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例析空间向量与三垂线定理



《 数学之友》  

2 0 1 5 年第 1 2期 

例析空间向量与三垂线定理 
解 题 探 索 
、  



勇 

( 江苏省南菁 高级 中学 , 2 1 4 4 0 0 )  

立体几何 因其独特的空问想象和缜密地逻辑推 

r />理一直备受人们的关注. 传统 的教材始终围绕三垂  线定理作为整个立体几何的核心予以展开 , 这里 固   然有其本身的特点 : 一方 面它是整个立体几 何内容  的一个典型代表 , 处在立体几何内容的枢纽位置; 另  方 面 三垂线 定理 对 有 效 化解 直线 与 直线 、 直线 与 

所以船 上 平面 E F D, 故P B上 D F .   ( 2 ) 设点 r ( x 0 , Y o , Z 0 ) , P F= A   P B ‘ ,   贝 Ⅱ (   o , Y o ,   0 一 口 ) = A ( n , 口 , 一 口 ) .   从 而 o =A a , Y o : A a,   =( 1一 A) 口 .  



又   ( 詈 , 0 , 号 ) ,  

平面、 平 面与 平面 的 位 置关 系 中 的距 离 及 角 起 到无 

可替代的作用. 然而 , 现行教材随着空间向量及其运  算引人立体几何内容 中, 用 向量方法或坐标 方法成  为处理相关问题普遍适用 的方法 , 用三垂线 定理及  其逆定理 的综合方法不再 突出( 事实上 已不作为定  理) , 因此 , 用 空间向量及其运算这个工具 , 以新 的   视角处理立体几何 中的夹角、 距离及位置关 系将推  至前 台成为研究的热点. 下 面结合具体的例 子谈谈  空 间 向量 法在 立体 几何 中 的应用.  
例 1 如 图, 在 四棱 锥 P— A B C D中, 底面 A B C D   的 中点 , 作E F上P B交 P B于点 

所 以  = ( 詈 一   。 , 一   , 号 一   )  


( 号  ,  , ( A 一 号 ) 口 ) .  

由条件 .. E F上P B知 ,   — - _ +? 朋 — — _ +   = 0 ,  

 ̄ - A a 2 + ( 丢 一 A ) 口 2 一 ( A 一 丢 ) 口   - o .  
解得 A= 了 1所 以 ,   P F=_. 1  


评注 : 怎样 确 定 点 P在 直 线 A B( 线段 ) 上 的位 

置, 空间向量有其独到之 处. 一般 常用共线 向量 定 
方 法 简 洁 明 了.  

这里设   : A 赢, 列方程, 通过解方程, 求得 A ,   是正 方形 , 侧棱 P D上底 面 A B C D, P D=DC , E是 P C   理,
( 1 )求证 : P B上 ‘ D F ;  
D F 

例2   如 图, 已知 正 方 
形A B C D和 矩形 A C E F所 在 

( 2 )求  的值.  
』1D  

的平 面 互 相 垂 直 , A B=   ,   A F=1 , M 是线段 E F 的 
中点.  

分析 : 按照传 统 教材 , 这是 一道 典 型 的三垂线 定  理 训 练题 , 虽然本 题 中没有 长 度 , 可 先设 出底 面正 方 

形 的边长结合勾股运算很快可 以求得其解. 但上述  方 法 已不适 事宜 , 建 立空 间直 角坐标 系 , 根据 所设 长  度, 找出相关点 的坐标 , 再进行计 算或证 明将 成为 
时 尚.  

( 1 )求 证 : A M/ /平 
面 B D E;  

( 2 ) 求二面角 A— D F— B的大小 ;   ( 3 ) 试在线段 A C上确定一点 P, 使得 P F与 C D  
所成 的角 是 6 0 。 .  

解: 取 D 为 坐 标 原点 , 建 

立如图所示空 间直角坐标 系 
D— x y z , 设D C=口 .  

解: 如图 , 建 立空 间直 角坐标 系 C— x y z , 则E  
( 0 , 0, 1 ) , D(   , 0 , 0) , B( O ,   , 0 ) , A(   ,   , 0 ) ,  

( 1 ) 依题意, 得8 ( a , n , 0 ) ,  
e ( o , 0 , 口 ) , 尸 曰 ( n , 口 , 一 n ) .  

譬 , ? ) .  
( 1 ) 设平面 B D E的法向量 , l = (  , y , z ) .   由, l 上D E 及, l 上B E,   得一   +  = 0 且一 √ 2 y +  = 0 .  
( 下转 第 6 8页 )  
?

又  = ( 号 , o , 詈 ) ,  
故 赢?  = o + 等 2 一 号 2 = o . 所 以 朋J _ D E .  
电E F. L P B, 且E Ff 3 D E=E。  

则 , l =( 1 , 1 , √   ) .  

6 5?  

《 数学之友》  

2 0 1 5 年第 1 2期 

点评 : 对 于例 4 , 都 是 三 个 式子 相 加 , 不 便 直接  使 用基 本 不等 式 , 自然想 到先将 前 两个结 合 , 再 将二 
三、 一 三结合 , 相 加 即得 . 这 类题 的对 策 就是 两 两 结  合, 例 5给我 们 的启 示是 , z的 位 置是 平 等 的 , Y地 

点评 : 本例 的第一 个 小题 用作 差 法也 未尝 不可 ,   但是 我们在 配一 项后 使 问题 变得 极 其 简单 , 而且 可  以推 广到 下 面 两问 , 说 明这种技 巧也 是 具有普 适性 .  

位 更 高一 些 , 应该 区别 对待 , 当然 也可 以分 子分母 同   除以 Y   , 通过 减 元来解 决.  
2 . 4   配 一 项 

3   结 语 
总之 , 掌 握 了运 用 基 本不 等 式 的一 个 规则 和 四 

个技巧后 , 当我们遇到不能直接使用基本不 等式 的 
题 目时 , 可 以通过 构 造 、 变形、 转 化 到 可 以使 用 的 问  题 上来 , 这就 要求 我 们 整 体 把握 、 灵活变通 , 既要 掌 
握 通性通 法 , 又要 熟 悉 特 技. 这样 , 弄 清题 目的实 质 

例 6 已知 a , 6 , c ∈R  . 求证 :  

( 1 ) b - + 牛≥ 0 + b ;  

( 2 )   0+ {+  ≥  +  +  
Q   0 e  
^ 一

后, 做起题来就会得心应手 , 达到快速解题的 目的.  
2  

( 3 ) 已知  ∈( 0 , +∞) ,  =1 , 2 , …, n , 求证 :  
+  + . . .+  + . . .   .  

a ; 1  

参 考文献 :  

X2  

n  

‘  

“  

[ 1 ] 普通高 中数学课 程标准 ( 实验) [ M] . 北  京: 人 民教 育 出版社 , 2 0 0 3 . 4 .   [ 2 ] 吴 增 生. 数 学 思 想 方 法 及 其 教 学 策 略 初  探[ J ] . 数学教育学报 , 2 0 1 4 , 2 3 ( 3 ) : 1 1 — 1 5 .   [ 3 ] G? 波利亚. 怎样解题 [ M] . 上海 : 上海科 
技教 育 出版社 , 2 0 0 2 .  

证 明: ( 1 ) 配一项 , 由  +0 ≥2 6 , a +b 了 12 > n相 

加 即得 .  

( 2 ) ( 3 ) 同理 可得.  
、 

( 上接第 6 5页)  

又  = ( 一 譬 , 一   ,   ) ’   则  ? — A M =( 1 , l ) ‘ ( 一 譬 , 一 譬 , 1 ) = 0 .  
,  

解得 t = 等或 t =   - - q -   -   舍去) .  
二  厶 

所 以所 求 点 P为 A C的 中点.   由以上 二 例可 见 , 无 论 是 空 间中 夹角 大 小 的定  量确认 , 还 是空 间 中平行 或垂 直关 系的定 性证 明 , 空 

从 而 n上  

又A 隹 平面B D E , 所以 A Mf f平面 B D E .   ( 2 ) 设平面 B DF的法 向量 , l 。 =(  , y ,  ) , 平 面 
A F D 的法 向量  =( 口 , b , C ) .  

间中相关平面的法向量或共线 向量都扮演 了极其重  要 的角色. 一般 地 , 用 空 间 向量 来 解题 , 不 仅 能 起 到  培养 学生 的空 间想 象 能 力 的桥 梁 作 用 , 而 且 还 充 分  体现“ 以人为本 , 大家都学有用的数学” 这一新课改  的理 念. 例 二 中法 向量 的介 入 , 空 间想象 能力不 仅 未 
被弱 化 , 反 而使 研究 问题 的手 段更加 丰 富灵 活 , 并 且 

由n 1 上  D及 n l 上肋 ,  

可 求   = ( 一 譬 , 一 譬 , 1 ) .  
由n 2 上A  及 n 2 上   可 求得 : , l 2 =(一1 , 0, 0 ) ,  
于 —  是 甘   C O ¥<nl , n 2>   - 4 ■   - ?  

使空间向量的代数化运算与立体几何 的严密逻辑推  理融 为一体 , 得 以实 现.  
参 考文献 :  

即n 1 与n 2 的夹角是 6 0 。 .   又n   与n   的方向不一致 ,   故二面角 A— D F— B的大小为 6 0 。 .  
( 3 ) 设 P ( t , t , O ) , ( 0≤t ≤  ) ,  
则  =(   一£ ,   一 £ , 1 ) .  

[ 1 ]   张晋松. 浅谈高 中数学新课程 中“ 立体几 

何” 部分 内容与要求 [ J ] . 中 学 数 学 教 学 参 考,  
2 0 0 6, 7 .  

[ 2 ] 陈雪梅 , 李士镝 , 程海奎. 用 向量 法 处 理 

而P F与 c D所成 的角 6 l 0 。 , C D   :(   , 0, 0 ) ,  
则 。 s 6 0 。 :   —   :  .  

立体几何问题的教学效果研究 [ J ] . 数学教育学报,  
2 0 0 8 , 1 7 ( 3 ) : 5 5—5 7 .  

√(  一   )   + (  一 t )   + 1 ?  


z  

6 R.  



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