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2012-2013学年四川省成都市高二(上)期末数学试卷(理科)



2012-2013 学年四川省成都市高二(上)期末数学 试卷(理科)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1. (5 分)某校开设街舞选修课程,在选修的学生中,有男生 28 人,女生 21 人.若采用分层抽样的方法从中抽取 一个容量为 14 的样本,则应抽取的女生人数为( ) A .9 B

.8 C .7 D.6

2. (5 分) (理)已知向量 同时垂直于不共线向量 和 ,若向量 A. C.

,则(



与 既不平行也不垂直

B. D.以上三种情况均有可能

3. (5 分)设 m,n,l 是空间中三条不重合的直线,则下列命题中正确的是( ) A.若 m∥ n,n⊥ l,则 m⊥ l B. 若 m⊥ n,n⊥ l,则 m∥ l C. 若 m,n 共面,n 与 l 共面,则 m 与 l 共面 D.若 m,n 异面,n 与 l 异面,则 m 与 l 异面 4. (5 分) (文)如图所示的程序是计算函数 y=f(x)函数值的程序,若输入的 x 的值为 4,则输出的 y 值为( )

A.17

B.3

C.﹣3

D.﹣17

5. (5 分)如图,在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,棱长 AB=2,点 E 是棱 C1D1 的中点,则异面直线 B1E 和 BC1 所 成角的余弦值为( )

A.

B.

C.

D.

6. (5 分)在一个棱长为 3cm 的正方体的表面涂上颜色,将其适当分割成棱长为 1cm 的小正方体,全部放入不透明 的口袋中,搅拌均匀后,从中任取一个,取出的小正方体表面仅有一个面涂有颜色的概率是( ) A. B. C. D.


7. (5 分)如图是某城市的一个艺术雕塑几何体的三视图,根据图中数据,可得该几何体的表面积是( )

A.264

B.228

C.192

D.156

8. (5 分)某设备的使用年限与所支出的维修费用的统计数据如下表: 3 4 使用年限 x(单位:年) 2 1.5 4.5 5.5 维修费用 y(单位:万元) 根据上表可得回归直线方程为: A.10.2 万元 =1.3x+

5 6.5

6 7.0 )

,据此模型预测,若使用年限为 8 年,估计维修费用约为( C.11.2 万元 D.11.6 万元

B.10.6 万元

9. (5 分)如图,在二面角 α﹣AB﹣β 的棱上有 A、B 两点,直线 AC、BD 分别在这个二面角的两个半平面内,且 都垂直于 AB,已知 AB=4,AC=6,BD=8,CD=2 ,则直线 CD 与平面 α 所成角的正弦值为( )

A.

B.

C.

D.

10. (5 分) (理)用随机模拟的方法估计圆周率 π 的近似值的程序框图如图所示,P 表示输出的结果,则图中空白 处应填( )

A.

B.

C.

D.

2


二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.将答案直接写在题中横线上. 11. (5 分)如图是某班甲、乙两个小组各 7 名同学在一次考试中的成绩的茎叶图,则甲、乙两个小组成绩的中位数 之和为 _________ .

12. (5 分)已知向量 =(λ+1,0,6) , =(2,2μ﹣2,3) ,且 ∥ ,则 λ+u 的值为 _________ . 13. (5 分)在边长为 2 的正方形 ABCD 内部随机取一点 M,则△ MAB 的面积大于 1 的概率是 _________ .

14. (5 分)将参加冬令营的 840 名学生编号为:001,002,003,…,840.采用系统抽样的方法从中抽取一个容量 为 70 的样本,且在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为 009,这 840 名学生分别居住在三幢公寓楼内:编 号 001 到 306 居住在 A 幢,编号 307 到 650 居住在 B 幢,编号 651 到 840 居住在 C 幢,则被抽样的 70 人中居住在 B 幢的学生人数为 _________ 人. 15. (5 分)在矩形 ABCD 中,AB=1,BC=2,沿着对角线 AC 将△ ACD 折起,得到四面体 D﹣ABC,在四面体 D﹣ ABC 中,给出下列命题:

① 若二面角 D﹣AC﹣B 的大小为 90°,则点 D 在平面 ABC 的射影一定在棱 AC 上; ② 无论二面角 D﹣AC﹣B 的大小如何,若在棱 AC 上任取一点 M,则 BM+DM 的最小值为 ③ 无论二面角 D﹣AC﹣B 的大小如何,该四面体 D﹣ABC 的外接球半径不变; ④ 无论二面角 D﹣AC﹣B 的大小如何,若点 O 为底面 ABC 内部一点,且 面体 D﹣BOC 的体积之比为 3:1. 其中你认为正确的所有命题的序号是 _________ . 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤. 16. (12 分)如图,在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,O 是底面 ABCD 对角线的交点. (Ⅰ )求证:C1O∥ 平面 AB1D1; (Ⅱ )求直线 BC 与平面 ACC1A1 所成角大小. +2 +3 =0,则四面体 D﹣AOB 与四 ;

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17. (12 分)某校开设有数学史选修课,为了解学生对数学史的掌握情况,举办了数学史趣味知识竞赛,现将成绩 统计如下.请你根据尚未完成任务的频率分布表和局部污损的频率分布直方图,解答下列问题: (Ⅰ )求该校参加数学史选修课的人数及分数在[80,90)之间的频数 x; (Ⅱ )请估计参加竞赛的学生的平均分数. (结果用小数形式表示) 分组 频数 频率 2 [50,60) 7 [60,70) 10 [70,80) x [80,90) 2 [90,100]

18. (12 分)已知算法: 第一步,输入整数 n; 第二步,判断 1≤n≤7 是否成立,若是,执行第三步;否则,输出“输入有误,请输入区间[1,7]中的任意整数”,返 回执行第一步; 第三步,判断 n≤1000 是否成立,若是,输出 n,并执行第四步;否则,结束; 第四步,n=n+7,返回执行第三步; 第五步,结束. (Ⅰ )若输入 n=7,写出该算法输出的前 5 个值; (Ⅱ )画出该算法的程序框图.

19. (13 分) 如图, 在四棱锥 P﹣ABCD 中, 底面 ABCD 是直角梯形, ∠ ABC=90°,AD∥ BC, AD=1, BC=2,又 PB=1, ∠ PBC=120°,AB⊥ PC,直线 AB 与直线 PD 所成的角为 60°. (Ⅰ )求证:AB⊥ 平面 PBC; (Ⅱ )求 AB 的长,并求二面角 D﹣PB﹣C 的余弦值; (Ⅲ )求三棱锥 A﹣DPB 的体积.

4



20. (12 分)已知函数 f(x)=ax +2bx+1. (Ⅰ )若函数 f(x)中的 a,b 是从区间[﹣1,3]中任取的两个不同的整数,求 f(x)为二次函数且存在零点的概率; (Ⅱ )若 a 是从区间[1,3]中任取的一个数,b 是从区间[﹣2,2]中任取的一个数,求[f(1)﹣3]?[f(﹣1)﹣3]≤0 的概率.

2

21. (14 分)在直三棱柱(侧面垂直于底面的三棱柱)ABC﹣A1B1C1 中,以 AB、BC 为邻边作平行四边形 ABCD, AB⊥ BC,AB=BC=AA1 记线段 CD、A1B1 的中心分别是 P、E 连接 AE、BP,得到如图所示的几何体 (1)若 AA1=a,图甲给出了异面直线之间的距离的一种算法框图(其中异面直线的公垂线是指两异面直线都垂直 且相交的直线)请利用这种方法求异面直线 AE 和 BP 之间的距离; (2)若 AA1=2,在线段 A1P 上是否存在一点 F,使得平面 AFB⊥ 平面 A1BP?若存在,指出点 F 的位置,并证明你 的结论;若不存在,请说明理由; (3)若 AA1=a,在线段 A1C 上有一 M,过点 M 做垂直于平面 A1ACC1 的直线 l,与直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的其 他侧面相交于 N,过 CM=x,MN=y,求函数 y=f(x)的解析式,并据此求出线段 MN 的长度最大值.

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2012-2013 学年四川省成都市高二(上)期末数学 试卷(理科)
参考答案与试题解析
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1. (5 分)某校开设街舞选修课程,在选修的学生中,有男生 28 人,女生 21 人.若采用分层抽样的方法从中抽取 一个容量为 14 的样本,则应抽取的女生人数为( ) A .9 B.8 C .7 D.6 考点: 专题: 分析: 解答: 分层抽样方法. 概率与统计. 根据男生和女生的人数,根据分层抽样的定义即可得到结论. 解:∵ 男生 28 人,女生 21 人,
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∴ 用分层抽样的方法从中抽取一个容量为 14 的样本,则应抽取的女生人数为 故选:D. 点评: 本题主要考查分层抽样的定义和应用,比较基础.



2. (5 分) (理)已知向量 同时垂直于不共线向量 和 ,若向量 A. C.

,则(



与 既不平行也不垂直

B. D.以上三种情况均有可能

考点: 向量的数量积判断向量的共线与垂直. 专题: 平面向量及应用. 分析: 利用向量垂直与数量积的关系即可得出. 解答: 解:∵ 向量 同时垂直于不共线向量 和 ,
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∴ ∴ ∴ = .

. = =0,

故选:B. 点评: 本题考查了向量垂直与数量积的关系,属于基础题. 3. (5 分)设 m,n,l 是空间中三条不重合的直线,则下列命题中正确的是( ) A.若 m∥ n,n⊥ l,则 m⊥ l B. 若 m⊥ n,n⊥ l,则 m∥ l C. 若 m,n 共面,n 与 l 共面,则 m 与 l 共面 D.若 m,n 异面,n 与 l 异面,则 m 与 l 异面 考点: 空间中直线与平面之间的位置关系;空间中直线与直线之间的位置关系. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 根据空间直线和平面,平面和平面的位置关系分别进行判断即可得到结论.
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解答: 解:A.根据直线平行的性质可知,若 m∥ n,n⊥ l,则 m⊥ l 成立. B.垂直于同一条直线的两条直线不一定平行,可能是异面直线,可能是相交直线.故 B 不正确. C.若 m,n 共面,n 与 l 共面,则 m 与 l 可能是异面直线,故 C 不正确. D.若 m,n 异面,n 与 l 异面,则 m 与 l 可能异面,可能平行,也可能相交.故 D 不正确. 故选:A 点评: 本题主要考查空间直线和平面的位置关系的判断,要求熟练掌握相应的性质和判定定理. 4. (5 分) (文)如图所示的程序是计算函数 y=f(x)函数值的程序,若输入的 x 的值为 4,则输出的 y 值为( )

A.17

B.3

C.﹣3

D.﹣17

考点: 条件语句. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 由题意,程序的作用是求函数 y=
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的值,代入 x=4,可得结论.

解答: 解:由题意,程序的作用是求函数 y= 的值.

∵ 输入的 x 的值为 4,∴ 输出的 y=﹣4+1=﹣3. 故选 C. 点评: 本题考查条件语句,考查分段函数,确定程序的作用是关键. 5. (5 分)如图,在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,棱长 AB=2,点 E 是棱 C1D1 的中点,则异面直线 B1E 和 BC1 所 成角的余弦值为( )

A.

B.

C.

D.

考点: 异面直线及其所成的角. 分析: 在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,要求异面直线 B1E 和 BC1 所成角的余弦值,可通过作 B1E 平行线 BF,即 求 BF 和 BC1 所成角的余弦值,进一步利用余弦定理解△ BFC1 求得结果 解答: 解: 在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,棱长 AB=2,点 E 是棱 C1D1 的中点,取 CD 的中点 F,连接 BF、FC1、EF 根据正方体的性质 B1E∥ BF
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∵ 棱长 AB=2 ∴ 进一步求得 BF=

∴ 在△ BFC1 中,利用余弦定理:cos∠ BFC1= ∵ BF=

∴ cos∠ BFC1= 即为 B1E 和 BC1 所成角的余弦值

故答案为:B 点评: 本题重点考查异面直线所成角,可以通过中点得到平行线,把空间问题平面转化为平面问题,进一步通过 利用余弦定理解三角形得到结果. 6. (5 分)在一个棱长为 3cm 的正方体的表面涂上颜色,将其适当分割成棱长为 1cm 的小正方体,全部放入不透明 的口袋中,搅拌均匀后,从中任取一个,取出的小正方体表面仅有一个面涂有颜色的概率是( ) A. B. C. D.

考点: 等可能事件的概率. 专题: 概率与统计. 分析: 由题意知本题是一个等可能事件的概率, 试验发生包含的事件是从 27 个小正方体中选一个正方体, 共有 27 种结果,满足条件的事件是取出的小正方体表面仅有一个面涂有颜色,有 6 种结果,根据等可能事件的概 率得到结果. 解答: 解:在 27 个小正方体中,恰好有三个面都涂色有颜色的共有 8 个,恰好有两个都涂有颜色的共 12 个,恰 好有一个面都涂有颜色的共 6 个,表面没涂颜色的 1 个. 由题意知本题是一个等可能事件的概率, 试验发生包含的事件是从 27 个小正方体中选一个正方体, 共有 27 种结果
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,满足条件的事件是取出的小正方体表面仅有一个面涂有颜色,有 6 种结果,所以所求概率为

= .

故选 C. 点评: 本题考查等可能事件的概率,考查计数原理,考查正方体的结构特征,是一个综合题目,在解题时注意分 割后的小正方体一定要数清楚 7. (5 分)如图是某城市的一个艺术雕塑几何体的三视图,根据图中数据,可得该几何体的表面积是( )

9



A.264

B.228

C.192

D.156

考点: 由三视图求面积、体积. 专题: 计算题. 分析: 由三视图知几何体是下部为一长方体,上部为一四棱锥的组合体,根据四棱锥的高为 4,底面是边长为 6 的正方形求出四棱锥的斜高, 代入公式计算求各个面的面积,再相加. 解答: 解:由三视图知几何体是下部为一长方体,上部为一四棱锥的组合体, 长方体的长、宽、高分别为 6、6、4; 四棱锥的高为 4,底面是边长为 6 的正方形, ∴ 四棱锥侧面上的斜高为 5,
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∴ 几何体的表面积 S=6×6+4×6×4+4× ×6×5=192. 故选 C. 点评: 本题考查了由三视图求几何体的表面积,解题的关键是判断几何体的形状及相关数据所对应的几何量. 8. (5 分)某设备的使用年限与所支出的维修费用的统计数据如下表: 3 4 使用年限 x(单位:年) 2 4.5 5.5 维修费用 y(单位:万元)1.5 根据上表可得回归直线方程为: A.10.2 万元 =1.3x+

5 6.5

6 7.0 )

,据此模型预测,若使用年限为 8 年,估计维修费用约为( C.11.2 万元 D.11.6 万元

B.10.6 万元

考点: 回归分析的初步应用. 专题: 计算题;概率与统计. 分析: 根据所给的数据求出这组数据的横标和纵标的平均数,即这组数据的样本中心点,根据样本中心点在线性 回归直线上,把样本中心点代入求出 a 的值,写出线性回归方程,代入 x 的值,预报出结果. 解答: 解:∵ 由表格可知 =4, =5, ∴ 这组数据的样本中心点是(4,5) , 根据样本中心点在线性回归直线上, ∴ 5=a+1.3×4, ∴ a=﹣0.2, ∴ 这组数据对应的线性回归方程是 y=1.3x﹣0.2, ∵ x=8, ∴ y=1.3×8﹣0.2=10.2, 故选:A. 点评: 本题考查线性回归方程,考查样本中心点,做本题时要注意本题把利用最小二乘法来求线性回归方程的系 数的过程省掉,只要求 a 的值,这样使得题目简化,注意运算不要出错.
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9. (5 分)如图,在二面角 α﹣AB﹣β 的棱上有 A、B 两点,直线 AC、BD 分别在这个二面角的两个半平面内,且 都垂直于 AB,已知 AB=4,AC=6,BD=8,CD=2 ,则直线 CD 与平面 α 所成角的正弦值为( )

A.

B.

C.

D.

考点: 直线与平面所成的角. 专题: 空间角. 分析: 由题设条件推导出二面角 α﹣AB﹣β 是 60°的二面角,过点 C 作 CF⊥ α,交 α 于 F,连结 AF,DF,由三垂 线定理知∠ CAF=60°,CF=6sin60°=3 ,∠ CDF 是直线 CD 与平面 α 所成角的平面角,由此能求出结果. 解答: 解:如图,过点 C 作 CE∥ AB,过点 B 作 BE∥ AC,交 CE 于点 E, ∵ 在二面角 α﹣AB﹣β 的棱上有 A、B 两点, 直线 AC、BD 分别在这个二面角的两个半平面内,且都垂直于 AB, AB=4,AC=6,BD=8,CD=2 , ∴ ABEC 是矩形,∴ CE=AB=4,BE=AC=6, ∴ CE⊥ BE,CE⊥ BD,∵ BD∩ BE=B,∴ CE⊥ 平面 BDE, ∵ DE?平面 BDE,∴ CE⊥ DE,
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∴ DE=

=

=2



∴ ∠ DBE=

= ,

∴ ∠ DBE=60°,∴ 二面角 α﹣AB﹣β 是 60°的二面角, 过点 C 作 CF⊥ α,交 α 于 F,连结 AF,DF, 由三垂线定理知∠ CAF 是二面角 α﹣AB﹣β 的平面角,∴ ∠ CAF=60°, ∴ CF=6sin60°=3 , ∵ CF⊥ α,∴ ∠ CDF 是直线 CD 与平面 α 所成角的平面角, ∴ sin∠ CDF= 故选:D. = = .

点评: 本题考查直线与平面所成角的正弦值的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意空间思维能力的培养. 10. (5 分) (理)用随机模拟的方法估计圆周率 π 的近似值的程序框图如图所示,P 表示输出的结果,则图中空白 处应填( )

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A.

B.

C.

D.

考点: 程序框图. 专题: 概率与统计;算法和程序框图. 分析: 由题意以及框图的作用是用随机模拟的方法估计圆周率 π 的近似值,可得处理框中应为计算 π 值,由于试 验共进行了 600 次,满足条件的共 M 次,进而可推断空白框内应填入的表达式. 解答: 解:由题意以及程序框图可知,用模拟方法估计圆周率 π 的程序框图,
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M 是点落在以原点为圆心,在半径为 球内的次数, 由当 i>600 时,退出循环 ∴ 球内的点的次数为 M,总试验次数为 600, 所以要求的概率满足 故 π= 所以空白框内应填入的表达式是 . = = ,

故选 A. 点评: 本题考查程序框图的作用,考查模拟方法估计圆周率 π 的方法,考查计算能力. 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.将答案直接写在题中横线上. 11. (5 分)如图是某班甲、乙两个小组各 7 名同学在一次考试中的成绩的茎叶图,则甲、乙两个小组成绩的中位数 之和为 148 .

考点: 专题: 分析: 解答:

茎叶图;众数、中位数、平均数. 概率与统计. 由已知得甲组中位数 x=72,乙组中位数 y=76,由此能求出甲、乙两个小组成绩的中位数之和. 解:由已知得:
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甲组中位数 x=72, 乙组中位数 y=76, ∴ 甲、乙两个小组成绩的中位数之和为:x+y=72+76=148. 故答案为:148. 点评: 本题考查中位数的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意茎叶图的合理运用.

12. (5 分)已知向量 =(λ+1,0,6) , =(2,2μ﹣2,3) ,且 ∥ ,则 λ+u 的值为 4 . 考点: 平面向量共线(平行)的坐标表示. 专题: 平面向量及应用. 分析: 利用空间向量平行的充要条件求解即可. 解答: 解:向量 =(λ+1,0,6) , =(2,2μ﹣2,3) ,
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且 ∥, ∴ ,

∴ λ=3,μ=1, 则 λ+u 的值为 4. 故答案为:4. 点评: 本题考查空间向量的平行的充要条件的应用,基本知识的考查. 13. (5 分)在边长为 2 的正方形 ABCD 内部随机取一点 M,则△ MAB 的面积大于 1 的概率是



考点: 几何概型. 专题: 应用题;概率与统计. 分析: 求出当点 M 落在正方形 ABCD 内部,且在线段 EF 上或 EF 的上方时,可使△ MAB 的面积大于等于 1,即可 求出△ MAB 的面积大于 1 的概率. 解答: 解:设正方形 ABCD 中,E、F 分别为 AD、BC 的中点, ∵ 四边形 ABCD 是正方形,E、F 分别为 AD、BC 的中点 ∴ EF∥ AB 且 EF=AB,可得四边形 ABFE 是矩形 ∵ 正方形 ABCD 面积为 1,∴ AB=2 且 AE=1 当点 M 落在线段 EF 上时,△ MAB 的面积等于矩形 ABFE 面积的一半,
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此时 S△ABM= S 矩形 ABFE=1 因此,当点 M 落在正方形 ABCD 内部,且在线段 EF 上或 EF 的上方时, 可使△ MAB 的面积大于等于 1 ∴ △ MAB 的面积大于等于 1 的概率为 P= 故答案为: .

13



点评: 本题考查几何概型,着重考查了正方形的性质、三角形面积公式和几何概型计算公式等知识,属于基础题. 14. (5 分)将参加冬令营的 840 名学生编号为:001,002,003,…,840.采用系统抽样的方法从中抽取一个容量 为 70 的样本,且在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为 009,这 840 名学生分别居住在三幢公寓楼内:编 号 001 到 306 居住在 A 幢,编号 307 到 650 居住在 B 幢,编号 651 到 840 居住在 C 幢,则被抽样的 70 人中居住在 B 幢的学生人数为 29 人. 考点: 专题: 分析: 解答: 系统抽样方法. 概率与统计. 利用系统抽样方法求抽样间隔为 12,由此能求出结果. 解:由系统抽样知,被抽样的 70 人中居住在 B 幢的学生编号为: 309,321,333,345,357,369,381,393,405,417, 429,441,453,465,477,489,501,513,525,537, 549,561,573,585,597,609,621,633,645,共 29 人. 故答案为:29. 点评: 本题考查样本单元数的求法,是基础题,解题时要注意系统抽样的性质的合理运用.
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15. (5 分)在矩形 ABCD 中,AB=1,BC=2,沿着对角线 AC 将△ ACD 折起,得到四面体 D﹣ABC,在四面体 D﹣ ABC 中,给出下列命题:

① 若二面角 D﹣AC﹣B 的大小为 90°,则点 D 在平面 ABC 的射影一定在棱 AC 上; ② 无论二面角 D﹣AC﹣B 的大小如何,若在棱 AC 上任取一点 M,则 BM+DM 的最小值为 ③ 无论二面角 D﹣AC﹣B 的大小如何,该四面体 D﹣ABC 的外接球半径不变; ④ 无论二面角 D﹣AC﹣B 的大小如何,若点 O 为底面 ABC 内部一点,且 面体 D﹣BOC 的体积之比为 3:1. 其中你认为正确的所有命题的序号是 ① ③ ④ . 考点: 命题的真假判断与应用. 专题: 阅读型;空间位置关系与距离;空间角. 分析: ① 过 D 作 DH⊥ AC,垂足为 H,运用面面垂直的性质定理,即可判断; ② 在原矩形中,连接 BD,交点为 O,M 与 O 重合,则 BM+DM 最小,即可判断; ③ 取 AC 的中点为 O,连接 OB,OD,由平面几何知识,即可判断; ④ 延长 OB 到 B',使 OB'=2OB,延长 OC 到 C',使 OC'=3OC,则 O 为△ AB'C'的重心,运用重心分成的三个 三角形的面积相等,再由棱锥的体积公式,即可得到. 解答: 解:① 过 D 作 DH⊥ AC,垂足为 H, 则由平面 DAC⊥ 平面 ABC,得到 DH⊥ 平面 ABC,故① 对; ② 在原矩形中,连接 BD,交点为 O,则无论二面角 D﹣AC﹣B 的大小如何,若在棱 AC 上任取一点 M,M
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+2

+3

=0,则四面体 D﹣AOB 与四

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与 O 重合,则 BM+DM 最小,且为 BD= .故② 错; ③ 无论二面角 D﹣AC﹣B 的大小如何,取 AC 的中点为 O,连接 OB,OD,则 OA=OB=OC=OD, 该四面体 D﹣ABC 的外接球半径不变.故③ 对; ④ 若点 O 为底面 ABC 内部一点,且 +2 +3 = ,

延长 OB 到 B',使 OB'=2OB, 延长 OC 到 C',使 OC'=3OC, 则 O 为△ AB'C'的重心, 则有△ AOB'和△ OB'C'的面积相等,即有 2S△AOB=6S△BOC, 即 S△AOB=3S△BOC,故四面体 D﹣AOB 与四面体 D﹣BOC 的体积之比为 3:1.故④ 对. 故答案为:① ③ ④

点评: 本题考查空间直线与平面的位置关系:垂直的判定和性质,考查折叠前后的变化及最值和运用平面几何知 识解决的方法,同时考查棱锥体积的计算,注意运用重心的性质,本题属于中档题. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤. 16. (12 分)如图,在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,O 是底面 ABCD 对角线的交点. (Ⅰ )求证:C1O∥ 平面 AB1D1; (Ⅱ )求直线 BC 与平面 ACC1A1 所成角大小.

考点: 直线与平面所成的角;直线与平面平行的判定. 专题: 空间位置关系与距离;空间角. 分析: (Ⅰ ) 设 A1C1∩ B1D1=O1, 连接 AO1, 由已知得四边形 AOC1O1 为平行四边形, 由此能证明 C1O∥ 平面 AB1D1. (Ⅱ )由已知得 AA1⊥ BD,AC⊥ BD,从而 BD⊥ 平面 ACC1A1,∠ BCO 为直线 BC 与平面 ACC1A1 所成的角, 由此能求出直线 BC 与平面 ACC1A1 所成角. 解答: (Ⅰ )证明:设 A1C1∩ B1D1=O1,连接 AO1,
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∴ 四边形 AOC1O1 为平行四边形, ∴ AO1∥ OC1, 又 AO1?平面 AB1D1,C1O 不包含于平面 AB1D1,
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∴ C1O∥ 平面 AB1D1. (Ⅱ )解:在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中, ∵ AA1⊥ 平面 ABCD,∴ AA1⊥ BD, 又在正方形 ABCD 中,AC⊥ BD, ∵ AC∩ AA1=A,∴ BD⊥ 平面 ACC1A1, ∴ ∠ BCO 为直线 BC 与平面 ACC1A1 所成的角, 在正方形 ABCD 中,由题意知∠ BCO=45°, ∴ 直线 BC 与平面 ACC1A1 所成角为 45°.

点评: 本题考查直线与平面平行的证明,考查直线与平面所成角的大小的求法,解题时要认真审题,注意空间思 维能力的培养. 17. (12 分)某校开设有数学史选修课,为了解学生对数学史的掌握情况,举办了数学史趣味知识竞赛,现将成绩 统计如下.请你根据尚未完成任务的频率分布表和局部污损的频率分布直方图,解答下列问题: (Ⅰ )求该校参加数学史选修课的人数及分数在[80,90)之间的频数 x; (Ⅱ )请估计参加竞赛的学生的平均分数. (结果用小数形式表示) 分组 频数 频率 2 [50,60) 7 [60,70) 10 [70,80) x [80,90) 2 [90,100]

考点: 频率分布直方图. 专题: 概率与统计. 分析: (Ⅰ )由分数在[50,60)之间的频数为 2,频率为 0.008×10=0.08,由此能求出该校参加数学史选修课的人 数及分数在[80,90)之间的频数 x. (Ⅱ )由(Ⅰ )知分数在[50,60)之间的频率为 0.08,分数在[60,70)之间的频率为 0.28,分数在[70,80) 之间的频率为 0.4,分数在[80,90)之间的频率为 0.16,分数在[90,100]之间的频率为 0.08,由此能求出 该班的平均分. 解答: 解: (Ⅰ )∵ 分数在[50,60)之间的频数为 2, 频率为 0.008×10=0.08,
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∴ 全班人数为 =25,

∴ 分数在[80,90)之间的频数为 25﹣2﹣7﹣10﹣2=4. (Ⅱ )由(Ⅰ )知分数在[50,60)之间的频率为 0.08, ∴ 分数在[60,70)之间的频率为 分数在[70,80)之间的频率为 分数在[80,90)之间的频率为 分数在[90,100]之间的频率为 =0.28, =0.4, =0.16, =0.08,

∴ 该班的平均分约为: 55×0.08+65×0.28+75×0.40+85×0.16+95×0.08=73.8. 点评: 本题考查该校参加数学史选修课的人数及分数在[80,90)之间的频数,考查参加竞赛的学生的平均分数的 求法,是基础题,解题时要注意频率分布直方图的合理运用. 18. (12 分)已知算法: 第一步,输入整数 n; 第二步,判断 1≤n≤7 是否成立,若是,执行第三步;否则,输出“输入有误,请输入区间[1,7]中的任意整数”,返 回执行第一步; 第三步,判断 n≤1000 是否成立,若是,输出 n,并执行第四步;否则,结束; 第四步,n=n+7,返回执行第三步; 第五步,结束. (Ⅰ )若输入 n=7,写出该算法输出的前 5 个值; (Ⅱ )画出该算法的程序框图. 考点: 程序框图. 专题: 算法和程序框图. 分析: 由已知中的程序算法可知:该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 n 的值,模拟程序的运行过程, 分析循环中各变量值的变化情况,可得答案.进而得到程序的框图 解答: 解: (Ⅰ )当输入 n=7,满足进行循环的条件,故输出的第一个数为 7,执行完循环体后,n=14, 当 n=14,满足进行循环的条件,故输出的第二个数为 14,执行完循环体后,n=21, 当 n=21,满足进行循环的条件,故输出的第三个数为 21,执行完循环体后,n=28, 当 n=28,满足进行循环的条件,故输出的第四个数为 14,执行完循环体后,n=35, 当 n=35,满足进行循环的条件,故输出的第五个数为 14,执行完循环体后,n=42, 故输出的前 5 个数依次为:7,14,21,28,35; (Ⅱ )该算法的程序框图如下图所示:
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点评: 本题考查了程序框图的应用问题,解题时应模拟程序框图的运行过程,以便得出正确的结论,是基础题. 19. (13 分) 如图, 在四棱锥 P﹣ABCD 中, 底面 ABCD 是直角梯形, ∠ ABC=90°,AD∥ BC, AD=1, BC=2,又 PB=1, ∠ PBC=120°,AB⊥ PC,直线 AB 与直线 PD 所成的角为 60°. (Ⅰ )求证:AB⊥ 平面 PBC; (Ⅱ )求 AB 的长,并求二面角 D﹣PB﹣C 的余弦值; (Ⅲ )求三棱锥 A﹣DPB 的体积.

考点: 二面角的平面角及求法;棱柱、棱锥、棱台的体积;直线与平面垂直的判定. 专题: 空间位置关系与距离;空间角. 分析: (Ⅰ )由 AB⊥ PC,AB⊥ BC,能证明 AB⊥ 平面 PBC. (Ⅱ )取 BC 的中点 E,则 BE=1,连结 PE,DE,∠ PDE 为异面直线 AB 与 PD 所成的角,由此利用余弦定 理,能求出 AB=1;在平面 PBC 内,过 B 作 BF⊥ BC,建立空间直角坐标系 B﹣xyz,利用向量法能求出二
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面角 D﹣PB﹣C 的余弦值. (Ⅲ )由 VA﹣DPB=VP﹣BDE=VD﹣BPE,利用等积法能求出三棱锥 A﹣DPB 的体积. 解答: (Ⅰ )证明:∵ AB⊥ PC,AB⊥ BC,BC∩ PC=C, ∴ AB⊥ 平面 PBC. (Ⅱ )解:取 BC 的中点 E,则 BE=1,连结 PE,DE, ∵ AD BE,∴ AB DE,

由(Ⅰ )知 DE⊥ 平面 PBC,且∠ PDE 为异面直线 AB 与 PD 所成的角, ∴ ∠ PDE=60°, 在△ PBE 中,由余弦定理,得 PE= 在 Rt△ PDE 中,DE= = =1. = ,

∴ AB=1, 在平面 PBC 内,过 B 作 BF⊥ BC, 建立如图所求的空间直角坐标系 B﹣xyz,

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则 B(0,0,0) ,D(1,1,0) ,P(0,﹣ , ∴ , , ) ,

设平面 BDP 的一个法向量为 =(x,y,z) ,





取 z=

,得



取平面 PBC 的法向量 ∴ cos< >= =﹣ ,

由图知二面角 D﹣PB﹣C 为锐角, ∴ 二面角 D﹣PB﹣C 的余弦值为 .

(Ⅲ )解:由(Ⅱ )知 ABED 为正方形, ∴ VA﹣DPB=VP﹣BDE=VD﹣BPE = = .

点评: 本题考查直线与平面垂直的证明,考查线段长的求法,考查二面角的余弦值的求法,考查三棱锥的体积的 求法,解题时要注意向量法的合理运用. 20. (12 分)已知函数 f(x)=ax +2bx+1. (Ⅰ )若函数 f(x)中的 a,b 是从区间[﹣1,3]中任取的两个不同的整数,求 f(x)为二次函数且存在零点的概率; (Ⅱ )若 a 是从区间[1,3]中任取的一个数,b 是从区间[﹣2,2]中任取的一个数,求[f(1)﹣3]?[f(﹣1)﹣3]≤0 的概率. 考点: 古典概型及其概率计算公式;几何概型. 专题: 概率与统计. 分析: (Ⅰ )a,b 是从区间[﹣1,3]中任取的两个不同的整数,基本事件有 20 个基本事件,设“f(x)为二次函数 2 2 且存在零点“为事件 A,f(x)=ax +2bx+1 为二次函数且存在零点,等价于 b ≥a,且 a≠0,事件 A 包含的基 本事件有 8 个,由此能求出 f(x)为二次函数且存在零点的概率.
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2

(Ⅱ )设“[f(1)﹣3]?[f(﹣1)﹣3]≤0“为事件 B,试验的全部结果所构成的区域为{(a,b)|

},

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构成事件 B 的区域为{( },由此能求出[f(1)﹣3]?[f(﹣1)﹣3]≤0 的

概率. 解答: 解: (Ⅰ )∵ a,b 是从区间[﹣1,3]中任取的两个不同的整数, 则基本事件为(﹣1,0) , (﹣1,1) , (﹣1,2) , (﹣1,3) , (0,﹣1) , (0,1) , (0,2) , (0,3) , (1,﹣1) , (1,0) , (1,2) , (1,3) , (2,﹣1) , (2,0) , (2,1) , (2,3) , (3,﹣1) , (3,0) , (3,1) , (3,2) , 其中第一个数表示 a 的取值,第二个数表示 b 的取值.共 20 个基本事件, 设“f(x)为二次函数且存在零点“为事件 A, f(x)=ax +2bx+1 为二次函数且存在零点,等价于 b ≥a,且 a≠0, ∴ 事件 A 包含的基本事件有: (﹣1,1) , (﹣1,2) , (﹣1,3) , (1,﹣1) , (1,2) , (1,3) , (2,3) , (3,2) ,共 8 个, ∴ f(x)为二次函数且存在零点的概率:p= .
2 2

(Ⅱ )设“[f(1)﹣3]?[f(﹣1)﹣3]≤0“为事件 B, 试验的全部结果所构成的区域为{(a,b)| 这是一个长方形区域,面积为 S=2×4=8, },

构成事件 B 的区域为{(

},

这是一对对顶的五边形区域,如图, 其面积为 SB=8﹣2× =7,

∴ [f(1)﹣3]?[f(﹣1)﹣3]≤0 的概率为 p′ = .

点评: 本题考查概率的求法,是中档题,解题时要注意列举法和几何概型概率计算公式的合理运用. 21. (14 分)在直三棱柱(侧面垂直于底面的三棱柱)ABC﹣A1B1C1 中,以 AB、BC 为邻边作平行四边形 ABCD, AB⊥ BC,AB=BC=AA1 记线段 CD、A1B1 的中心分别是 P、E 连接 AE、BP,得到如图所示的几何体 (1)若 AA1=a,图甲给出了异面直线之间的距离的一种算法框图(其中异面直线的公垂线是指两异面直线都垂直 且相交的直线)请利用这种方法求异面直线 AE 和 BP 之间的距离; (2)若 AA1=2,在线段 A1P 上是否存在一点 F,使得平面 AFB⊥ 平面 A1BP?若存在,指出点 F 的位置,并证明你 的结论;若不存在,请说明理由; (3)若 AA1=a,在线段 A1C 上有一 M,过点 M 做垂直于平面 A1ACC1 的直线 l,与直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的其 他侧面相交于 N,过 CM=x,MN=y,求函数 y=f(x)的解析式,并据此求出线段 MN 的长度最大值.

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考点: 点、线、面间的距离计算. 专题: 空间向量及应用. 分析: (1)分别以 AD、AB、AA1 为 x,y,z 轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出异面直线 AE 和 BP 之间的距离.
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(2)假设在线段 A1P 上存在满足题意的点 F,设 F(x,y,z) ,分别求出平面 A1BP 的一个法向量和平面 AEB 的一个法向量,再利用向量法进行计算. (3) 根据题意作出图, 分0 和 两种情况进行分类讨论, 由此能求出函数 y=f (x)

的解析式,并据此求出线段 MN 的长度最大值. 解答: 解: (1)由题意知四边形 ABCD 为正方形, ∴ AD,AB,AA1 三线两两垂直, 分别以 AD、AB、AA1 为 x,y,z 轴,建立空间直角坐标系, 则由题意知 A(0,0,0) ,E(0, ,a) ,B(0,a,0) ,P(a, ,0) , 设异面直线 AE 与 BP 的一个法向量为 则 , , ,



,∴



又∵ =(a, ,0) , ∴ 异面直线 AE 和 BP 之间的距离:

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d= = = .

(2)∵ AA1=2,∴ A1(0,0,2) ,P(2,1,0) ,B(0,2,0) , ∴ , =(0,2,﹣2) , =(x1,y1,z1) ,

设平面 A1BP 的一个法向量为

则 ∴ ,



假设在线段 A1P 上存在满足题意的点 F,设 F(x,y,z) , 由 , (0≤λ≤1) ,

即(x,y,z﹣2)=λ(2,1,﹣2) , 得 x=2λ,y=λ,z=2﹣2λ, ∴ F(2λ,λ,2﹣2λ) , 则 =(2λ,λ,2﹣2λ) , , ,

设平面 AEB 的一个法向量

则 ∴ =(λ﹣1,0,λ) , ∵ 平面 AFB⊥ 平面 A1BP, ∴ =λ﹣1+2λ=0,解得 .



∴ 存在这样的点, 当点 F 为线段 A1P 上靠近 A1 的一个三等分点时,符合题意. (3)根据题意作出图如图 1, ① 当0 时,

把 MN 向平面 ABC 内正投影得到 M′ N′ ,如图 2, 则 MN=M′ N′ , ∵ ,

∴ CM′ = 在等腰直角三角形 M′ N′ C 中, ∴ MN= ∴ 当 , 时,y= .
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② 当 时,

把 MN 向平面 ABC 内正投影得到 M′ N′ ,如图 3, 则 MN=M′ N′ , ∵ ,

∴ AM′ =



在等股直角三角形 M′ N′ A 中, , ∴ MN= ∴ 当 , 时,MN= .

综上所述,y=



∴ 当 x=

时,ymax=

a.

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点评: 本题考查异面直线的距离的求法,考查满足条件的点的确定,考查函数解析式的求法,解题时要注意空间 思维能力的培养.

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参与本试卷答题和审题的老师有:maths;孙佑中;刘长柏;chenzhenji;清风慕竹;zlzhan;翔宇老师;qiss;minqi5 (排名不分先后)
菁优网 2014 年 12 月 30 日

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