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北京市清华大学附属中学丰台学校2014-2015学年高二数学10月月考试题



2014~2015 学年度 高二上学期 10 月考 数学试卷
本试卷满分 100 分,考试时间 90 分钟 一、选择题 (本大题共 12 小题,每小题 4 分,共 48 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求的) 1.若直线 x ? ay ? a ? 0 与直线 ax ? ? 2a ? 3? y ?1 ? 0 垂直,则 a 的值为( A.2 B. ?3

或 1 C.2 或 0 D.1 或 0 )

2.集合 M ? A. ?1,0 ?

?? x, y ? y ?
?

1 ? x 2 , x, y ? R , N ? ?? x, y ? x ? 1, y ? R? ,则 M ? N ? (

?

)

?

?

B. y 0 ? y ? 1

?

C. ?1,0?

D. )

3.菱形 ABCD 的相对顶点为 A ?1, ?2? , C ? ?2, ?3? ,则对角线 BD 所在直线的方程是( A. 3x ? y ? 4 ? 0 B. 3x ? y ? 4 ? 0 C. 3x ? y ? 1 ? 0 D. 3x ? y ? 1 ? 0

4.若已知函数 f ( x) ? log2 ( x ? 1) ,且 a ? b ? c ? 0 ,则

f (a ) f (b) f (c) , , 的大小关系是( a b c

)

f (a ) f (b) f (c) ? ? a b c f (b) f (a ) f (c) ? ? C. b a c
A.

f (c) f (b) f (a ) ? ? c b a f (a ) f (c) f (b) ? ? D. a c b
B. )

5.当圆 x2 ? y 2 ? 2 x ? ky ? k 2 ? 0 的面积最大时,圆心坐标是( A. ? 0, ?1? B. ? ?1,0? C. ?1, ?1?
2

D. ? ?1,1?
2

6.过直线 y ? x 上的一点作圆 ? x ? 5 ? ? ? y ? 1? ? 2 的两条切线 l1 , l2 ,当直线 l1 , l2 关于 y ? x 对称时,它 们之间的夹角为( ) A.30° B.45° C.60° D.90°

?x ? 2 ? 7 设 x, y 满足约束条件 ? 2 x ? y ? 1 ,若目标函数 z ? ax ? by(a ? 0, b ? 0) 的最小值是 2 ,则 ab 的最大值 ?y? x ?
为( A.1 ) B.

1 2

C.

1 4

D.

1 6

8.已知直线 l1 : y ? x, l2 : ax ? y ? 0 ,其中 a 为实数,当这两条直线的夹角在(0, 范围是( )

? )内变动时, a 的取值 12

1

A. ? 0,1?

B. (

3 , 3) 3

C.(

3 ,1)∪(1, 3 ) 3

D.(1, 3 )

9.已知直线 l1 : y ? 2 x ? 3 ,直线 l 2 与 l1 关于直线 y ? ? x 对称,则直线 l 2 的斜率为( A.

)

1 2

B. ?

1 2

C.2

D.-2

10.如果直线 y ? kx ? 1 与圆 x2 ? y 2 ? kx ? my ? 4 ? 0 交于 M、N 两点,且 M、N 关于直线 x ? y ? 0 对称,则

?kx ? y ? 1 ? 0, ? 不等式组 ?kx ? m y ? 0, 表示的平面区域的面积是( ?y ? 0 ?
A.

)

1 4

B.

1 2

C.1

D.2

11.圆心在直线 2 x ? y ? 3 上,且与两坐标轴相切的圆的标准方程为 ( A. ( x ? 3) 2 ? ( y ? 3) 2 ? 9 C. ( x ? 1) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 1

)

B. ( x ? 3) 2 ? ( y ? 3) 2 ? 9 或 ( x ? 1) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 1 D. ( x ? 1) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 1或 ( x ? 3) 2 ? ( y ? 3) 2 ? 9

12.方程 9 ? x ? k ? x ? 3? ? 4 有两个不同的解时,实数 k 的取值范围是(
2

)

A. (0,

7 ) 24

B.(

7 ,+∞) 24

C.( ,

1 2 ) 3 3

D. (

7 2 , ] 24 3

二、填空题 (本大题共 6 小题,每小题 4 分,共 24 分。把答案填在题中的横线上。)

? x ? y ? 0, ? 13.若 x , y 满足约束条件 ? x ? y ? 3 ? 0, 则 z ? 2 x ? y 的最大值为__________. ?0 ? x ? 3, ?
14.已知 0 ? x ? 1,0 ? y ? 1 ,则

x 2 ? y 2 ? x 2 ? (1 ? y ) 2 ? (1 ? x) 2 ? y 2 ? (1 ? x) 2 ? (1 ? y ) 2 的最小值为

15.过点 P( a, a ? 2 )可作圆 x ? y ? 2x ? 2 y ? a ? 0 的两条切线,则 a 的取值范围是_______.
2 2

16.已知圆 M : ? x ? cos ? ? ? ? y ? sin ? ? ? 1 ,直线 l : y ? kx ,下面四个结论:
2 2

①对任意实数 k 与 θ ,直线 l 和圆 M 相切; ②对任意实数 k 与 θ ,直线 l 和圆 M 有公共点;
2

③对任意实数 θ ,必存在实数 k,使得直线 l 和圆 M 相切; ④对任意实数 k,必存在实数 θ ,使得直线 l 和圆 M 相切. 其中正确结论的序号是(写出所有正确的序号) 17.已知等边△ABC 的边 AB 所在的直线方程为 3x ? y ? 0 ,点 C 的坐标为(1, 3 ),则△ABC 的面积 为 .

18.圆 C 经过不同的三点 P ? k ,0? , Q ? 2,0? , R ? 0,1? ,已知圆 C 在 P 点处的切线斜率为 1,则圆 C 的方程 为 .

三、解答题(本大题共 3 小题,共 28 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 19.(本小题满分 8 分) 已知圆 C 与 y 轴相切,圆心 C 在直线 l1 : x ? 3 y ? 0 上,且截直线 l2 : x ? y ? 0 的弦长为 2 2 ,求圆 C 的 方程.

20. (本小题满分 10 分) 过点 P ? 2,4? 作两条互相垂直的直线 l1 , l2 ,若 l1 交 x 轴于 A 点, l2 交 y 轴于 B 点,求线段 AB 的中点 M 的轨 迹方程.

21.(本小题满分 10 分) 实系数方程 f ? x ? ? x ? ax ? 2b ? 0 的一个根在 ? 0,1? 内,另一个根在 ?1, 2 ? 内,求:
2

(1)

b?2 的取值范围; a ?1
2 2

(2) ? a ? 1? ? ? b ? 2 ? 的取值范围; (3) a ? b ? 3 的取值范围.

3

2014~2015 学年度 高二上学期第 10 月考 数学试卷参考答案 一、选择题 CAABBC CCAABD 二、填空题 13.9
2

14. 2 2
2

15. ( ?? ,? ) ? (0,2)

5 2

16. ②④

17. S△ABC=

1 ? 2? 3 ? 3 2

18. x +y +x+5y-6=0. 三、解答题 19.(本小题满分 8 分)已知圆 C 与 y 轴相切,圆心 C 在直线 l1:x-3y=0 上,且截直线 l2:x-y=0 的弦长为 2 2 , 求圆 C 的方程. 解:∵圆心 C 在直线 l1:x-3y=0 上, ∴可设圆心为 C(3t,t). 又∵圆 C 与 y 轴相切, ∴圆的半径 r=|3t|…………………………………………………….4 分 ∴(

3t ? t 2

) 2 ? ( 2 ) 2 ?| 3t | 2 ,解得 t=±

14 . 7

∴圆心为(

3 14 14 3 14 14 3 14 , )或(,),半径为 . 7 7 7 7 7 3 14 2 14 2 18 3 14 2 14 2 18 ) +(y)= 或(x+ ) +(y+ )= ……….4 分 7 7 7 7 7 7

∴所求的圆的方程为(x-

20. 20. (本小题满分 10 分)过点 P(2,4)作两条互相垂直的直线 l1、l2,若 l1 交 x 轴于 A 点,l2 交 y 轴于 B 点,求线段 AB 的中点 M 的轨迹方程 解:设 M 的坐标为(x,y),则 A、B 两点的坐标分别是(2x,0)、(0,2y),连结 PM, ∵l1⊥l2, ∴2|PM|=|AB|……………………………………………….5 分
2 2 而|PM|= ( x ? 2) ? ( y ? 4) , 2 2 |AB|= ( 2 x ) ? ( 2 y ) , 2 2 ∴ 2 ( x ? 2) ? ( y ? 4) ?

4x2 ? 4 y 2 .

化简,得 x+2y-5=0,即为所求的轨迹方程………………….5 分

21.(本小题满分 10 分)实系数方程 f(x)=x +ax+2b=0 的一个根在(0,1)内,另一个根在(1,2)内,求: (1)

2

b?2 的值域; a ?1
2 2

(2)(a-1) +(b-2) 的值域; (3)a+b-3 的值域.

4

? f (0) ? 0, ?b ? 0, ? ? 解:由题意 ? f (1) ? 0, 即?a ? 2b ? 1 ? 0, …………………………………2 分 ? f ( 2 ) ? 0 . ? a ? b ? 2 ? 0. ? ?
易求 A(-1,0)、B(-2,0).

……….2 分 由?

?a ? 2b ? 1 ? 0, ∴C(-3,1). ?a ? b ? 2 ? 0,
1 b?2 b?2 <kPA,即 ∈( ,1)………………………….2 分 4 a ?1 a ?1
2 2 2 2 2 2 2

(1)记 P(1,2),kPC<
2 2

(2)|PC| =(1+3) +(2-1) =17,|PA| =(1+1) +(2-0) =8,|PB| =(1+2) +(2-0) =13. 2 2 ∴(a-1) +(b-2) 的值域为(8,17)………………………………………….2 分 (3)令 u=a+b-3,即 a+b=u+3. -2<u+3<-1,即-5<u<-4. ∴a+b-3 的值域为(-5,-4)…………………………………………………2 分

5



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