例析空间向量与三垂线定理

《 数学之友》 　

２ ０ １ ５ 年第 １ ２期　

例析空间向量与三垂线定理　
解 题 探 索　
、 　

郭

勇　

（ 江苏省南菁 高级 中学 ， ２ １ ４ ４ ０ ０ ） 　

立体几何 因其独特的空问想象和缜密地逻辑推　
理一直备受人们的关注． 传统 的教材始终围绕三垂　 线定理作为整个立体几何的核心予以展开 ， 这里 固 　 然有其本身的特点 ： 一方 面它是整个立体几 何内容　 的一个典型代表 ， 处在立体几何内容的枢纽位置； 另　 方 面 三垂线 定理 对 有 效 化解 直线 与 直线 、 直线 与　

所以船 上 平面 Ｅ Ｆ Ｄ， 故Ｐ Ｂ上 Ｄ Ｆ ． 　 （ ２ ） 设点 ｒ （ ｘ ０ ， Ｙ ｏ ， Ｚ ０ ） ， Ｐ Ｆ＝ Ａ 　 Ｐ Ｂ ‘ ， 　 贝 Ⅱ （ 　 ｏ ， Ｙ ｏ ， 　 ０ 一 口 ） ＝ Ａ （ ｎ ， 口 ， 一 口 ） ． 　 从 而　ｏ ＝Ａ ａ ， Ｙ ｏ ： Ａ ａ， 　 ＝（ １一 Ａ） 口 ． 　

一

又 　 （ 詈 ， ０ ， 号 ） ， 　

平面、 平 面与 平面 的 位 置关 系 中 的距 离 及 角 起 到无　

可替代的作用． 然而 ， 现行教材随着空间向量及其运　 算引人立体几何内容 中， 用 向量方法或坐标 方法成　 为处理相关问题普遍适用 的方法 ， 用三垂线 定理及　 其逆定理 的综合方法不再 突出（ 事实上 已不作为定　 理） ， 因此 ， 用 空间向量及其运算这个工具 ， 以新 的 　 视角处理立体几何 中的夹角、 距离及位置关 系将推　 至前 台成为研究的热点． 下 面结合具体的例 子谈谈　 空 间 向量 法在 立体 几何 中 的应用． 　
例 １ 如 图， 在 四棱 锥 Ｐ— Ａ Ｂ Ｃ Ｄ中， 底面 Ａ Ｂ Ｃ Ｄ 　 的 中点 ， 作Ｅ Ｆ上Ｐ Ｂ交 Ｐ Ｂ于点　

所 以 　＝ （ 詈 一 　 。 ， 一 　 ， 号 一 　 ） 　
＝

（ 号 　， 　， （ Ａ 一 号 ） 口 ） ． 　

由条件 ．． Ｅ Ｆ上Ｐ Ｂ知 ， 　 — － ＿ ＋? 朋 — — ＿ ＋ 　 ＝ ０ ， 　

￣ － Ａ ａ ２ ＋ （ 丢 一 Ａ ） 口 ２ 一 （ Ａ 一 丢 ） 口 　 － ｏ ． 　
解得 Ａ＝ 了 １所 以 ， 　 Ｐ Ｆ＝＿． １ 　
．

评注 ： 怎样 确 定 点 Ｐ在 直 线 Ａ Ｂ（ 线段 ） 上 的位　

置， 空间向量有其独到之 处． 一般 常用共线 向量 定　
方 法 简 洁 明 了． 　

这里设 　 ： Ａ 赢， 列方程， 通过解方程， 求得 Ａ ， 　 是正 方形 ， 侧棱 Ｐ Ｄ上底 面 Ａ Ｂ Ｃ Ｄ， Ｐ Ｄ＝ＤＣ ， Ｅ是 Ｐ Ｃ 　 理，
（ １ ）求证 ： Ｐ Ｂ上 ‘ Ｄ Ｆ ； 　
Ｄ Ｆ　

例２ 　 如 图， 已知 正 方　
形Ａ Ｂ Ｃ Ｄ和 矩形 Ａ Ｃ Ｅ Ｆ所 在　

（ ２ ）求　 的值． 　
』１Ｄ 　

的平 面 互 相 垂 直 ， Ａ Ｂ＝ 　 ， 　 Ａ Ｆ＝１ ， Ｍ 是线段 Ｅ Ｆ 的　
中点． 　

分析 ： 按照传 统 教材 ， 这是 一道 典 型 的三垂线 定　 理 训 练题 ， 虽然本 题 中没有 长 度 ， 可 先设 出底 面正 方　

形 的边长结合勾股运算很快可 以求得其解． 但上述　 方 法 已不适 事宜 ， 建 立空 间直 角坐标 系 ， 根据 所设 长　 度， 找出相关点 的坐标 ， 再进行计 算或证 明将 成为　
时 尚． 　

（ １ ）求 证 ： Ａ Ｍ／ ／平　
面 Ｂ Ｄ Ｅ； 　

（ ２ ） 求二面角 Ａ— Ｄ Ｆ— Ｂ的大小 ； 　 （ ３ ） 试在线段 Ａ Ｃ上确定一点 Ｐ， 使得 Ｐ Ｆ与 Ｃ Ｄ 　
所成 的角 是 ６ ０ 。 ． 　

解： 取 Ｄ 为 坐 标 原点 ， 建　

立如图所示空 间直角坐标 系　
Ｄ— ｘ ｙ ｚ ， 设Ｄ Ｃ＝口 ． 　

解： 如图 ， 建 立空 间直 角坐标 系 Ｃ— ｘ ｙ ｚ ， 则Ｅ 　
（ ０ ， ０， １ ） ， Ｄ（ 　 ， ０ ， ０） ， Ｂ（ Ｏ ， 　 ， ０ ） ， Ａ（ 　 ， 　 ， ０ ） ， 　

（ １ ） 依题意， 得８ （ ａ ， ｎ ， ０ ） ， 　
ｅ （ ｏ ， ０ ， 口 ） ， 尸 曰 （ ｎ ， 口 ， 一 ｎ ） ． 　

譬 ， ? ） ． 　
（ １ ） 设平面 Ｂ Ｄ Ｅ的法向量 ， ｌ ＝ （ 　， ｙ ， ｚ ） ． 　 由， ｌ 上Ｄ Ｅ 及， ｌ 上Ｂ Ｅ， 　 得一 　 ＋ 　＝ ０ 且一 √ ２ ｙ ＋ 　＝ ０ ． 　
（ 下转 第 ６ ８页 ） 　
?

又 　＝ （ 号 ， ｏ ， 詈 ） ， 　
故 赢? 　＝ ｏ ＋ 等 ２ 一 号 ２ ＝ ｏ ． 所 以 朋Ｊ ＿ Ｄ Ｅ ． 　
电Ｅ Ｆ． Ｌ Ｐ Ｂ， 且Ｅ Ｆｆ ３ Ｄ Ｅ＝Ｅ。 　

则 ， ｌ ＝（ １ ， １ ， √ 　 ） ． 　

６ ５? 　

《 数学之友》 　

２ ０ １ ５ 年第 １ ２期　

点评 ： 对 于例 ４ ， 都 是 三 个 式子 相 加 ， 不 便 直接　 使 用基 本 不等 式 ， 自然想 到先将 前 两个结 合 ， 再 将二　
三、 一 三结合 ， 相 加 即得 ． 这 类题 的对 策 就是 两 两 结　 合， 例 ５给我 们 的启 示是　， ｚ的 位 置是 平 等 的 ， Ｙ地　

点评 ： 本例 的第一 个 小题 用作 差 法也 未尝 不可 ， 　 但是 我们在 配一 项后 使 问题 变得 极 其 简单 ， 而且 可　 以推 广到 下 面 两问 ， 说 明这种技 巧也 是 具有普 适性 ． 　

位 更 高一 些 ， 应该 区别 对待 ， 当然 也可 以分 子分母 同 　 除以 Ｙ 　 ， 通过 减 元来解 决． 　
２ ． ４ 　 配 一 项　

３ 　 结 语　
总之 ， 掌 握 了运 用 基 本不 等 式 的一 个 规则 和 四　

个技巧后 ， 当我们遇到不能直接使用基本不 等式 的　
题 目时 ， 可 以通过 构 造 、 变形、 转 化 到 可 以使 用 的 问　 题 上来 ， 这就 要求 我 们 整 体 把握 、 灵活变通 ， 既要 掌　
握 通性通 法 ， 又要 熟 悉 特 技． 这样 ， 弄 清题 目的实 质　

例 ６ 已知 ａ ， ６ ， ｃ ∈Ｒ 　． 求证 ： 　

（ １ ） ｂ － ＋ 牛≥ ０ ＋ ｂ ； 　

（ ２ ） 　 ０＋ ｛＋ 　≥ 　＋ 　＋ 　
Ｑ 　 ０ ｅ 　
＾ 一

后， 做起题来就会得心应手 ， 达到快速解题的 目的． 　
２ 　

（ ３ ） 已知　 ∈（ ０ ， ＋∞） ， 　＝１ ， ２ ， …， ｎ ， 求证 ： 　
＋　 ＋ ． ． ．＋　 ＋ ． ． ． 　 ． 　

ａ ； １ 　

参 考文献 ： 　

Ｘ２ 　

ｎ 　

‘ 　

“ 　

［ １ ］ 普通高 中数学课 程标准 （ 实验） ［ Ｍ］ ． 北　 京： 人 民教 育 出版社 ， ２ ０ ０ ３ ． ４ ． 　 ［ ２ ］ 吴 增 生． 数 学 思 想 方 法 及 其 教 学 策 略 初　 探［ Ｊ ］ ． 数学教育学报 ， ２ ０ １ ４ ， ２ ３ （ ３ ） ： １ １ — １ ５ ． 　 ［ ３ ］ Ｇ? 波利亚． 怎样解题 ［ Ｍ］ ． 上海 ： 上海科　
技教 育 出版社 ， ２ ０ ０ ２ ． 　

证 明： （ １ ） 配一项 ， 由　 ＋０ ≥２ ６ ， ａ ＋ｂ 了 １２ ＞ ｎ相　

加 即得 ． 　

（ ２ ） （ ３ ） 同理 可得． 　
、　

（ 上接第 ６ ５页） 　

又 　＝ （ 一 譬 ， 一 　 ， 　 ） ’ 　 则　 ? — Ａ Ｍ ＝（ １ ， ｌ ） ‘ （ 一 譬 ， 一 譬 ， １ ） ＝ ０ ． 　
， 　

解得 ｔ ＝ 等或 ｔ ＝ 　 － － ｑ － 　 － 　 舍去） ． 　
二　 厶　

所 以所 求 点 Ｐ为 Ａ Ｃ的 中点． 　 由以上 二 例可 见 ， 无 论 是 空 间中 夹角 大 小 的定　 量确认 ， 还 是空 间 中平行 或垂 直关 系的定 性证 明 ， 空　

从 而 ｎ上 　

又Ａ 隹 平面Ｂ Ｄ Ｅ ， 所以 Ａ Ｍｆ ｆ平面 Ｂ Ｄ Ｅ ． 　 （ ２ ） 设平面 Ｂ ＤＦ的法 向量 ， ｌ 。 ＝（ 　， ｙ ， 　） ， 平 面　
Ａ Ｆ Ｄ 的法 向量　 ＝（ 口 ， ｂ ， Ｃ ） ． 　

间中相关平面的法向量或共线 向量都扮演 了极其重　 要 的角色． 一般 地 ， 用 空 间 向量 来 解题 ， 不 仅 能 起 到　 培养 学生 的空 间想 象 能 力 的桥 梁 作 用 ， 而 且 还 充 分　 体现“ 以人为本 ， 大家都学有用的数学” 这一新课改　 的理 念． 例 二 中法 向量 的介 入 ， 空 间想象 能力不 仅 未　
被弱 化 ， 反 而使 研究 问题 的手 段更加 丰 富灵 活 ， 并 且　

由ｎ １ 上 　Ｄ及 ｎ ｌ 上肋 ， 　

可 求 　 ＝ （ 一 譬 ， 一 譬 ， １ ） ． 　
由ｎ ２ 上Ａ 　及 ｎ ２ 上 　 可 求得 ： ， ｌ ２ ＝（一１ ， ０， ０ ） ， 　
于 — 　是 甘 　 Ｃ Ｏ ￥＜ｎｌ ， ｎ ２＞ 　 － ４ ■ 　 － ? 　

使空间向量的代数化运算与立体几何 的严密逻辑推　 理融 为一体 ， 得 以实 现． 　
参 考文献 ： 　

即ｎ １ 与ｎ ２ 的夹角是 ６ ０ 。 ． 　 又ｎ 　 与ｎ 　 的方向不一致 ， 　 故二面角 Ａ— Ｄ Ｆ— Ｂ的大小为 ６ ０ 。 ． 　
（ ３ ） 设 Ｐ （ ｔ ， ｔ ， Ｏ ） ， （ ０≤ｔ ≤ 　） ， 　
则　 ＝（ 　 一￡ ， 　 一 ￡ ， １ ） ． 　

［ １ ］ 　 张晋松． 浅谈高 中数学新课程 中“ 立体几　

何” 部分 内容与要求 ［ Ｊ ］ ． 中 学 数 学 教 学 参 考， 　
２ ０ ０ ６， ７ ． 　

［ ２ ］ 陈雪梅 ， 李士镝 ， 程海奎． 用 向量 法 处 理　

而Ｐ Ｆ与 ｃ Ｄ所成 的角 ６ ｌ ０ 。 ， Ｃ Ｄ 　 ：（ 　 ， ０， ０ ） ， 　
则　。 ｓ ６ ０ 。 ： 　 — 　 ： 　． 　

立体几何问题的教学效果研究 ［ Ｊ ］ ． 数学教育学报， 　
２ ０ ０ ８ ， １ ７ （ ３ ） ： ５ ５—５ ７ ． 　

√（ 　一 　 ） 　 ＋ （ 　一 ｔ ） 　 ＋ １ ? 　
．

ｚ 　

６ Ｒ．