《 数学之友》
2 0 1 5 年第 1 2期
例析空间向量与三垂线定理
解 题 探 索
、
郭
勇
( 江苏省南菁 高级 中学 , 2 1 4 4 0 0 )
立体几何 因其独特的空问想象和缜密地逻辑推
理一直备受人们的关注. 传统 的教材始终围绕三垂 线定理作为整个立体几何的核心予以展开 , 这里 固 然有其本身的特点 : 一方 面它是整个立体几 何内容 的一个典型代表 , 处在立体几何内容的枢纽位置; 另 方 面 三垂线 定理 对 有 效 化解 直线 与 直线 、 直线 与
所以船 上 平面 E F D, 故P B上 D F . ( 2 ) 设点 r ( x 0 , Y o , Z 0 ) , P F= A P B ‘ , 贝 Ⅱ ( o , Y o , 0 一 口 ) = A ( n , 口 , 一 口 ) . 从 而 o =A a , Y o : A a, =( 1一 A) 口 .
一
又 ( 詈 , 0 , 号 ) ,
平面、 平 面与 平面 的 位 置关 系 中 的距 离 及 角 起 到无
可替代的作用. 然而 , 现行教材随着空间向量及其运 算引人立体几何内容 中, 用 向量方法或坐标 方法成 为处理相关问题普遍适用 的方法 , 用三垂线 定理及 其逆定理 的综合方法不再 突出( 事实上 已不作为定 理) , 因此 , 用 空间向量及其运算这个工具 , 以新 的 视角处理立体几何 中的夹角、 距离及位置关 系将推 至前 台成为研究的热点. 下 面结合具体的例 子谈谈 空 间 向量 法在 立体 几何 中 的应用.
例 1 如 图, 在 四棱 锥 P— A B C D中, 底面 A B C D 的 中点 , 作E F上P B交 P B于点
所 以 = ( 詈 一 。 , 一 , 号 一 )
=
( 号 , , ( A 一 号 ) 口 ) .
由条件 .. E F上P B知 , — - _ +? 朋 — — _ + = 0 ,
 ̄ - A a 2 + ( 丢 一 A ) 口 2 一 ( A 一 丢 ) 口 - o .
解得 A= 了 1所 以 , P F=_. 1
.
评注 : 怎样 确 定 点 P在 直 线 A B( 线段 ) 上 的位
置, 空间向量有其独到之 处. 一般 常用共线 向量 定
方 法 简 洁 明 了.
这里设 : A 赢, 列方程, 通过解方程, 求得 A , 是正 方形 , 侧棱 P D上底 面 A B C D, P D=DC , E是 P C 理,
( 1 )求证 : P B上 ‘ D F ;
D F
例2 如 图, 已知 正 方
形A B C D和 矩形 A C E F所 在
( 2 )求 的值.
』1D
的平 面 互 相 垂 直 , A B= , A F=1 , M 是线段 E F 的
中点.
分析 : 按照传 统 教材 , 这是 一道 典 型 的三垂线 定 理 训 练题 , 虽然本 题 中没有 长 度 , 可 先设 出底 面正 方
形 的边长结合勾股运算很快可 以求得其解. 但上述 方 法 已不适 事宜 , 建 立空 间直 角坐标 系 , 根据 所设 长 度, 找出相关点 的坐标 , 再进行计 算或证 明将 成为
时 尚.
( 1 )求 证 : A M/ /平
面 B D E;
( 2 ) 求二面角 A— D F— B的大小 ; ( 3 ) 试在线段 A C上确定一点 P, 使得 P F与 C D
所成 的角 是 6 0 。 .
解: 取 D 为 坐 标 原点 , 建
立如图所示空 间直角坐标 系
D— x y z , 设D C=口 .
解: 如图 , 建 立空 间直 角坐标 系 C— x y z , 则E
( 0 , 0, 1 ) , D( , 0 , 0) , B( O , , 0 ) , A( , , 0 ) ,
( 1 ) 依题意, 得8 ( a , n , 0 ) ,
e ( o , 0 , 口 ) , 尸 曰 ( n , 口 , 一 n ) .
譬 , ? ) .
( 1 ) 设平面 B D E的法向量 , l = ( , y , z ) . 由, l 上D E 及, l 上B E, 得一 + = 0 且一 √ 2 y + = 0 .
( 下转 第 6 8页 )
?
又 = ( 号 , o , 詈 ) ,
故 赢? = o + 等 2 一 号 2 = o . 所 以 朋J _ D E .
电E F. L P B, 且E Ff 3 D E=E。
则 , l =( 1 , 1 , √ ) .
6 5?
《 数学之友》
2 0 1 5 年第 1 2期
点评 : 对 于例 4 , 都 是 三 个 式子 相 加 , 不 便 直接 使 用基 本 不等 式 , 自然想 到先将 前 两个结 合 , 再 将二
三、 一 三结合 , 相 加 即得 . 这 类题 的对 策 就是 两 两 结 合, 例 5给我 们 的启 示是 , z的 位 置是 平 等 的 , Y地
点评 : 本例 的第一 个 小题 用作 差 法也 未尝 不可 , 但是 我们在 配一 项后 使 问题 变得 极 其 简单 , 而且 可 以推 广到 下 面 两问 , 说 明这种技 巧也 是 具有普 适性 .
位 更 高一 些 , 应该 区别 对待 , 当然 也可 以分 子分母 同 除以 Y , 通过 减 元来解 决.
2 . 4 配 一 项
3 结 语
总之 , 掌 握 了运 用 基 本不 等 式 的一 个 规则 和 四
个技巧后 , 当我们遇到不能直接使用基本不 等式 的
题 目时 , 可 以通过 构 造 、 变形、 转 化 到 可 以使 用 的 问 题 上来 , 这就 要求 我 们 整 体 把握 、 灵活变通 , 既要 掌
握 通性通 法 , 又要 熟 悉 特 技. 这样 , 弄 清题 目的实 质
例 6 已知 a , 6 , c ∈R . 求证 :
( 1 ) b - + 牛≥ 0 + b ;
( 2 ) 0+ {+ ≥ + +
Q 0 e
^ 一
后, 做起题来就会得心应手 , 达到快速解题的 目的.
2
( 3 ) 已知 ∈( 0 , +∞) , =1 , 2 , …, n , 求证 :
+ + . . .+ + . . . .
a ; 1
参 考文献 :
X2
n
‘
“
[ 1 ] 普通高 中数学课 程标准 ( 实验) [ M] . 北 京: 人 民教 育 出版社 , 2 0 0 3 . 4 . [ 2 ] 吴 增 生. 数 学 思 想 方 法 及 其 教 学 策 略 初 探[ J ] . 数学教育学报 , 2 0 1 4 , 2 3 ( 3 ) : 1 1 — 1 5 . [ 3 ] G? 波利亚. 怎样解题 [ M] . 上海 : 上海科
技教 育 出版社 , 2 0 0 2 .
证 明: ( 1 ) 配一项 , 由 +0 ≥2 6 , a +b 了 12 > n相
加 即得 .
( 2 ) ( 3 ) 同理 可得.
、
( 上接第 6 5页)
又 = ( 一 譬 , 一 , ) ’ 则 ? — A M =( 1 , l ) ‘ ( 一 譬 , 一 譬 , 1 ) = 0 .
,
解得 t = 等或 t = - - q - - 舍去) .
二 厶
所 以所 求 点 P为 A C的 中点. 由以上 二 例可 见 , 无 论 是 空 间中 夹角 大 小 的定 量确认 , 还 是空 间 中平行 或垂 直关 系的定 性证 明 , 空
从 而 n上
又A 隹 平面B D E , 所以 A Mf f平面 B D E . ( 2 ) 设平面 B DF的法 向量 , l 。 =( , y , ) , 平 面
A F D 的法 向量 =( 口 , b , C ) .
间中相关平面的法向量或共线 向量都扮演 了极其重 要 的角色. 一般 地 , 用 空 间 向量 来 解题 , 不 仅 能 起 到 培养 学生 的空 间想 象 能 力 的桥 梁 作 用 , 而 且 还 充 分 体现“ 以人为本 , 大家都学有用的数学” 这一新课改 的理 念. 例 二 中法 向量 的介 入 , 空 间想象 能力不 仅 未
被弱 化 , 反 而使 研究 问题 的手 段更加 丰 富灵 活 , 并 且
由n 1 上 D及 n l 上肋 ,
可 求 = ( 一 譬 , 一 譬 , 1 ) .
由n 2 上A 及 n 2 上 可 求得 : , l 2 =(一1 , 0, 0 ) ,
于 — 是 甘 C O ¥<nl , n 2> - 4 ■ - ?
使空间向量的代数化运算与立体几何 的严密逻辑推 理融 为一体 , 得 以实 现.
参 考文献 :
即n 1 与n 2 的夹角是 6 0 。 . 又n 与n 的方向不一致 , 故二面角 A— D F— B的大小为 6 0 。 .
( 3 ) 设 P ( t , t , O ) , ( 0≤t ≤ ) ,
则 =( 一£ , 一 £ , 1 ) .
[ 1 ] 张晋松. 浅谈高 中数学新课程 中“ 立体几
何” 部分 内容与要求 [ J ] . 中 学 数 学 教 学 参 考,
2 0 0 6, 7 .
[ 2 ] 陈雪梅 , 李士镝 , 程海奎. 用 向量 法 处 理
而P F与 c D所成 的角 6 l 0 。 , C D :( , 0, 0 ) ,
则 。 s 6 0 。 : — : .
立体几何问题的教学效果研究 [ J ] . 数学教育学报,
2 0 0 8 , 1 7 ( 3 ) : 5 5—5 7 .
√( 一 ) + ( 一 t ) + 1 ?
.
z
6 R.