接 OD. ∵平面 AEFD⊥平面 EBCF,? DH ? 平面 EBCF,? OD ? OB,所以

?DOH 就 是 所 求 的 二 面 角 D - BG - C 的 平 面

8

角. …………9 分 由于 HG=1,在 ? OHG 中 OH ?

2 5 , 5
DH ? 5 …………11 分 OH

又 DH=2,在 ? DOH 中 tan ?DOH ?

所以此二面角平面角的余弦值为 19. 解: (Ⅰ)设动圆圆心 M(x,y),

6 .…………13 分 6

依题意点 M 的轨迹是以(1,0)为焦点,直线 x=-1 为准线的抛物线………2 分 其方程为 y2=4x.- …………3 分 (Ⅱ)设 A(x1,y1),B(x2,y2). 由题意得 x1≠x2(否则 ? ? ? ? ? )且 x1x2≠0,则 x1 ?

y12 y2 , x2 ? 2 4 4

所以直线 AB 的斜率存在,设直线 AB 的方程为 y=kx+b, 则将 y=kx+b 与 y2=4x 联立消去 x,得 ky2-4y+4b=0 由韦达定理得 y1 ? y 2 ? ① 当? ? ? =

4 4b , y1 y 2 ? -------※…………6 分 k k

? y y 时, tan ? ? tan ? ? 1 所以 1 ? 2 ? 1, x1 x2 ? y1 y2 ? 0 ,…………7 分 2 x1 x2
4b 所以 b=4k;因此直线 AB 的方程可表示为 y=kx+4k,所以直 k

所以 y1y2=16,又由※ 知:y1y2=

线 AB 恒过定点(-4,0). …………8 分 ② 当 ? ? ? 为定值 ? (0 ? ? ? ? ) 时.若 ? ? ? = 直线 AB 恒过定点 M(-4,0) …………9 分 当? ?

? ,由① 知, 2
tan ? ? tan ? 4( y1 ? y 2 ) = 1 ? tan ? tan ? y1 y 2 ? 16

?
2

时,由 ? ? ? ? ? ,得 tan ? ? tan(? ? ? ) =

4 4 ,所以 b ? 4k ? ,…………11 分 b ? 4k tan ? 4 此时,直线 AB 的方程可表示为 y=kx+ 4 k ? , tan ? 4 ) …………12 分 所以直线 AB 恒过定点 ( ?4, tan ?
将※ 式代入上式整理化简可得: tan ? ? 所以当 ? ?

?

2

时,直线 AB 恒过定点(-4,0).,

9

当? ?

?
2

时直线 AB 恒过定点 ( ?4,

4 ) .…………13 分 tan ?

20. 解:(I)f(x)的定义域为 ( ?
'

1 ,?? ) . a

其导数 f ( x) =

1 x+ 1 a

- a= -

a2 x ???1 分 ax + 1
1 ,?? ) 上是增函数;????2 分 a

①当 a ? 0 时, f '( x) ? 0 ,函数在 ( ? ②当 a ? 0 时,在区间 (所以 f ( x ) 在 (-

1 , 0) 上, f '( x) ? 0 ;在区间(0,+∞)上, f '( x) ? 0 . a

1 , 0) 是增函数,在(0,+∞)是减函数. ????4 分 a 1 (II)当 a ? 0 时, 取 x ? e ? , a 1 1 1 则 f (e ? ) ? 1 ? a (e ? ) ? 2 ? ae ? 0 ? ae ? 1 ? a (e ? ) , 不合题意. a a a 1 当 a ? 0 时令 h( x) ? ax ? f ( x) ,则 h( x) ? 2ax ? ln( x ? ) ???6 分 a
问题化为求 h( x) ? 0 恒成立时 a 的取值范围.

1 ) ' 2 a 由于 h ( x) ? 2a ? ???7 分 ? 1 1 x? x? a a 1 1 1 ) 上, h' ( x) ? 0 ;在区间 ( ? ,?? ) 上, h' ( x) ? 0 . ? 在区间 (- , 2a a 2a 1 1 ? h( x) 的最小值为 h(? ) ,所以只需 h(? ) ? 0 2a 2a 1 1 1 1 e ) ? ln(? ? ) ? 0 ,? ln ? ?1 ,? a ? ???9 分 即 2a ? ( ? 2a 2a a 2a 2 1 (Ⅲ)由于当 a ? 0 时函数在 ( ? ,?? ) 上是增函数,不满足题意,所以 a ? 0 a 1 构造函数: g ( x) ? f (? x) ? f ( x) ( ? ? x ? 0 ) a 1 1 ? g ( x) ? ln( ? x) ? ln( x ? ) ? 2ax ???11 分 a a 1 2a ( x ?
g ' ( x) ?


1 x? 1 a

?

1 x? 1 a

? 2a ?

2ax 2 ?0 1 x2 ? 2 a
? 1 ? x1 ? 0 ,则 g ( x1 ) ? g (0) ? 0 , a

所以函数 g ( x) 在区间 (?

1 , 0) 上为减函数. a
10

于是 f (- x1 ) - f ( x1 ) > 0 ,又 f ( x1 ) ? 0 , f (- x1 ) > 0 = f ( x2 ) ,由 f ( x ) 在 (0, ??) 上为减函 数可知 x2 ? ? x1 .即 x1 ? x2 ? 0 ???????14 分 21. (1)(本小题满分 7 分)选修 4-2:矩阵与变换 解: (Ⅰ)法一:依题意, ?

? c?d ?6 ?c ? 2 ? 3 3? .A?? ,? ? ? 2 4? ? . ………… 2 分 ?3c ? 2d ? ?2 ?d ? 4 ? ?

所以 A

?1

1? ? 2 ? ? ? 2 ? …………4 分 ?? 3 1 1 ?? ? ? ? ? 3 2 ?
?3

法二:

? ?3
?c

? ?d

? 0即?2 ? (3 ? d )? ? 3d ? 3c ? 0 的两个根为 6 和 1, ? 3 3? ? ? …………2 分 ? 2 4?

故 d=4,c=2. ? A ? ? ?

所以 A

?1

1? ? 2 ? ? ? 2 ? -…………4 分 ?? 3 1 1 ?? ? ? ? ? 3 2 ?
? ? 1? ?1? ? 3 ? ? ? =2 ? ? ? ? …………5 分 ? ? ? -? ? 4 ? ? 1 ? ? ? 2?

(Ⅱ)法一: ? ?

A3 ? ?

1 3 ? ? 429? ? ? 1? 3? ? 3? ? ? ? ? ? =2×6 - 1 ? ? …………7 分 ? ? ? 2? ? =? ?1? ? 4 ? ? ? ? 434? ? ? ? 3 3 ?? 3 3 ? ? 15 21? 3 ? 15 21?? 3 3 ? ? 87 129? ?? ? ? ? ? ? ??? ? ?; A ? ? ? 14 22? ?? ? ??? ? ? 4? ?? 2 4 ? ? 14 22? ? ?? 2 4 ? ? 86 130?

法二: A2 ? ? ?2 ? A3 ? ?

? ? 1 ? ? 87 129?? ? 1? ? 429? ? ? ? ?=? ? ?? ? ? ??? ? ? …………7 分 ? 4 ? ? 86 130?? 4 ? ? 434?

(2)(本小题满分 7 分)选修 4-4:坐标系与参数方程. 解:(Ⅰ)(曲线 C 的直角坐标方程为 y2=4x, 直线 l 的普通方程 x-y-2=0. ………..4 分

? ? x ? ?2 ? ? (Ⅱ)直线 l 的参数方程为 ? ? y ? ?4 ? ? ?
2

2 t 2 (t 为参数), 2 t 2

代入 y2=4x, 得到 t ? 12 2t ? 48 ? 0 ,设 M,N 对应的参数分别为 t1,t2
11

则 t1 ? t 2 ? 12 2 , t1t 2 ? 48 ? 0 所以|PM|+|PN|=|t1+t2|= 12 2 …………7 分 (3) )(本小题满分 7 分)选修 4-5:不等式选讲 解:(Ⅰ)法 1: f(x)=|x-4|+|x-3|≥|(x-4)-(x-3)|=1, 故函数 f(x)的最小值为 1. m=1. …………4 分

?2 x ? 7, x ? 4 ? 法 2: f ( x ) ? ? 1,3 ? x ? 4 .------------------1 分 ?7 ? 2 x , x ? 3 ?
x≥4 时,f(x)≥1;x<3 时,f(x)>1,3≤x<4 时,f(x)=1,----------------3 分 故函数 f(x)的最小值为 1. m=1. …………4 分

(Ⅱ)由柯西不等式(a2+b2+c2)(12+22+32)≥(a+2b+3c)2=1----------5 分

1 -…………6 分 14 1 1 3 ,b ? ,c ? 当且仅当 a ? 时取等号…………7 分 14 7 14
故 a2+b2+c2≥

12



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