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数学:5.6《正弦定理》教案(1)(沪教版高一)



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5.6 (1)正弦定理
上海市杨浦高级中学 杨玉珠 一、教学内容分析 本节课是高中数学第五章三角比中第三单元的第一节课,学生已在初中学习了如何借助锐角的三角比 来解决直角三角形的问题,通过本节课及下节课余弦定理的学习,能够解决人类认识自然时遇到的天文观 测、航海和地理测量等等更为

一般的解三角形的问题. 本小节的重点是正弦定理的推导及应用,难点是正弦定理的推导.从学生已有锐角三角比的定义入手, 得出直角三角形的边角满足的一个数量关系式,由特殊到一般猜测任意三角形的边角也满足这个关系式, 通过推导证明得到反映任意三角形边角元素关系的正弦定理并加以灵活运用. 二、教学目标设计 体验由已知到未知、由特殊到一般的方法得到正弦定理的过程; 深刻理解任意三角形的边角数量关系 并会运用正弦定理解三角形;通过对正弦定理的探索和证明,感受数学论证的严谨性. 三、教学重点及难点 正弦定理的推导及其应用. 四、教学流程设计 复习引入

探究得出定理

运用与深化(例题解析、巩固练习)

课堂小结并布置作业 五、教学过程设计 一、情景引入 回顾:初中时,我们已学习了锐角三角比的意义,锐角 A 、 B 的正弦是如何定义的呢?

a b , sin B ? . c c a b a b c 由上两式可求得: = = c ,即 = = , sin A sin B sin A sin B 1 a b c 因为 sin C ? sin 90? ? 1 ,所以 = = .上式结构独特,是在 Rt ?ABC 中得出的,若 sin A sin B sin C
在 Rt ?ABC 中, ?C ? 90 ? ,锐角 A 的正弦: sin A ?

?ABC 不是直角三角形,上述结论是否还成立呢?

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二、学习新课 1、探究 ? 可以先看一些特殊角的三角形的例子:

(1 ) (2 )

在 ?ABC 中, ?A ? ?B ? ?C ? 60? ,则有

a b c = = sin A sin B sin C

如图, 在 ?ABC 中, ? A = 120 ? ,? B = ?C = 30 ? .过点 A 作 AD ? BC , 垂足 D 在 BC

边上.易得,a :b :c = 3 : 1: 1 又因为 sin A ?

1 a b c 3 ,sin B ? sin C ? , 所以有 = = . 2 sin A sin B sin C 2

?

利用几何画板进行数学实验:

(1)画出一个 ?ABC ,度量出它的三边长度和三个角的度

A

数,计算显示

a b , , sin A sin B

c 的值. sin C
(2) 不断拖动 ?ABC 的一个顶点, 改变 ?ABC 的

B

D

C
形状,观察

a , sin A

b c , 的值的变化情况. sin B sin C
(3)由实验得出猜想:对任意 ?ABC ,总有

a b c = = 成立. sin A sin B sin C

?

上述猜想是否正确,可以分三种情况证明:

(1) 如果 ?ABC 为直角三角形(不妨设 ?C ? 90? ),则由上面的讨论可知,结论成立.

(2) 如果 ?ABC 为锐角三角形,过点 A 作 AD ? BC ,垂足 D 在 BC 边上.
在 Rt ?ABD 中, AD ? c sin B ,在 Rt ?ADC , AD ? b sin C ,所

b c a b = .同理,在 ?ABC 中, = 从而,在锐 s i B n sin C sin A sin B a b c = = . sin A sin B sin C B (3) 如果 ?ABC 为钝角三角形 (不妨设 ?C ? 90? ) ,
垂足 D 在 BC 边上. 在 Rt ?ABD 中, AD ? c sin B ,在 Rt ?ADC , AD ? b sin ?ACD ,

A

以 c sin B = b sin C

, 即

角 三 角 形 ?ABC 中 , 总 有

D

C

过点 A 作 AD ? BC ,

A
所以 c sin B = b sin C ,即 锐角三角形 ?ABC 中,

b c a b = .同理,在 ?ABC 中, = 从而,在 sin B sin C sin A sin B a b c B 总有 = = . sin A sin B sin C

C D

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2、得出结论:在一个三角形中,各边和它所对的正弦比相等.即在 ?ABC 中, 的结论叫做正弦定理.

a b c = = .这样 sin A sin B sin C

由正弦定理可知:在 ?ABC 中, a : b : c = sin A : sin B : sin C ,这是正弦定理的另一种表达形式. 一般地, ?ABC 的三个角 ? A 、 ? B 、 ?C 和它们所对的边 a 、 b 、 c 叫做 ?ABC 的元素.已知三角 形的几个元素,求其他元素的过程叫做解三角形. 解直角三角形可以借助锐角三角比,而在解斜三角形时,常常需要用到正弦定理. 3、例题解析 例 1 在 ?ABC 中,已知 A ? 45?, B ? 105?, c ? 10cm ,解三角形. [说明]已知两角和一边的解三角形问题,可以利用正弦定理来解决. 解: C ? 180? ? ( A ? B) ? 30? .

a c = , sin A sin C c sin A 10 ? sin 45? ? ? 10 2cm 所以 a ? sin C sin 30? b c 又因为 = ,所以 sin B sin C
因为

b?

c sin B 10 ? sin 105? 6? 2 ? ? 20sin 75? ? 20 ? ? 5( 6 ? 2 )cm sin c sin 30? 4

例 2 在 ?ABC 中, ? B = 60 ? , b ? 2cm , c ? 1cm ,解三角形(边长精确到 0.1cm ,角度精确到 1? .) [说明]已知两边和一边的对角的解三角形问题可以利用正弦定理来解决. 解:因为

b c = , sin B sin C

所以 sin C ?

c sin B 1? sin 60? 3 ? ? ? 0.4330又因为 b>c,所以 C<B,从而 C ? 25?39? , b 2 4

A ? 180? ( B ? C ) ? 94?21? .
a b = , sin A sin B b sin A 2 ? sin 94?21? ? ? 2.3cm 所以 a ? sin B sin 60?
又因为 三、巩固练习 在 ?ABC 中,已知下列条件,解三角形(边长精确到 0.1cm ,角度精确到 1? ) 1、 A ? 60?, B ? 45?, c ? 20cm

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(答案: a ? 17.9cm , b ? 14.6cm, C ? 75? ) 2、 a ? 20cm, b ? 11cm, A ? 80? (答案: c ? 18.7cm, B ? 33?, C ? 67? ) 四、课堂小结 1、正弦定理的推导及含义,特殊与一般,具体与抽象的辨证关系. 2、正弦定理的两个应用:(1)已知三角形中两角及一边,求其他元素;(2)已知三角形中两边和其 中一边所对的角,求其他元素.这时可引导学生加以叙述. 五、课后作业 1、在 ?ABC 中,已知下列条件,解三角形(边长精确到 1cm ,角度精确到 1? ) (1) A ? 34?, B ? 57?, c ? 68cm (答案: a ? 34cm, b ? 57cm, C ? 89? ) (2) c ? 54cm, b ? 39cm, C ? 115? (答案: a ? 24cm, A ? 24?, B ? 41? ) 2、在 ?ABC 中,

a b c = = .试用正弦定理证明: ?ABC 是等边三角形. cos A cos B cos C

(提示:利用已知和正弦定理,可得 tan A ? tan B ? tan C .) 3、在 ?ABC 中,求证:

a2 ? b2 b2 ? c2 c2 ? a2 ? ? ?0 cos A ? cos B cos B ? cosC cosC ? cos A

(提示:可利用

sin 2 A ? sin 2 B cos2 B ? cos2 A ? ? cos B ? cos A 等结论.) cos A ? cos B cos A ? cos B

六、教学设计说明 1 、 正 弦 定 理 的 证 明 方 法 很 多 , 传 统 方 法 一 般 先 导 出 ?A B C的 面 积 公 式 :

S?

1 1 1 bc sin A ? ca sin B ? ab sin C ,在利用等式的性质得到正弦定理. 2 2 2
本节课采用从已知到未知,特殊到一般的方法,利用锐角三角比建立关系,从而得到正弦定理. 究竟选择何种方法证明正弦定理,可根据学生情况由执教教师自己决定.

2、对数学学习水平较好的班级,建议教师在授课时进一步指出:

a b c ? ? =2R(其中 R 是 sin A sin B sin C

?ABC 外接圆的半径),并引导学生证明.

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3、本教学设计中的例 1 解决的是已知两角和一边的解三角形问题,例 2 解决的是已知两边和一角的解 三角形问题. 4、已知两边和一边的对角,利用正弦定理求另一边的对角,可能会出现一解、两解和无解的情况.由于 情况比较复杂,建议把对这一问题的讨论放在以后进行.

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