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2013年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题(word版)



2013 年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题 (5 月 5 日 8:00 至 10:00) 一.填空题:本大题共 10 小题,每小题 7 分,共 70 分. 1 . 设 方 程 x 2 ? 2mx ? m2 ? 1 ? 0 的 根 大 于 ?2 , 且 小 于 4 , 则 实 数 m 的 范 围 是 . .

2.从 6 双不同号码的鞋中取出 4 只,至少配成

一双的概率为

3 . 设 实 数 x , y 满 足 x2 ? 4 x ? y ? 3 ? 0 , 则 x 2 ? y 2 的 最 大 值 与 最 小 值 之 差 是 .

4.若存在正实数 a , b 满足 (a ? bi)n ? (a ? bi)n ( i 是虚数单位, n ? N* ) ,则 n 的 最小值是 .

5 . 若 三 角 形 ABC 的 三 边 AB , BC , AC 成 等 差 数 列 , 则 ? A 的 取 值 范 围 是 . 6.若数列 ?an ? 满足 a4 ? 9 , (an?1 ? an ?1)(an?1 ? 3an ) ? 0( n ? N* ) ,则满足条件的

a1 的所有可能值之积是



7.已知 f ( x) ? x2 ? 94 x ? 2013 ,则 ? ? f (n) ? f (n) ? ?
n ?30

60



1 8.设 x , y ??0, 2? ? ,且满足 2sin x cos y ? sin x ? cos y ? ? ,则 x ? y 的最大值 2
为 .

9.已知正四面体 ABCD 的棱长为 9,点 P 是面 ABC 上的一个动点,满足 P 到面 DAB 、 DBC 、 DCA 的 距 离 成 等 差 数 列 , 则 P 到 面 DCA 距 离 的 最 大 值 是 .

10.将小王和小孙现在的年龄按从左到右的顺序排列得到一个四位数,这个四 位数为完全平方数,再过 31 年,将他们俩的年龄以同样方式排列又得到一 个四位数,这个数仍为完全平方数,小王现在的年龄是 .

二.解答题:本大题共 4 小题,每小题 20 分,共 80 分. 11.设 k 为实数, 0 ? k ? 6 ,椭圆 E1 :
( x ? k )2 x2 ? y 2 ? 1 与椭圆 E2 : ? y 2 ? 1 交于 9 9

点 A 和 C , E1 的左顶点为 B , E2 的右顶点为 D (如图) ,若四边形 ABCD 是 正方形,求实数 k .

12.如图,梯形 ABCD 中, B 、 D 关于对角线 AC 对称的点分别是 B ' 、 D ' , A 、 C 关于对角线 BD 对称的点分别是 A ' 、C ' . 证明: 四边形 A ' B ' C ' D ' 是梯形.

13.设实数 a , b 满足 0 ? a ?

1 ? b ? 1 .证明: 2(b ? a) ? cos ? a ? cos ? b . 2

14.正 100 边形的每个顶点染红、黄、蓝三色之一.证明:必存在四个同色点, 恰为某等腰梯形的顶点.



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